მათემატიკა

სარჩევი
0. რიცხვი
1. წრფივი სივრცე
2. წრფივი სივრცის აგება
3. ქვესივრცე, ქვესივრცეთა მესერი
4. წრფივი ასახვა
5. ბირთვი, ანასახი
6. განტოლებათა სისტემა
7. წარმომქმნელი და ბაზისი
8. ფაქტორიზაცია
9. სივრცეთა ჯამი და ნამრავლი
10. აფინური სივრცე
11. ბარიცენტრული კოორდინატები
12. წრფივი ობიექტი
13. აფინური ასახვა
14. მრავალწევრთა ალგებრა
15. მრავალწევრის ფესვი
16. მრავალწევრის ფესვი და ჰომომორფიზმი
17. სიმეტრიული მრავალწევრი
18. მრავალწევრის დაშლა
19. წრფივი ოპერატორით შექმნილი ალგებრა
20. ოპერატორი და მრავალწევრი
21. მახასიათებელი მრავალწევრი
22. ინვარიანტული ქვესივრცე
23. ინვარიანტულ ქვესივრცეთა მესერი

0. რიცხვი

ინგლისურად - number
ფრანგულად - un nombre
გერმანულად - ein Zahl
იტალიურად -
ესპანურად - un Número
რუსულად - число

რიცხვი რაოდენობის დასახასიათებლად წარმოიშვა და მისი ამ თვალსაზრისით გააზრება და განზოგადება კარდინალურ რიცხვთა თეორიით მოხდა კანტორის (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 1845.02.19 - 1918.01.06) მიერ. აქ რიცხვებზე ოპერაციების თვალსაზრისით განზოგადოებას მინდა უფრო ყურადღება მივაპყრო. დავიწყოთ ნატურალური, ბუნებრივი რიცხვებიდან, N და მასში, ასევე ბუნებრივი ორი ოპერაციით შეკრება + და გამრავლება •. ეს ორივე ოპერაცია კომუტატური და ასოციურია, ურთიერთ მიმართებაში კი დისტრიბუციულიც. ამ ნაწერში რიცხვად მოვიხსენიებ ყველაფერს რაშიც შეკრება და გამრავლება შეიძლება და ამ ოპერაციებს აქვთ ზემოთ ხსენებული თვისებები.

რიცხვის ცნების სათავე ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეა. მაგრამ ამ სიმრავლეში ყველა ელემენტს არა აქვს შებრუნებული. დავიწყოთ შეკრების მიმართ შებრუნებულების დამატებით. სიმრავლე N-ს ვუმატებთ 0-ს და ყოველი რიცხვისათვის მის შებრუნებულს, n-ის გამრავლების მიმართ შებრუნებულს ჩვეულებრივ მოპირდაპირეს უწოდებენ და აღნიშნავენ -n, -n + n = 0. თუ m > n, მაშინ არსებობს k ისეთი რომ n + k = m. აქედან -n + m = k, ხოლო -m + n = -k. ადვილი შესამოწმებელია რომ ყველა საჭირო თვისება ამ ახალ სიმრავლეს და მასზე ოპერაციებს აქვს. ამ სიმრავლეს მთელ რიცხვთა სიმრავლეს უწოდებენ და აღნიშნავენ Z-ით.

ამ სიმრავლეზე შეიძლება ავსახოთ ნამრავლი N × N, შემდეგნაირად:
- თუ m = n, მაშინ [m, n] = [m, m] → 0
- თუ m > n, მაშინ [m, n] → m - n
- თუ m < n, მაშინ [m, n] → -(n - m)
ასე რომ სიმრავლე შეიძლება შემდეგნაირად ავღწეროთ: [m, n] და [m', n'] გადადის ერთი და იმავე ელემენტში თუ m + n' = m' + n. ეს იქნება ექვივალენტობა ნამრავლზე N × N. თუ გავითვალისზინებთ ოპერაციებს ანასახში, ნამრავლზე ოპერაციები შემდეგნაირად განიმარტება
[m, n] + [m', n'] = [m + m', n + n']
[m, n] • [m', n'] = [(m • m') + (n • n'), (m • n') + (m' • n)]

აგებულ სიმრავლე Z-ში ყოველ ელემენტს აქვს მოპირდაპირე. ანუ Z შეკრების მიმართ ჯგუფია. გამრავლების მიმართ, სამწუხაროდ, ეს უკვე ასე არ არის. შევეცადოთ იგივე მეთოდით ავაგოთ მომცველი სიმრავლე რომელშიც უკვე გამრავლების მიმართაც იქნება ჯგუფი.

ნამრავლ Z × Z-ში უკვე ექვივალენტობა გამრავლების მიხედვით უნდა განვმარტოთ:
[m, n] ∼ [m', n'] თუ m • n' = m' • n
ნამრავლიდან უნდა გამოვრიცხოთ წყვილი რომლის მეორე კოორდინატი ნულია. ოპერაციები შემდეგნაირად განიმარტება
[m, n] + [m', n'] = [(m • n') + (n • m'), n • n']
[m, n] • [m', n'] = [m • m', n • n']

მიღებული სიმრავლე იქნება რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლე Q და ის უკვე გამრავლების მიმართაც ჯგუფია, ოღონდ ნულის გარეშე, ანუ Q უკვე ველია. ეს არის უმცირესი ველი რომელიც მოიცავს ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეს, NQ. ამ ველის ყოველი ელემენტი შეიძლება სამი ნიშნით წარმოვადგინოთ: პირველია + ან -, მეორე 0 ან N-ის ელემენტი, მესამე N-ის ელემენტი. ექვივალენტობა:

[+, m, n] ∼ [+, m', n'] ⇔ m • n' = n • m'
[-, m, n] ∼ [-, m', n'] ⇔ m • n' = n • m'
ოპერაციები
[+, m, n] + [+, m', n'] = [+, (m • n') + (n • m'), n • n']
[+, m, n] + [-, m', n'] = [+, (m • n') - (n • m'), n • თუ (m • n') > (n • m')
[+, m, n] + [-, m', n'] = [-, (n • m') - (m • n'), n • თუ (m • n') < (n • m')
[-, m, n] + [-, m', n'] = [-, (m • n') + (n • m'), n • n']
[+, m, n] • [+, m', n'] = [+, m • m', n • n']
[+, m, n] • [-, m', n'] = [-, m • m', n • n']
[-, m, n] • [-, m', n'] = [+, m • m', n • n']

მიღებული სიმრავლე მასზე განსაზღვრული ოპერციებით ველია (ადვილი შემოწმებადია) და ჩვეულებრივ Q-თი აღნიშნავენ.

Q-ს მეორე საინტერესო წარმოდგენაც აქვს. გავიხსენოთ მთელი რიცხვებიდან Z მისი აგება, Z × Z-ის ფაქტორიზაციის შედეგი. თუ დავუკვირდებით [m, n] ∼ [m', n'], ანუ m • n' = m' • n, ნიშნავს რომ არსებობს ნატურალური რიცხვი k ისეთი რომ m'=m•k და n'=n•k. თუ გავითვალისწინებთ Z × Z-ზე N-ის მოქმედებას, [m, n]k=[m•k, n•k], გვექნება რომ Q არის მარაო Z × Z-ში. ანალოგიურად იმისა როგორც C არის პროექციული სივრცის ნაწილი C × C-ში, ანუ R4-ში.

ნატურალური რიცხვებიდან შესაძლებელია სასრული ჯგუფების შექმნაც ზოგი მათგანი ველი იქნება და მათი გამოყენება შესაძლოა როგორც რიცხვების. ავირჩიოთ ერთზე მეტი ნატურალური რიცხვი k და მასზე ნაკლებ რიცხვთა სიმრავლეში, Zk, შემოვიტანოთ შეკრებისა და გამრავლების ახალი ოპერაციები m ⊕ n იყოს (m + n)-ს რამდენიმეჯერ გამოლკებული k სანამ მასზე ნაკლები არ გახდება, ასევე m ⊗ n იყოს (m • n)-ს რამდენიმეჯერ გამოლკებული k სანამ მასზე ნაკლები არ გახდება. ადვილი შესამოწმებელია რომ ამგვარად განსაზღვრული ოპერაციებით Zk ჯგუფია, ხოლო თუ k მარტივია მაშინ ველიც კი. ასე რომ თუ p მარტივი რიცხვია Zp-ს ელემენტებს სამართლიანად შესაძლოა რიცხვი ვუწოდოთ. ნათელია რომ Zp = N/p•N.

მაგალითი
რიცხვთა ოთხელემენტიანი სიმრავლის მაგალითია 0, 1, a, b
1+1=0 a+1=b a+a=0 b+1=a b+b=0 a•a=b a•b=1 b•b=a
ცხრილებად
+1ab
1oba
ab01
ba10
ab
ab1
b1a

მაგალითი
ნამდვილი რიცხვი რეალური რიცხვი, R
ნამდვილრიცხვთა სიმრავლის წარმოდგენის ყველაზე მარტივი გზაა სიბრტყის სათავეზე გამავალ ღერძთა სიმრავლედ ვერტიკალური ღერძის გამოკლებით, ანუ პროექციული სივრცის ქვესიმრავლე ერთი წერტილის გამოკლებით.

მაგალითი
კომპლექსური რიცხვი, C
კომპლექსურ რიცხვთა სიმრავლეა R × R
შეკრება: (x, y)+(u, v)=(x+u, y+v)
გამრავლება: (x, y)∙(u, v)=(x∙u-y∙v, x∙v+y∙u)

1. წრფივი სივრცე

წრფივი ალგებრა და თვით ალგებრა, უნდა ვიგულისხმოთ, იწყება ალ ჰორეზმიდან, რომელსაც უთარგმნია ინდური მათემატიკური ტექსტი და თავისებურად განუმარტავს მათემატიკაზე ბერძნების წარმოდგენა. თვით სიტყვა ალგებრის (al gebre,علم الجبر) ქართული შესატყვისია ჯიბრი, ანუ ანგარიშიანობა, საიდანაც შეჯიბრიც.
შემდგომი ნაბიჯი გადადგა რენე დეკარტმა (René Descartes, 1596.03.31 - 1650.02.11), რომელმაც კოორდინატთა სისტემის შემოღებით გეომეტრიული ამოცანა დაუკავშირა ალგებრულ განტოლებას.
სიტყვა დეტერმინანტი მათემატიკურ ტერმინად 1693 წელს პირველად იხმარა ლეიბნიცმაო (Gottfried Wilhelm von Leibniz, 1646.07.01 – 1716.11.14). ამის შედეგად 1750 წელს გაჩდა წრფივი სისტემის ამონახსნის მოძებნის კრამერის (Gabriel Cramer, (1704.07.31 – 1752.01.04) წესი. ეს წესი გააუჯომბესა გაუსმა (Johann Carl Friedrich Gauß, 1777.04.30 – 1855.02.23), გამოიყენა რა გაუსის ელიმინაცია.
სრულიად თანამედროვე შეხედულება, რასაც დღეს წრფივი ალგებრის სახელით ვიცნობთ, გაჩენილა 1844 წელს ჰერმან გრასმანის (Hermann Günther Graßmann, 1809.04.15 – 1877.09.26) ნაშრომის
"Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik" შედეგად.
თურმე არსებობს წიგნი დასახელებით "Linear Algebra" გამოცემული 1882 წელს პაშას (Hüseyin Tevfik Pasha, 1832-1901) მიერ.
წრფივი სივრცის ლოგიკურად სრულად გამართული თანამედროვე განსაზღვრა 1888 წელს პეანოს (Giuseppe Peano, 1858.08.27 – 1932.04.20) შემოუტანია.

წრფივი სივრცის ელემენტს, ჩვეულებრივ, ვექტორს უწოდებენ.

განსაზღვრა
სიმრავლეს E მასში განსაზღვრულ ოპერაციებით (შეკრება და რიცხვის მოქმედება E-ს ელემენტზე) ეწოდება წრფივი სივრცე (ან ვექტორული სივრცე), თუ დაკმაყოფილებულია მოთხოვნები:
1. შეკრების მიმართ E კომუტატური (აბელის) ჯგუფია
ყოველი x და y ვექტორთათვის E-დან და a და b რიცხვთათვის:
2. (xa)b = x(a • b)
3. x(a + b) = (xa) + (xb)
4. (x + y)a = (xa) + (ya)
5. 0a = 0, ორივე ნული ვექტორია
6. x0 = 0, მარცხენა 0 რიცხვია, მარჯვენა ვექტორი
7. x1 = x, სადაც 1 ველის ერთიანია

ინგლისურად - linear space, vector space
ფრანგულად - un espace linéaire, un espace vectoriel
გერმანულად - ein linearer Raum, ein Vektorraum
იტალიურად - uno spazio lineare, uno spazio vettoriale
ესპანურად - un espacio , un espacio vectorial
რუსულად - линейное пространство, векторное пространство

თეორემა
თუ x ვექტორია და a რიცხვი მაშინ x(-a) = -xa

მტკიცება
0 = x0 = x(a + (-a)) = xa + x(-a), აქედან დასკვნა x(-a) = -xa.

თეორემა
თუ xa = 0, მაშინ ან x = 0 ან a = 0

მტკიცება
თუ a ≠ 0 და xa = 0, გვექნება x = x1 = x(a • a-1) = (xa)a-1 = 0a-1 = 0.

თვით ნადვილ რიცხვთა სიმრავლე წრფივი სივრცის ერთ ერთი მაგალითია იმავე ოპერაციების მიმართ რაც რიცხვებშია განსაზღვრული.

მაგალითი
რაციონალურ რიცხვთა ველი ნამდვილ რიცხვთა ველის ქვეველია, ეს უკანასკნელი კომპლექსურ რიცხვთა ველის ქვეველი, QRC.
ნამდვილ რიცხვთა ველი Q-წრფივი სივრცეა რაციონალურ რიცხვთა ველის მიმართ, ხოლო კომპლექსურ რიცხვთა ველი Q-წრფივი სივრცეც და R-წრფივი სივრცეც.
აქვე შევნიშნოთ, რომ თუ S არის წრფივი სივრცე კომპლექსურ რიცხვთა ველის მიმართ, მაშინ ის ავტომატურად არის წრფივი სივრცე ნამდვილ რიცხვთა ველის მიმართაც და რაციონალურ რიცხვთა ველის მიმართაც.

მაგალითი
გასაგებია რომ Z2 × Z2 წრფივი სივრცეა Z2-ის მიმართ. ასევე წრფივი სივრცეა ოთხელემენტიანი ველი როგორც Z2-ის გაფართოება. თუ ჩვენ გავამრავლებთ ველის ელემენტ ax-ს ასახვა x-ზე მივიღებთ ასახვას x(xa): X → V, რომელიც x-ს გადაიტანს xa-ში, ხოლო X-ის დანარჩენ ელემენტებს ნულში.

ყოველივე ზემოდ აღწერილი უნდა დავინახოთ როგორც წრფივი სივრცის მოცემის სხვადასხვა ფორმა. ამ ფორმებს შორის ბუნებრივი შესაბამისობაა. საქმეში უნდა გამოვიყენოთ ის ფორმა, რომელიც განსახილველ საკითხთან ყველაზე უფრო მორგებულია.

2. წრფივი სივრცის აგება

ვთქვათ X სიმრავლეა. ასახვათა სიმრავლე ველში, Map(X, V) V-წრფივი სივრცის წარმოდგენის ერთ ერთი მაგალითია. მაგრამ მისი ქვესივრცე F(X, V) უფრო სასარგებლო სივრცეა, ან მოკლედ FX თუ გაურკვევლობას არ იწვევს. ეს სივრცე შესდგება იმ ასახვებისაგან რომელთა მნიშვნელობა თითქმის ყველგან ნულია, ანუ არგუმენტთა სიმრავლე რომელზეც ასახვა a განსხვავდება ნულისაგან სასრულია. აღვნიშნოთ ეს სასრული სიმრავლე sup a-თი და მოვიხსენიოთ როგორც ასახვა a-ს საყრდენი
sup a = {x | x ∈ X და a(x) ≠ 0}
სხვაგვარად
x ∈ sup a ⇔ xa ≠ 0

sup-ის სასრულობის გამო წრფივ სივრცე F(X, R)-ში ბუნებრივად განისაზღვრება სკალარული ნამრავლი და ნორმაც
<a, b> = ∑ a(x) • b(x)
|a| = √∑ a(x)2

თვით სიმრავლე X-ის ელემენტი შეგვიძლია ვიგულისხმოთ F(X, V)-ის ვექტორად, x გალურჯებული გამოვიყენოთ ასახვისათვის რომელიც სივრცე X-ის ელემენტ x-ს შეუსაბამებს 1, x(x) = 1 ხოლო დანარჩენს 0-ს, აქედან sup x = {x}. x როგორც სიმრავლე X-ის ელემენტი იქნება ჩვეულებრივ შავად, ხოლო როგორც ასახვა, ანუ როგორც F(X, V)-ის ვექტორი იქნება გალურჯებული, x.
ყოველივე ზემოთ თქმულიდან გამოვა რომ X წრეწირის ნაწილია რადგან |x| = 1.

წრფივი სივრცე FX-ის წრფივ სივრცე S-ში წრფივ ასახვათა სიმრავლე Lin(FX, S) არის M(X, S)-ის ექვივალენტური. ადვილი წარმოსადგენია ჩადგმა Lin(FX, S) → M(X, S), ყოველ წრფივ ასახვას FX → S შეესაბამება ასახვათა კომპოზიცია X → XFX → S. ხოლო მისი შებრუნებული იქნება ასახვა f:FX → S.
თუ u ∈ FX და f ∈ M(X, S), მაშინ f(u) = ∑ u(x) • f(x)
ამ ჯამში სიმრავლე X-ის ყველა ელემენტი მონაწილეობს. ჯამს აზრი აქვს რადგან supu-ში ელემენტთა მხოლოდ სასრული რაოდენობაა.

მაგალითი
ავიღოთ X-ად 0 და ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლე, X = 0 ∪ N. ამ სიმარვლით აგებული წრფივი სივრცე იქნება ფორმალურ მწკრივთა წრფივი სივრცე M(X, V), ხოლო მისი ნაწილი F(X, V) კი მრავალწევრთა წრფივი სივრცე V[t]. მის ყოველ ვექტორ p-ს ჩვეულებრივ შემდეგი სახითაც ჩაწერენ
pktk + pk-1tk-1 + . . . +p1t + p0
სადაც p0 = p(0), p1 = p(1), p2 = p(2), . . ., pk = p(k) რიცხვებია.
თუ შემოვიფარგლებით მხოლოდ k-ზე ნაკლები ხარისხის მრავალწევრებით, მივიღებთ ქვესივრცეს V[x, k]-ს.
V[x, 1] = R ან Q ან C, V[x, 2] მეორე ხარისხის მრვლწევრთა სიმრავლე და ასე შემდეგ.

ვთქვათ S წრფივი სივრცეა. განვიხილოთ სიმრავლედ ეს წრფივი სივრცე და მისგან, როგორც სიმრავლისაგან, შექმნილი ახალი წრფივი სივრცე FS. თავის თავში S-ის იგიური ასახვა იწვევს წრფივ ასახვას FS-დან S-ში. გვაქვს კომპოზიცია და ჩადგმა S → SFS და გვაქვს იგიური ასახვით გამოწვეული ჰომომორფიზმი FS → S. აქ სიფრთხილე გვმართებს. პირველი ასახვა ფაქტიურად იგიური ასახვაა. S-ის ჩადგმა FS-ში არ არის წრფივი, ანუ S-ის ვექტორის განხილვა როგორც სივრცე S-ის ასახვა ველში არ არის წრფივი, ბოლო ასახვა წრფივი ასახვაა, მთლიანად კომპოზიცია, S → SFS → S იგიურია, მაგრამ არა წრფივი, ერთი და იმავე სიმრავლეზე ოპერაციები განსხვავებულია. ვექტორთა ჯამის x + y შესაბამის ასახვას x + y ვექტორთა ჯამი x + y გადააქვს 1-ში, ხოლო თვით ვექტორები x და y ნულში. ასახვების x და y ჯამს x + y კი ვექტორები x და y გადააქვს 1, ხოლო ვექტორთა ჯამი, x + y გადააქვს 2-ში.

3. ქვესივრცე, ქვესივრცეთა მესერი

წრფივი სივრცის ქვესიმრავლე თუ სივრცეში განსაზღვრული ოპერაციების მიმართ ჩაკეტილია, მაშინ იგი თვით იქნება წრფივი სივრცე. ამგვარ ქვესიმრავლეს ქვესივრცეს უწოდებენ.

მხოლოდ ნული ერთერთი ქვესივრცეა, ერთადერთი, რომელიც ერთი ვექტორისაგან შესდგება. თვით სივრცეც ფორმალურად თავის თავის ქვესივრცეა. შემდგომში საკუთრივ ქვესივრცედ ამ ქვესივრცეებს არ ვიგულისხმებთ.

მაგალითი
ყოველი ვექტორი x განსაზღვრავს ქვესივრცეს xR-ს, რომელშიც ვგულისხმობთ სიმრავლე {xr}-ს, სადაც r-ში იგულისხმება რიცხვი.

მაგალითი
F(X, V) არის M(X, V)-ის ქვესივრცე

მაგალითი
პოლინომთა სიმრავლე ფორმალურ მწკრივთა
წრფივი სივრცის ქვესივრცის კიდევ ერთი მაგალითია.

ვთქვათ მოცემულია წრფივი სივრცე E. მის ქვესივრცეთა სიმრავლე ქვესიმრავლეთა სიმრავლის ნაწილია. ჩადგმა ქვესივრცეთა სიმრავლესაც ბუნებრივად ალაგებს. თანაკვეთის ოპერაციის მიმართ ქვესივრცეთა სიმრავლე ჩაკეტილია, ანუ ქვრსივრცეთა ერთობლიობის თანაკვეთა ისევ ქვესივრცეა. რაც შეეხება გაერთიანებისა და დამატების ოპერაციებს ეს უკვე ასე არ არის.

ვთქვათ მოცემულია ქვესივრცეთა ერთობლიობა {Ei | i ∈ I}. განვიხილოთ ახალი ერთობლიობა იმ ქვესივრცეთა, რომელნიც მოიცავენ ყველა Ei-ის. ასეთი ერთი მაინც არსებობს, მაგალითად თვით სივრცე E. ამ ახალ ერთობლიობაში შემავალ ქვესივრცეთა თანაკვეთა, აღვნიშნოთ ∑ Ei-ით და მოვიხსენიოთ როგორც ჯამი, იქნება ყველაზე მცირე ქვესივრცე, რომელიც მოიცავს ყველა Ei-ის.

წრფივი სივრცის ქვესივრცეთა სიმრავლე ამ ოპერაციებით ჰქმნის სტრუქტურას, რომელსაც მესერს უწოდებენ.

ინგლისურად - lattice
ფრანგულად - un treillis
გერმანულად - ein Verband
იტალიურად - un reticolo
ესპანურად - un retículo
რუსულად - решётка

საჭიროების შემთხვევაში ვიხმართ სხვა აღნიშვნებსაც: წრფივი სივრცე E-ს ქვესივრცეთა ერთობლიობის {Ei} თანაკვეთისათვის ∧ Ei, გასაგებია, რომ ∧ Ei = ∩ Ei. ხოლო ∨ Ei-ით აღვნიშნავთ E-ს უმცირესი ქვესივრცე, რომელიც მოიცავს ყველა Ei-ის, ანუ ∨ Ei. გასაგებია რომ ∪Ei ⊂ ∨ Ei. ასე რომ თუ x,y ∈ ∪Ei თუნდაც ისინი სხვადასხვა ქვესივრციდან იყოს ჯამი x+y მაინც ∨ Ei-ში იქნება ამიტომ ∨ Ei = ∑ Ei. გვექნება

0 ⊂ ∧ Ei ⊂ Ei ⊂ ∨ Ei ⊂ E
E-ს ქვესივრცე F-ის დამატება იქნება F' თუ F ∧ F' = 0 და F ∨ F' = E. გასაგებია, რომ დამატება ცალსახად არ განიმარტება, ანუ ერთი და იმავე ქვესივრცის ბევრი დამატება არსებობს. 4. წრფივი ასახვა

წრფივ სივრცეთა კატეგორიაში მორფიზმად აღიარებულია წრფივი ასახვა.

განსზღვრა
წრფივი სივრცე E-დან წრფივ სივრცე F-ში ასახვას f: E → F ეწოდება წრფივი ასახვა თუ შესრულებულია შემდეგი ორი პირობა:
1. ყოველი x და y ვექტორებისათვის E-დან
(x + y)f = xf + yf
2. ყოველი x-სათვის E-დან და რიცხვისათვის r
f(xr) = (f(x))r

ინგლისურად - linear map ან linear transformation
ფრანგულად - une application linéaire ან une transformation linéaire
გერმანულად - eine lineare Abbildung
იტალიურად - una mappa lineare ან una applicazione lineare ან una trasformazione lineare
ესპანურად - un mapa lineal ან una aplicación lineal ან una transformación lineal
რუსულად - линейное отображе́ние

მაგალითი
წრფივი სივრცის ვექტორების ველის ფიქსირებულ ელემენტზე გამრავლება ყოველი წრფივი სივრცისათვის თავის თავში წრფივი ასახვაა. ამგვარ ასახვას ჰომოთეტიას უწოდებენ, ფიქსირებულ ელემენტს კი ჰომოთეტიის კოეფიციენტს.

ინგლისურად - homothety
ფრანგულად - une homothétie
გერმანულად - ? Homothetie
იტალიურად - ? omotetia
ესპანურად - una homotecia
რუსულად - гомотетия

ველის როგორც წრფივი სივრცის ყოველი წრფივი ასახვა ჰომოთეტიაა. ჰომოთეტიის კორფიციენტი იქნება 1-იანის ანასახი. მართლაც,
f(1) = 1 • k = k ⇒ v → f(v) = f(v•1) = f(v)•f(1) = v • k
აქედან გამომდინარეობს, რომ ერთწარმომქმნელიანი წრფივი სივრცის თავის თავში წრფივი ასახვა მხოლოდ ჰომოტეტიაა და ამ წრფივ ასახვათა სიმრავლეც თვით ველია.

წრფივ ასახვათა კომპოზიცია ისევ წრფივი ასახვა იქნება.

თუ ორი წრფივი ასახვის შეკრება შეიძლება, ჯამი ისევ წრფივი ასახვა იქნება. მართლაც ვთქვათ f და g ორი წრფივი ასახვაა სივრციდან E სივრცეში F. განვმარტოთ
(f + g)x = f(x)+ g(x)
ასევე განვმარტოთ ველის ელემენტის მოქმედებასთან კავშირი
(f)(xv) = (f(x))v
ადვილი შესამოწმებელია რომ ეს ოპერაციები აკმაყოფილებს წრფივი სივრცის აქსიომებს. ასე რომ შეიქმნა ახალი წრფივი სივრცე, წრფივ ასახვათა სივრცე. აღვნიშნოთ იგი Lin(E, F)-ით.

შევკრიბოთ შენიშვნები. ყოველ ორ წრფივ სივრცე E-სა და F-ს შეესაბამება წრფივი სივრცე Lin(E, F). ასახვათა კომპოზიცია იძლევა ასახვას Lin(E, F) × Lin(F, G) → Lin(E, G). ასახვათა წყვილი (f, g) გადადის კომპოზიციაში f ∘ g, რაც ნიშნავს (g ∘ f)(x) = g(f(x)).
ასე რომ გვაქვს წრფივ სივრცეთა
კატეგორია L.

განსაკუთრებული მნიშვნელობის ასახვაა იზომორფიზმი. ეს არის ურთიერთ ცალსახა და წრფივი ასახვა. სივრცეებს ეწოდებათ იზომორფული თუ მათ შორის არსებობს იზომორფიზმი.

ერთწარმომქმნელიანი წრფივი სივრცე ველის იზომორფულია. მისი თავის თავში წრფივ ასახვათა ერთობლიობა თვით ველია. ეს ასახვები ნულის გარდა ყველა იზომორფიზმია.

ვთქვათ მოცემულია სიმრავლე X-ის ასახვა წრფივ სივრცე E-ში f: X → E. ავაგოთ წრფივი ასახვა FX-დან E-ში შემდეგნაირად: თუ a არის FX-ის ვექტორი, ანუ ასახვა X-დან ველში V, ამ ელემენტის ანასახი E-ში იყოს ჯამი ∑ xf • xa. ეს ჯამი სასრულია რადგან xa-თა მხოლოდ სასრული რაოდენობა განსხვავდება ნულისაგან. ამ ასახვისათვის შევინარჩუნოთ იგივე აღნიშვნა f. ნათელია, რომ აგებული ასახვა ინახავს ოპერაციებს და მაშასადამე, წრფივია. ადვილი დასამტკიცებელია შემდეგი

თეორემა
ყოველი წრფივი ასახვა სივრციდან FX ნებისმიერ წრფივ სივრცე S-ში განისაზღვრება სიმრავლური ასახვით X-დან S-ში, ანუ
Lin(FX, S) = Map(X, S)

5. ბირთვი, ანასახი

ყოველი წრფივი ასახვა გამოყოფს ორ ქვესივრცეს. თუ f: E → F წრფივი ასახვაა, ასახვის ბირთვი Ker f არის E-ს იმ ვექტორთა სიმრავლე რომელიც F-ის ნულში გადადის, ანუ ნულის წინასახე, 0f-
x ∈ Ker f ⇔ xf = 0
ეს ქვესიმრავლე ქვესივრცეა რადგან
xf = 0 ⇒ (xv)f = (xf)v = 0v = 0 და
xf = 0, yf = 0 ⇒ (x + y)f = xf + yf = 0 + 0 = 0

F-ს ელემენტები, რომელზეც E-დან რაიმე გადმოდის, ანასახი Im f იქნება ქვესივრცე. მართლაც, xf + yf = (x + y)f და (xv)f = (xf)v

ვთქვათ X წრფივი სივრცე S-ის ქვესიმრავლეა, X⊂S. აღვნიშნოთ D-თი ასახვა.გვექნება ზუსტი მიმდევრობა
0 → D → FX → S

წრფივ ასახვას, რომლის ბირთვიც ნულოვანი სივრცეა, უწოდებენ მონომორფიზმს. ქვესივრცის სივრცეში იგიური ჩადგმა მონომორფიზმია.

თუ f: E → F ისეთი ასახვაა, რომ F-ს ყოველი ვექტორისათვის არსებობს E-ში ვექტორი რომელიც მასზე გადმოდის, მაშინ ამგვარ ასახვას ეპიმორფიზმს უწოდებენ. ეს საკმაოდ სასარგებლო ცნებებია. იზომორფიმი არის ასახვა, რომელიც ერთდროულად მონომორფიზმიცაა და ეპიმორფიზმიც.

ინგლისურად - monomorphism, epimorphism, isomorphism
ფრანგულად - un monomorphisme, un epimorphisme, un isomorphisme
გერმანულად - ein Monomorphismus, ein Epimorphismus, ein Isomorphismus
იტალიურად - un monomorfismo, un epimorfismo, un isomorfismo
ესპანურად - un monomorfismo, un epimorfismo, un homomorfismo
რუსულად - мономорфизм, эпиморфизм, изоморфизм

სასარგებლოა ბირთვისა და ანასახის ორადული ცნებებიც. წრფივი ასახვის f: E → F კობირთვია სივრცე F-ის ფაქტორ სივრცე F / Im f, აღნიშნავენ Coker f-ით. იგივე წრფივი ასახვის კოანასახია E-ს ფაქტორ სივრცე E / Ker f და აღნიშნავენ Coim f-ით. გვექნება, ეგრეთ წოდებული, ზუსტი მიმდევრობები
0 → Ker f → E → Coim f → 0
0 → Im f → F → Coker f → 0
სიზუსტე ნიშნავს, რომ ყოველი ასახვის ანასახი მომდევნო ასახვის ბირთვის ტოლია.

ასევე ნათელია, რომ Coim f და Im f იზომორფული სივრცეებია და ეს იზომორფიზმი კანონიკურია, ანუ ბუნებრივად განისაზღვრება თვით წრფივი ასახვა f-ით. საბოლოოდ გვაქვს f-ის დაშლა ეპიმორფიზმის, იზომორფიზმის და ჩადგმის კომპოზიციად
Ker f ⊂ E → Coim f ↔ Im f ⊂ F → Coker f

ასევე სასარგებლოა ზუსტი მიმდევრობის
0 → Ker f → E → F → Coker f → 0
განხილვაც.

6. განტოლება

r1x1+ r2x2+ . . + rmxm=s
X იყოს სიმრავლე {x1,x2, . . .,xm}, ეგრეთ წოდებულ უცნობთა სიმრავლე.
კოეფიციენტთა სიმრავლე განვიხილოთ როგორც ვექტორი c ასახვა
c: X → V, c(x1)=r1, c(x2)=r2, . . ., c(xm)=rm.
განტოლება წარმოგვიდგება როგორც სკალარული გამრავლებით შექმნილი ასახვა FX → V. ამოცანაა მოვძებნოთ ვექტორი რომელიც ამ ასახვით გადადის ველის ელემნტ s-ში.
c ∊ FX
განტოლება: <c, a> = s
საძიებელია ვექტორი a
სხვაგვარად გვაქვს წრფივი ასახვა FX → V, a → <c, a>
ანუ გვაქვს წრფივი ფორმა
საძიებელია s-ის წინასახე

ამონახსნების დანახვა ადვილია და იმისიც რომ ამონახსნები ბევრია. მაგრამ თუ გვაქვს არა ერთი არამედ ორი ან რამდენიმე განტოლება რომელთა ამონახსნმა ყველა უნდა უზრუნველყოს საქმე ოდნავ რთულდება.
წრფივ განტოლებათა სისტემა
r11x112x2+ . . + r1mxm=s1
r21x1+r22x2+ . . .+r2mxm=s2
. . . . . . . . . . .
rn1x1+rn2x2+ . . .+rnmxm=sn
X იყოს სიმრავლე {x1,x2, . . .,xm}, G იყოს სიმრავლე {1, 2, . . .,n}
g იყოს ვექტორი g: G → V, g(1)=s1, g(2)=s2, . . ., g(m)=sm
ci იყოს ვექტორი ci: X → V, ci(x1)=ri1, ci(x2)=ri2, . . ., ci(xm)=rim
წრფივ განტოლებათა სისტემა
<ci, a> = g(i)
საძიებელია ვექტორი a განტოლებათა სისტემა არის უკვე რამოდენიმე განტოლება, ამოცანა კი მათი საერთო ამონახსენის მოძებნა. სისტემაც ასახვით შევცვალოთ. G იყოს განტოლებათა სიმრავლე, X ასახვათა არგუმენტების სიმრავლე. ასახვა g იქნება განტოლებათა სისტემის განტოლების მარჯვენა მხარეს მდებარე რიცხვის მიმთითებელი ასახვა G-დან ველში, a:G → V, განტოლება g იქნება
rn1x1+ri2x2+ . . .+rimxm=g(i)
საპოვნელია ასახვა, მოსაძებნია ვექტორი, რომლის ანასახებით x1,x2, . . .,xm-თა ჩანაცვლება ტოლობას დააკმაყოფილებს. შევცვალოთ g(i) რიცხვი 0-ით, მიღებულ განტოლებათა სისტემას რომელთა მარჯვენა მხარე ნულია ერთგვაროვან სისტემას უწოდებენ. თუ დავუკვირდებით მისი და ძირითადი სისტემის განტოლებათა ამონახსნების ჯამი ისევ ძირითადი განტოლების ამონახსენი იქნება, მივიღეთ რომ საძიებელი ამონახსენი (ამოხსნათა სიმრავლე) იქნება ასახვის FX → FG ბირთვის მიმართ შრე, აფინური ქვესივრცე. ამ წარმოდგრნათა შედეგად საჭიროა ვიპოვოთ აღწერილი წრფივი ასახვის ბირთვი და ძირითადი სისტემის ერთი ამონახსენი რითაც სასურველი შრის აღწერა უკვე შესაძლებელია. დავიწყოთ ერთგვაროვან განტოლებათა სისტემიდან. ავიღოთ სისტემის ერთი განტოლება და შევეცადოთ განვსაზღვროთ მისი ერთ ერთი კომპონენტი როგორც დანარჩენთა კომბინაცია. დანარჩენ განტოლებებში შევცვალოთ მიღებული კომბინაციით. განტოლებათა რაოდენობა შემცირდა. მივიღეთ ექვივალენტური სისტემა, ანუ საძიებელ ვექტორთა რაოდენობა არ შეიცვალა. თუ ამ პროცესს გავაგრძელებთ სისტემაში განტოლებათა რაოდენობა დავა საძიებელ ვექტორთა რაოდენობისა და განტოლებათა რაოდენობის სხვაობამდე. თუ დავა ერთ განტოლებამდე მისი ამოხსნის ხერხი უკვე ვიცით
აღვწერეთ

თუ განტოლებათა სისტემას დავუმატებთ სისტემის განტოლების ჯერადს ამით ამონახსენთა სიმრავლე არ იცვლება. თუ დავუმატებთ მისივე სისტემის განტოლებათა ჯამს ამით ამონახსთა სიმრავლე არ იცვლება. ამ პროცედურების გამოყენებით შეგვილია განტოლებათა რაოდენობა შევამციროთ და მივიღოთ ერთი მაინც განტოლება მხოლოდ ერთი უცნობი ვექტორით რის შემდეგ ამ ვეტორს წარმოვადგენთ სხვათა წრფივი კომბინაციით და ჩავსვამთ ყველა განტოლებაში მივიღებთ საძიებელ ვექტორთა რაოდენობის შემცირებას. გავიმეოროთ ამგვარი პროცედურა სანამ სასურველ შედეგს არ მივიღებთ. თუ განტოლებათა სისტემის წარმომქმნელ ვექტორებს მათ წრფივ კომბინაციებს დავუმატებთ მათი დამატებით მიღებულ სისტემას იგივე ამონახსნები ექნება. ამიტომ გავაფართოვოთ სიტემის წარმომქმნელ ვექტორთა სიმრავლე ქვესივრცემდე და განტოლებათა სისტემა წარმოვიდგინოთ როგორც მოცემული ქვესივრცე G და წრფივი ასახვა g:G → V ტოლობებით
c ∊ G, <ci, a> = g(i)
საძიებელია a
ავიღოთ ამ სისტემის შესაბამისი ერთგვაროვანი სისტემა
c ∊ G, <ci, a> = 0
ადვილი დასანახია რომ ამ სისტემის ამონახსთა ერთობლიობა G-ის ორთოგონალური ქვესივრცეა და მაშასადამე ძირითადი სისტემის ამონახსნი იქნება მის მიმართ შრე, ანუ ამით მიღებული ფაქტორ სივრცის ელემენტი.

7. წარმომქმნელი და ბაზისი

ვთქვათ X წრფივი სივრცე S-ის ქვესიმრავლეა, X⊂S. განვიხილოთ ჩადგმით გამოწვეული ასახვა FX → S. აღვნიშნოთ D-თი ასახვის ბირთვი .გვექნება ზუსტი მიმდევრობა
0 → D → FX → S
ქვესივრცე D მოიცავს X-ის ვექყორთა ნულის ტოლ წრფივ კომბინაციებს. თუ D ნულის ტოლია მაშინ D-ს წრფივად დამოუკიდებლად მოვიხსენიებთ. თუ ეს ასახვა ეპიმორფიზმია, x იქნება S-ის წარმომქნელი სიმრავლე. თუ ეს ასახვა იზომორფიზმია X-ს S-ის ბაზისს უწოდებენ.

ვთქვათ C ⊂ S და FC ⊂ FS. თუ D ∩ FC = 0, რაც ნიშნავს რომ წრფივი ასახვა FC → S მონომორფიზმია, მაშინ C წრფივად დამოუკიდებელია. ბაზისი წრფივად დამოუკიდებელი მაქსიმალური სიმრავლეა.

თუ B ⊂ S ბაზისია, ანუ FB-ს S-ში ასახვა მონომორფიზმია, ხოლო D ასახვის FX → S ბირთვი მაშინ ნულის გარდა FX-ს ვექტორი D-ში ვერ მოხვდება, ანუ ქვესივრცე FX იქნება D-ს დამატება S-ში, ანუ მივიღებთ S = FX + D.

ვთქვათ მოცემულია მონომორფიზმი m: S → FS პირობით: კომპოზიცია ასახვასთან FS → S იგიურია და D ∩ Sm = 0, ანუ Sm ქვესივრცე D-ს დამატებაა. ადვილი დასანახია, რომ თუ სიმრავლე C-ს შესაბამისი ასახვათა ქვესიმრავლე C შედის Sm-ში მაშინ ვექტორთა სიმრავლე C წრფივად დამოუკიდებელია. ყოველი მონომორფიზმი m: S → FS ზემოთ მოტანილი პირობით განსაზღვრავს ვექტორთა წრფივად დამოუკიდებელ სიმრავლე C-ს, C = S ∩ Sm. შესაძლოა ცარიელ სიმრავლეს.

8. ფაქტორიზაცია

თუ მოცემულია წრფივი სივრვე S და მისი ქვესივრცე T შეგვიძლია ავაგოთ ახალი წრფივი სივრცე S/T. ეს სივრცე მიიღება S-ში მიმართების შემოღებით: ვექტორი x და ვექტორი y ჩავთვალოთ მიმართებაში მყოფებათ თუ მათი სხვაობა ეკუთვნის T-ს, x - y ∈ T. ერთმანეთთან მიმართებაში მყოფთა მაქსიმალურ სიმრავლეს ვუწოდებ შრეს. ბუნებრივია ყოველი ვექტორი შედის რომელიმე შრეში, ვექტორ x-ის მომცველი შრე არის სიმრავლე {x + u | u ∈ T} = x + T. ამ შრეთა სიმრავლეა სწორედაც ფაქტორ-სივრცე S/T, x + T ∈ S/T. გასაგებია ასახვაც S → S/T, x → x + T. გასაგებია S/T-ში ოპერაციებიც: x + T + y + T = (x+y) + T, (x + T)r = xr + T. ნათელია ოპერაციათა კორექტულობა და აგებული ასახვის წრფივობაც.

9. სივრცეთა ჯამი და ნამრავლი

ვთქვათ მოცემულია სიმრავლე I და მისი ყოველი ელემენტი i-სათვის წრფივი სივრცე Si.

განსაზღვრა
წრფივ სივრცე S არის სივრცე Si-თა ჯამი, S = ∑ Si, თუ არსებობს წრფივი ასახვები fi: Si → S ისეთი რომ წრფივ ასახვათა gi: Si → T ყოველი სისტემისათვის გვექნება ერთადერთი წრფივი ასახვა g: S → T პირობით: gi = g ∘ fi

თუ ამ განსაზღვრაში შევაბრუნებთ ისრებს გვექნება ორადული ტერმინის, ნამრავლის

განსაზღვრა
წრფივ სივრცე S არის სივრცე Si-თა ნამრავლი, S = ∏ Si, თუ არსებობს წრფივი ასახვები fi: S → Si ისეთი რომ წრფივ ასახვათა gi: T → Si ყოველი სისტემისათვის გვექნება ერთადერთი წრფივი ასახვა g: T → S პირობით: gi = fi ∘ g

ვთქვათ S = ∑ Si, სიმრავლე I-ის ელემენტ k-სათვის ასახვათა სისტემად ავიღოთ ასახვები Sk → Si, k-სათვის იგიური, დანარჩენთათვის ნულოვანი. მისი შესაბამისი ასახვა S → Sk იქნება ეპრიმორფიზმი, რომელიც ასახვასთან Sk → S კომპოზიციაში იგიურს იძლევა.

იმავენაირად ნამრავლისათვის სისტემად ავიღოთ Sk → Si, k-სათვის იგიური, დანარჩენთათვის ნულოვანი, მისი შესაბამისი ასახვა Sk → ∏ Si იქნება მონომორფიზმი, რომელიც ასახვასთან ∏ Si → Sk კომპოზიციაში იგიურს იძლევა.

თუ ასახვთა სისტემად ავიღებთ აგებულ ასახვებს ∑ Si → Sk, მივიღებთ ჰომომორფიზმს ჯამიდან ნამრავლში ∑ Si → ∏ Si. ასევე აიგება ასახვათა სისტემის Sk → ∏ Si შესაბამისი მეორე ჰომომორფიზმი. ეს ჰომომორფიზმები ტოლია და მივიღეთ კომუტატურ დიაგრამათა სისტემა
Si   =   Si
↓         ↑
∑Si → ∏Si

თუ დავუკვირდებით დავინახავთ, რომ FX = ∑Sx, ხოლო MX = ∏Sx, სადაც ყოველი Sx ველი V-ა.

ვთქვათ მოცემულია სიმრავლე I და ყოველი მისი ელემენტი i-სათვის სიმრავლე Xi. ბუნებრივია გვაქვს მონომორფიზმები F(Xi) → F(∪ Xi). სათანადო განსაზღვრებიდან გამომდინარე ეს მონომორფიზმები იწვევს ასახვებს F(∪ Xi) → F(Xi) და
∑ F(Xi) → F(∪ Xi). ადვილი შესამოწმებელია (ერთადერთობის გამო) რომ ეს ასახვები ურთიერთ შებრუნებადია. მივიღეთ

თეორემა
F(∪ Xi) = ∑ F(Xi)

10. აფინური სივრცე

აფინური სივრცე დიფერენცირებადი მრავალნაირობის უმარტივესი ფორმაა. ეს მრავალნაირობის ბრტყელი ანალოგია. წერტილიდან წერტილზე გადასვლა მხების ვექტორით ხდება. მომავალში ძირითად ველად ვგულისხმობთ ნამდვილ რიცხვთა ველს. ყოველ წერტილში ერთი და იგივე მხები სივრცეა.

განსაზღვრა
წრფივი სივრცე ℐA-ს მიმართ აფინური სივრცე არის სიმრავლე A და ოპერაცია A × ℐA → A, [x, u] → a + u, სადაც a ∈ A (თვით A-ს ელემენტს ვუწოდებთ წერტილს), u ∈ ℐA (ხოლო ℐA-ს ელემენტს ვუწოდებთ ვექტორს).
ოპერაცია აკმაყოფილებს პირობებს:
1. ყოველი წერტილი a-სა და ვექტორთა ყოველი წყვილი u და v-სათვის სამრთლიანია ტოლობა
(a + u) + v = a + (u + v)
2. წერტილთა ყოველი წყვილი a, b-სათვის არსებობს ℐA-ს ერთადერთი ვექტორი b - a ისეთი რომ
a + (b - a) = b

ინგლისურად - affine space
ფრანგულად - un espace affine
გერმანულად - der affine Raum
იტალიურად - lo spazio affine
ესპანურად - el espacio afín
რუსულად - аффинное пространство

ℐA წრფივი სივრცეა, რომელიც A-ს მხები სივრცის როლს ასრულებს. აფინური სივრცე A-ს ყოველ წერტილ a-ს შეიძლება მიემატოს წრფივი სივრცე ℐA-ს ვექტორი u და ვიღებთ აფინურ სივრცე A-ს წერტილს a + u. ამ შეკრების შებრუნებული ოპერაცია იქნება აფინური სივრცე A-ს წერტილთა სხვაობა, შედეგი რასაკვირველია ℐA-შია. თუ წერტილ a-ს დავაფიქსირებთ, ასახვა u → a + u იძლევა წრფივ სივრცე ℐA-ს ურთიერთ ცალსახა ასახვას აფინურ სივრცე A-ზე, მხები სივრცის საბაზო სივრცეზე პროექტირება.

მაგალითი
აფინური სივრცის ძირითადი მაგალითია თვით წრფივი სივრცე. წრფივ სივრცეს აფინურისაგან ანსხვავებს სათავის ფიქსაცია. აფინურ სივრცეშიც არსებობს ოპერაციები. ესაა წერტილთა სხვაობებზე როგორც მხების ვექტორებზე ოპერაციის შედეგი. რადგან

b = c + (b - c) = a + (c - a) + (b - c)
ხოლო b - a ერთადერთია რომლისათვისაც b = a + (b - a), ამიტომ

თეორემა

b - a = (c - a) + (b - c)
b - a = - (a - b)

მტკიცება
a + (c - a) + (b - c) = c + (b - c) = b, მაშასადამე (c - a) + (b - c) = b - a
a + (b - a) + (a - b) = b + (a - b) = a, მაშასადამე (b - a) + (a - b) = 0

მაგალითი
ვთქვათ S წრფივი სივრცეა და T მისი ქვესივრცე. ამ ქვესივრცის მიმართ
S/T ფაქტორიზაციის ყოველი შრე არის აფინური სივრცე რომლის მხები სივრცეა T.

აფინური სივრცის აფინური ქვესივრცე ბუნებრივად განისაზღვრება როგორც აფინური სივრცის ქვესიმრავლე და მისი მხების წრფივი ქვესივრცე. აფინური ქვესივრცის ფიქსაცია შეიძლება მხები სივრცის წრფივი ქვესივრცითა და აფინური სივრცის წერტილით
{a + u | u მოცემული წრფივი ქვესივრცის ვექტორია}

ბუნებრივია, თუ წრფივი ქვესივრცე ერთგანზომილებიანია აგებულ აფინურ ქვესივრცეს ვუწოდოთ წრფე. თუ ორგანზომილებიანი - სიბრტყე.

აფინური ქვესივრცე შეიძლება მოიცეს მის წერტილთა ერთობლიობითაც. ამ შემთხვევაში მხებ სივრცედ ავიღებთ მოცემულ წერტილთა სხვაობებით შექმნილ წრფივ ქვესივრცეს.

11. ბარიცენტრული კოორდინატები

ვთქვათ მოცემულია აფინური სივრცე A-ს წერტილთა სასრული სიმრავლე X და წერტილი a. განვიხილოთ წერტილთა სიმრავლე ca{font-family:Forte;font-size:25;font-weight:bold} ct{color:FF0000;font-weight:bold} cz{font-family:"Colonna MT";font-size:30;font-weight:bold} df{margin:24;color:0000FF;font-weight:bold} ex{margin:16;color:DD0000} gr{color:00FF00;font-weight:bold} l{font-family:Lucida Calligraphy;font-size:24} tm{margin:18;color:FF0000;font-weight:bold} pr{margin:16;color:000099;font-weight:bold} re{color:FF0000;font-weight:bold} zz{font-size:20;font-weight:bold}{a + ∑ (xi - a)vi | vi ველიდან V, xi ∈ X} ნათელია, რომ ეს სიმრავლე აფინური ქვესივრცეა და მისი მხები წრფივი სივრცე ვექტორებით xi - a არის წარმოქმნილი.

ეს აფინური სივრცე გაივლის X-ის წერტილებზე და წერტილზე a. თუ გვინდა რომ მხოლოდ X-ის წერტილთა მომცველი აფინური სივრცე ავაგოთ კოეფიციენტებზე vi დამტებითი პირობა უნდა მოვითხოვოთ: მათი ჯამი უნდა უდრიდეს ერთს. ამგვარ კოეფიციენტებს ბარიცენტრულ კოორდინატებს უწოდებენ.

ინგლისურად - barycentric coordinate
ფრანგულად - une coordonnée barycentrique
გერმანულად - eine baryzentrische Koordinate
იტალიურად - una coordinate baricentriche
ესპანურად - una coordenada baricéntrica
რუსულად - барицентри́ческая координа́та

12. წრფივი ობიექტი

ვთქვათ მოცემულია აფინური სივრცე A (იგულისხმება ℐA-ს არსებობა) და ამ სივრცის წერტილთა სასრული სიმრავლე X. წინა პარაგრაფში აღიწერა ამ სიმრავლე X-ზე დაჭიმული აფინური ქვესივრცე, როგორც წერტილთა სიმრავლე

a + ∑ (xi - a)ri
ამ გამოსახულებაში а აფინური სივრცის ნებისმიერი ფიქსირებული წერტილია, კოეფიციენტთა ri ჯამი უდრის 1-ს, xi კი სიმრავლე X-ის წერტილებია.

იმავე სიმრავლე X-ზე დაჭიმული შემოსაზღვრული ამოზნექილი სიმრავლე, აღნიშვნა [X], იქნება იმავე გამოსახულებით აღწერილი წერტილების სიმრავლე ერთი დამატებითი პირობით: ყოველი კოორდინატი არა უარყოფითია, ანუ 0 ≤ ri ≤ 1.

ნებისმიერი სიმრავლის შემთხვევაში შესაძლოა ერთი და იმავე წერტილს რამდენიმე განსხვავებული გამოსახულება შეესაბამება. სიმრავლე X იქნება აფინურად დამოუკიდებელი თუ ყოველ წერტილს ერთადერთი გამოსახულება შეესაბამება. ამ შემთხვევაში მხები წრფივი სივრცის განზომილება იქნება სიმრავლე X-ის წერტილთა რაოდენობას გამოკლებული 1.

13. აფინური ასახვა

აფინური მორფიზმი უნდა ინახავდეს სტრუქტურას. ამისათვის

განსაზღვრა
აფინური სივრცე E-დან აფინურ სივრცე F-ში ასახვა f-ს უწოდებენ აფინურ ასახვას თუ მის მიერ გამოწვეული ასახვა ℐE-დან ℐF-ში
u → f(a + u) - fa
წრფივია

ბუნებრივია, ყოველი წრფივი ასახვა აფინურია.

14. მრავალწევრთა ალგებრა

სპეციფიურ ასახვებს რომლის საფუძველიც მხოლოდ შეკრება და გამრავლებაა მრავალწევრს უწოდებენ.

განსაზღვრა
MX-ით წარმოქმნილ ალგებრას ვუწოდებთ ველი V-ს მიმართ სიმრავლე X-ით განსაზღვრულ მრავალწევრთა ალგებრას.

სიმრავლე X-ის ბაზაზე შექმნილ მრავალწევრთა ალგებრას აღვნიშნავთ P(X, V)-თი, ან უბრალოდ PX-ით თუ გაურკვევლობას არ იწვევს.

ინგლისურად - polynomial
ფრანგულად - un polynôme
გერმანულად - ein Polynom
იტალიურად - un polinomio
ესპანურად - un polinomio
რუსულად - многочле́н ან полино́м

მრავალწევრი გამოიყენება როგორც წრფივი სივრცის სპეციფიური ასახვა, პოლინომიარული ასახვა. თუ m
მონოიდი MX-ის ელემენტია, ხოლო v წრფივი სივრცე F(X, V)-ს ვექტორი, ანუ m: X → 0 ∪ N და ვექტორი v: X → V, მაშინ m-ის როგორც ასახვის შედეგი v-ზე, vm განვსაზღვროთ როგორც ∏xvxm, სადაც x გაირბენს მთელ X. რადგან ორივე ელემენტის საყრდენი სასრულია ამ გამოსახულებას აზრი აქვს. ჩვეულებრივ საქმე უფრო მარტივადაცაა რადგან X უმეტეს შემთხვევაში სასრულია.
ვექტორ v-ზე მრავალწევრი а ∈ P(X, V) მოქმედებს თავისი კომპონენტების მოქმედებების ჯამად, ანუ va = ∑vm • ma, სადაც უკვე m გაირბენს მთელ მონოიდ MX-ს. აქაც ჯამის აზრიანობა საყრდენთა სასრულობის შედეგია. P(X, V)-ს ყოველი ელემენტი წარმოგვიდგება როგორც წრფივი სივრცე F(X, V)-ს ასახვა ველში V. მივიღეთ ასახვა F(X, V) × P(X, V) → V.
ამ პროცედურას ჩვეულებრივ ვექტორის მრავალწევრში ჩასმას უწოდებენ.
ასე რომ P(X, V) ⊂ Map(FX, V). თუ X-ზე რაიმე სტრუქტურაა სჭიროა შემოწმდეს ინახავს თუ არა მას. მრავალწევრი უწყვეტი ასახვაა.

ყველაზე გავრცელებული და ალბათ ყველაზე მნიშვნელოვანია ჩვეულებრივ, ერთ არგუმენტიან მრავალწევრში, ანუ V[t]-ში ჩასმა. მაგრამ ჩასასმელ ელემენტებზე უნდა გვქონდეს ოპერაციები. ჩვეულებრივ ეს შეკრება და გამრავლებაა. ანუ თუ გვაქვს ალგებრა A ველი V-ს მიმართ შეგვეძლება ჩავსვათ მისი ელემენტი მრავლაწევრში V[t]-დან, ანუ გვაქვს ასახვა A × V[t] → A. ალგებრა A-ს ელემენტ a-ს უწოდებენ მრავალწევრ m-ის ფესვს თუ a-ს m-ში ჩასმის შედეგად ვიღებთ ნულს.

თუ გვაქვს ალგებრა A შეგვიძლია განვიხილოთ A-ს კოეფიციენტებიანი მრავალწევრიც, ანუ შევქმნათ ალგებრა P(X, A), კერძოდ A[t]. ეს იქნება სასრულ საყრდენიანი ასახვების სიმრავლე მონოიდი MX-დან ალგებრა A-ში. ამგვარ მრავალწევრშიც შესაძლებელია ალგებრა A-ს ელემენტის ჩასმა.

15. მრავალწევრის ფესვი

ვთქვათ მოცემულია ველი V, ალგებრა A და სიმრავლე X (სასრული?). ველის შემთხვევის ზემოთ აღწერილის ანალოგიით ვაგებთ A-მოდულ F(X, A)-ს და მრავალწევრთა ალგებრა P(X, A)-ს. განვსაზღვრავთ ასახვას F(X, A) × P(X, A) → A. განისაზღვრება მიმართებაც ვექტორი u ∈ F(X, A) და მრავალწევრი a ∈ P(X, A) მიმართებაშია, წერტილი u მრავალწევრ a-ს ფესვია, ua = 0. ეს მიმართება განსაზღვრავს გალუას თანადობაF(X, A)-ს ქვემოდულებსა და P(X, A)-ს იდეალებს შორის და ამით გამოიყოფა განსაკუთრებული ქვემოდულები და განსაკუთრებული იდეალები. მრავალწევრის ფესვთა სიმრავლეს მათემატიკურ ტექსტებში, ჩვეულებრივ, ალგებრულ მრავალნაირობად მოიხსენიებენ.

მრავალწევრს უწოდებენ დაუყვანადს თუ ის ვერ წარმოიდგინება სხვა მრავაიწევრთა ნამრავლის სახით. თუ მრავალწევრი დაუყვანადი არ არის მაშინ ის არის მის ხარისხზე ნაკლებ ხარისხიან მრავალწევრთა ნამრავლი აქედან დასკვნა: ყოველი მრავალწევრი არის დაუყვანად მრავალწევრთა ნამრავლი. შესაძლოა მრავალწევრს ბევრი დაუყვანადი გამყოფი ჰქონდეს.

თუ a არის მრავალწევრი m-ის ფესვი, მაშინ მრავალწევრი m გაიყოფა (t - a)-ზე. ეს ფაქტი მე ვიეტას თეორემის სახელით ვიცი, თუმცა მათემატიკოსი ვიეტას (François Viètte, ლათინურად Franciscus Vieta, 1540.?.? - 1603.02.23) ბიოგრაფიაში ამის დადასტურება ვერ ვიპოვე.
თუ m = mktk + . . . + m1t + m0, მაშინ mkak + . . . + m1a + m0 = 0. განვსაზღვროთ k - 1 ხარისხის მრავალწევრი n-ის კოეფიციენტები ტოლობიდან m = (t - a) • n.
nk-1 = mk
nk-2 = mk-1 + a • mk, რადგან mk-1 = nk-2 - a • nk-1
nk-3 = mk-2 + a • mk-1 + a2 • mk, რადგან mk-2 = nk-3 - a • nk-2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n1 = m2 + a • m3 + . . . + ak-2 • mk, რადგან m2 = n1 - a • n2
n0 = m1 + a • m2 + a2 • m3 + . . . + ak-1 • mk, რადგან m1 = n0 - a • n1
- a • n0 = a • m1 + a2 • m2 + . . . + ak • mk უნდა უდრიდეს -m0-ს. ეს მართლაც ასეა რადგან a მრავალწევრი m-ის ფესვია.
თუ მრავალწევრი m-ის კოეფიციენტები და ფესვი a ველის ელემენტებია მაშინ, გასაგებია, n-იც V[t]-ს მრავალწევრი იქნება. თუ ფესვი ველის გარეთაა, მაშინ თვით მრავალწევრი რომ შედიოდეს V[t]-ში მრავალწევრი n მაინც V[t]-ს გარეთ დარჩება.

16. მრავალწევრის ფესვი და ჰომომორფიზმი

თეორემა
თუ f: A → B ჰომომორფიზმია და p მრავალწევრი მაშინ (xf)p = (x)p

მტკიცება
ნათელია რადგან ალგებრათა ჰომომორფიზმი იცავს როგორც შეკრებას ასევე გამრავლებას და ველის ელემენტის მოქმედებას ხოლო პოლინომი ამ ოპერციათა კომბინაციაა.

ამ თეორემის შედეგია პოლინომის ფესვთა შორის დამოკიდებულება.
ვთქვათ მოცემულია ორი ალგებრა A, B და ჰომომორფიზმი f: A → B მათ შორის. თუ x ∈ A და xf არის მრავალწევრ p-ს ფესვი, ანუ (xf)p = 0, მაშინ (x)p = 0, ანუ x-იც p-ს ფესვია.

მრავალწევრ p-სათვის და ალგებრა A-სათვის აღვნიშნოთ P(A)-თი A-ში მრავალწევრ p-ს ფესვთა სიმრავლე. თეორემა ამბობს რომ P(A)-თა ერთობლიობა ალგებრათა ჰომომორფიზმებთან ერთად ჰქმნის კატეგორიას.

17. სიმეტრიული მრავალწევრი

ვთქვათ მოცემულია ველი V, მის მიმართ სასრული განზომილების ალგებრა A და სასრული სიმრავლე X. მათი მეშვეობით გვაქვს X-ის გადანაცვლებათა ჯგუფი S, მრავალწევრთა ალგებრა P(X, V) და წრფივი სივრცე A × . . . × A როგორც X-ის A-ში ყველა ასახვათა სიმრავლე P(X, A). რადგან S მოქმედებს X-ზე მისი მოქმედება გავრცელდება P(X, V)-ზეც და P(X, A)-ზეც. თუ s ∈ S, a ∈ M(X, V), ხოლო b ∈ M(X, A), მაშინ მოქმედება განისაზღვრება როგორც კომპოზიცია s ∘ a და s ∘ b.

განსაზღვრა
M(X, V)-ის მრავალწევრ m-ს ვუწოდოთ სიმეტრიული თუ სიმრავლე {m} მოქმედების ორბიტია, ანუ ყოველი s-ისათვის S-დან s ∘ m = m

ნaთელია, რომ სიმეტრიულ მრავალწევრთა სიმრავლე წრფივი სივრცეა. მეტიც, რადგან s ∘ (m • n) = (s ∘ m) • (s ∘ n) სიმეტრიულ მრავალწევრთა სიმრავლე კომუტატური ალგებრაა.

ველის ელემენტი ყველა სიმეტრიულია. ეს იქნება ნულოვანი ხარისხის სიმეტრიული მრავალწევრი. პირველი ხარისხის სიმეტრიული მრავალწევრი იქნება X-ის ასახვა ველის ერთი და იმავე ელემენტში, მაგალითად v-ში. ეს მრავალწევრი არის v(t1 + . . . + tk). ასევე სიმეტრიული მრავალწევრი იქნება ყველა განსხვავებულ წყვილთა ნამრავლების ჯამი ველის ნებისმიერ ელემენტზე გამრავლებული v(t1t2 + . . . + tk-1tk). შემდეგ ყველა განსხვავებულ სამეულთა ნამრავლის ჯამი და ასე შემდეგ. ბოლოს vt1 . . . tk. ეს ჯამები კოეფიციეტის გარეშე მოიხსენიება როგორც ძირითადი, ელემენტარული სიმეტრიული მრავალწევრები. შემოვიღოთ მათი აღნიშვნებიც, n არგუმენტთა ნამრავლების ჯამი აღვნიშნოთ sn-ით.

ვთქვათ A კომუტატური ალგებრაა. sn გამოვიყენოთ როგორც ასახვა რომელიც წრფივი სივრცე A × . . . × A-ს ელემენტ
[x1, . . ., xk]-ს გადაიტანს (x1, . . ., xk) sn-ში. ალგებრა A-ს ეს ელემენტები
an = (-1)k-n(x1, . . ., xk)sn
გამოვიყენოთ მრავალწევრის კოეფიციენტებად. გვექნება
m = tk + ak-1tk-1 + . . . + a1t + a0
თუ შევასრულებთ გამრავლებას ∏(t - xn) მივიღებთ იმავე მრავალწევრს.

ვთქვათ A კომუტატური ალგებრაა. ავიღოთ მისი ნამრავლის ელემენტი [x1, . . ., xk] ∈ A × . . . × A. განვიხილოთ V[t]-ს ყველა ის მრავალწევრი რომელსაც აღებული ვექტორის კოორდინატები x1, . . ., xk ფესვებად აქვს, ჯერადობის გათვალისწინებით. ბუნებრივია, ეს სიმრავლე იდეალია, I(x1, . . ., xk). უმეტეს შემთხვევაში ეს იდეალი ნულოვანია, რადგან მრავალწევრის კოეფიციენტებად ვგულისხმობთ ველი V-ს ელემენტს. ნათელია, რომ ამ იდეალის წარმომქმნელია წინა აბზაცში აგებული მრავალწევრი. დამტკიცდა

თეორემა
იდეალ I(x1, . . ., xk)-ს წარმომქმნის მრავალწევრი, რომლის კოეფიციენტებია ელემენტარული სიმეტრიული მრავალწევრების მნიშვნელობები ვექტორ [x1, . . ., xk]-ზე

ეს თეორემაც ვიეტას (François Viète, 1540.? - 1603.02.23) თეორემის სახელითაა ცნობილი.

18. მრავალწევრის დაშლა, დაუყვანადი მრავალწევრი

მრავალწევრი შესაძლოა იყოს ორი სხვა მრავალწევრის ნამრავლი. თავის მხრივ ყოველი თანამამრავლიც შესაძლოა წარმოდგეს როგორც ნამრავლი. ეს პროცესი უსასრულოდ ვერ გაგრძელდება რადგან თანამამრავლთა ხარისხი იკლებს. ასე რომ მივიღებთ მრავალწევრის დაშლას დაუშლელ თანამამრავლებად. მრავალწევრს რომელიც ნამრვლად ვერ წსრმოოიდგინება ჩვეულებრივ დაუყვანად მრავალწევრად მოიხსენიებენ

19. წრფივი ოპერატორით შექმნილი ალგებრა

ამ ნაწილის თემაა წრფივი სივრცის თავის თავში წრფივი ოპერატორის წარმოდგენის შესახებ ჟორდანის თეორემა. უფრო ზუსტად მისი განზოგადოება ფრობენიუსის მიერ დამტკიცებული კელი- ჰამილტონის თეორემისა ოღონდ კომუტატური ვარიანტისა. Arthur Cayley (1821.08.16 - 1895.01.26), Sir William Rowan Hamilton (1805.08.04 - 1865.09.02), Marie Ennemond Jordan( 1838.01.05 -1922.01.22), Ferdinand Georg Frobenius(1849.10.26 - 1917.08.03). წრფივი სივრცე E-ს ოპერატორთა შეკრება და ველის ელემენტზე გამრავლება შეიძლება, ანუ ოპერატორების ეს ოპერაცია ასოციური ოპერაციაა და დისტრიბუციულია შეკრების მიმართ. მათში არსებობს ერთეულიც, იგიური ასახვა. გამოდის რომ წრფივ ოპერატორთა სიმრავლე არაკომუტატური ალგებრაა. ჰომოთეტია, ანუ ველის ელემენტზე გამრავლება ერთ ერთი ოპერატორია. ამგვარად თვით ველი ჩადგმულია არაკომუტატურ ალგებრა Lin(E, E)-ში.

ინგლისურად - linear operator
ფრანგულად - un opérateur linéaire
გერმანულად - ein linearer Operator
იტალიურად - un operatore lineare
ესპანურად - en operador lineal
რუსულად - лине́йный опера́тор

სიტყვას ოპერატორი მომავალში ვიხმართ სასრული განზომილების წრფივი სივრცის თავის თავში წრფივი ასახვისათვის. ვთქვათ f: E → E ასეთი ოპერატორია. ეს ოპერატორი გააჩენს Lin(E, E)-ს კომუტატურ ქვეალგებრას. აღვნიშნოთ იგი Af-ით. ამ ალგებრის ელემენტია f-ის გამეორებების და ჰომოთეტიების წრფივი კომბინაცია, Af = F{f,f 2, f 3, . . .}
ყოველი მათგანი
a0 + a1f + a2f2 + . . . +anfn
წრფივი ასახვაა, წრფივი ოპერატორია. თვით ფორმა მრავალწევრს მოგვაგონებს და მართლაც შესაძლებელია განვმარტოთ ბუნებრივი ასახვა მრავალწევრთა ალგებრა V[t]-დან ამ ალგებრაში. შევცვალოთ მრავალწევრ a-ში t ოპერატორ f-ით, მივიღებთ ოპერატორს.

მაგალითი
დაბალ ხარისხიან მრავალწევრთა წრფივ სივრცეში (არა უმეტეს რაიმე ფიქსირებულ n ხარისხზე მეტზე) ოპერატორის მაგალითია t-ზე გამრავლება პირობით: თუ ნამრავლის ხარისხმა გადააჭარბა n-ს მაშინ მას ვაკლებთ n ხარისხის ფიქსირებული მრავალწევრის (რომელიც ფაქტიურად განსაზღვრავს ოპერაციას) ჯერადს რათა დავიყვანოთ დაბალ ხარისხიანამდე, . მაგლითად ავიღოთ მრავალწევრად t2+1. მივიღებთ
(3t + 2) ∗ (2t - 4) = 6t2 - 8t - 8 - 6 ∗ (t2+1) = - 8t - 14
თუ დავუკვირდებით მივიღეთ კომპლექსურ რიცხვთა ალგებრის იზომორფული ალგებრა

მრავალწევრთა სივრცის ანასახი იქნება Lin(E, E)-ის ქვესივრცე, f-ით წარმოქმნილი ქვესივრცე, A(f, E). შემოკლებით Af, როდესაც ეს გაურკვევლობას არ გამოიწვევს. ეს ასახვა შეთანხმებულია გამრავლებასთან, მრავალწევრ a და b-ს ნამრავლი გადადის მათი ანასახების კომპოზიციაში. ალგებრა Af გასაგებია კომუტატურია, ანუ მისი ყველა ოპერატორი ერთმანეთთან გადაადგილებადია. ეპიმორფიზმის V[t] → Af ბირთვი იქნება იდეალი მრავალწევრთა სივრცეში, M(f, S) ⊂ V[x], აქაც შემოკლებით Mf.

თუ დავუკვირდებით, წრფივი სივრცე E ამ ოპერატორმა Af-მოდულად აქცია. ასე რომ წრფივი ოპერატორის ვითარების ბუნებრივი განზოგადოებაა კომუტატური ალგებრის მიმართ მოდული. ალგებრის დაშლა ლოკალურ ალგებრებად არის კელი-ჰამილტონის თეორემის კომუტატური ვარიანტი. ანუ ჟორდანის თეორემა დაშლის ფაქტის პირდაპირი შედეგია.

მაგალითი
ვთქვათ A ალგებრაა. ავიღოთ მისი ნებისმიერი ელემენტი a და განვიხილოთ მასზე გამრავლებით გამოწვეული ასახვა. ეს იქნება წრფივი ოპერატორი A-დან A-ში.

20. ოპერატორი და მრავალწევრი

ვთქვათ მოცემულია წრფივ სივრცე S-ზე ოპერატორი f: S → S. განვიხილოთ მრავალწევრში ოპერატორ f-ის ჩასმით გამოწვეული ასახვა V[t] → A(f, E) და მისი ბირთვი M(f, E). გვაქვს ზუსტი მიმდევრობა
0 → M(f, E) → V[t] → A(f, E) → 0
მივიღეთ მიმართება ყოველ მფავალწევრს შეესაბამება ოპერატორი , ყოველ ოპერატორს A(f, E)-დან შეესაბამება მრავალწევრთა იდეალი, მრალწევრთა სიმრავლე რომელნიც f-ის ჩასმით ნულდებიან.

პირიქითაც ვეცადოთ მ5ავალწაავრთა იდეალისტვის ვეცდ0თ ვიპოვოთ ოპერატორები რომელნიც იდეალის ყველა მრავალწევრს ანულებენ. ეს სიმრავლეც (ფესვთა სიმრავლე) ოპრატორთა ალგებრაში იდეალი იქნება.

21. მახასიათებელი მრავალწევრი

ვთქვათ მოცემულია V-წრფივ სივრცე E-ზე ოპერატორი f: E → E. გვაქვს ზუსტი მიმდევრობა
0 → M(f, E) → V[t] → A(f, E) → 0

განსაზღვრა
ასახვის V[t] → A(f, E) ბირთვის, იდეალ M(f, E)-ის წარმომქმნელ მრავალწევრს, რომლის უმაღლესი კოეფიციენტი უდრის 1-ს ვუწოდოთ ოპერატორ f-ის მახასიათებელი მრავალწევრი.

ოპერატორ f-ის მახასიათებელი მრავალწევრი აღვნიშნოთ m(f, E)-ით, შემოკლებით mf.

ინგლისურად - characteristic polynomial
ფრანგულად - le polynôme caractéristique
გერმანულად - das charakteristische Polynom
იტალიურად - il polinomio caratteristico
ესპანურად - la polinomio característico
რუსულად - характеристический многочлен

მათემატიკურ ლიტერატურაში mf-ს მინიმალურ მრავალწევრს უწოდებენ. ხოლო ტერმინს მახასიათებელი მრავალწევრი ხმარობენ მისი ჯერადისათვის, რომელსაც ასახვის მატრიცის მეშვეობით განმარტავენ.

თუ k არის mf-ის ხარისხი, მაშინ გვექნება იზომორფიზმი მრავალწევრთა ალგებრა V[t, k]-სა და ქვეალგებრა Af-ს შორის. V[t, k]-ში გამრავლებას ვგულისხმობთ როგორც მრავალწევრთა ნამრავლის მახასიათებელ მრავალწევრ mf-ზე გაყოფის ნაშთს. V[t, k]-სა და Af-ს შორის იზომორფიზმს განსაზღვრავს მათი წარმომქმნელების შესაბამისობა t → f. წრფივ სივრცე V[t, k]-ში გამრავლების განმსაზღვრელი მრავალწევრი, f-ის მახასიათებელი მრავალწევრი V[t, k]-ში არ შედის, მას ნული შეესაბამება. აქედან გამომდინარეობს, რომ ყოველი მრავალწევრი, რომლის უფროსი კოეფიციენტი ველის ერთეულია, არის რომელიმე ოპერატორის მახასიათებელი მრავალწევრი. მის მიერ განსაზღვრული გამრავლება V[t, k]-ს გადააქცევს ალგებრად და t-ზე გამრავლების, როგორც წრფივი ოპერატორის მახასიათებელი იქნება თვით აღებული მრავალწევრი, ხოლო V[t, k] ამ ოპერატორის სტანდარტული, ეტალონი სივრცე.

22. ინვარიანტული ქვესივრცე

ვთქვათ წრფივ სვრცე E-ზე მოცემულია წრფივი ოპერატორი f: E → E.

განსაზღვრა
წრფივი სივრცე E-ს ქვესივრცეს უწოდებენ ინვარიანტულ ქვესივრცეს წრფივ ოპერატორ f-ის მიმართ, თუ მისი ყოველი ელემენტის ანასახი ოპერატორ f-ით ისევ მასშია

ინგლისურად - invariant subspace
ფრანგულად - un sous-espace stable
გერმანულად - ?
იტალიურად - un sottospazio invariante
ესპანურად - un subespacio invariante
რუსულად - инвариантное подпространство

ინვარიანტულ ქვესივრცეთა თანაკვეთა ისევ ინვარიანტული ქვესივრცეა და ინვარიანტულ ქვესივრცეთა ჯამიც ინვარიანტული ქვესივრცეა.

თეორემა
ოპერატორი f-ის მიმართ ინვარიანტული ქვესივრცე ინვარიანტულია Af-ის ყველა ოპერატორის მიმართაც

მტკიცება
ნათელია, რადგან Af-ის ყველა ოპერატორი ჰომოთეტიისა და f-ის ჯერადების კომბინაციაა.

გავიხსენოთ, რომ E არის ალგებრა Af-ის მოდული. თეორემა ამბობს რომ ამ ვითარებაში ქვემოდული და ინვარიანტული ქვესივრცე ტოლფასი, ექვივალენტური ცნებებია.

თუ X ინვარიანტული ქვესივრცეა, ანუ Af-ქვემოდული, ბუნებრივია f შეგვიძლია განვიხილოთ როგორც მისი ოპერატორი. მეტიც f შეგვიძლია გადავიტანოთ ფაქტორ სივრცე E/X-ზეც. მართლაც, თუ a და b ერთი და იმავე შრეშია, ანუ a - b ∈ X, მაშინ (a - b)f ∈ X. ეს ნიშნავს რომ af და bf ერთი და იმავე შრეშია, რადგან af - bf = (a - b)f ∈ X.

ბუნებრივია ფაქტორ სივრცზე გადატანილ ოპერატორსაც აქვს მახასიათებელი მრავალწევრი, აღვნიშნოთ ეს მრავალწევრი n(f, X)-ით. თუ დავუკვირდებით ადგილი აქვს ტოლობას m(f, E/X) ∗ m(f, X) = m(f, E)

ალგებრის ქვესიმრავლეთა მოდულის ქვესიმრავლეებთან კავშირი ამ სპეციფიურ ვითარებაში (ერთწარმომქმნელიანი ალგებრა) მრავალწევრის გამყოფებით განისაზღვრება. თუ f: E → E ოპერატორია და X ინვარიანტურლი ქვესივრცე, მაშინ m(f, E) ∈ M(f, X). ეს ნიშნავს რომ m(f, E) არის m(f, X)-ის ჯერადი, ანუ m(f, X) არის m(f, E)-ის გამყოფი. მეტიც, გადმოვიტანოთ ალგებრის იდეალებსა და ქვემოდულებს შორის დამყარებული კავშირი ოპერატორის შემთხვევაზე და გავავრცელოთ ის მრავალწევრთა ალგებრის იდეალებზეც. რადგან საქმე მრავალწევრთა ალგებრასთან გვაქვს წრფივი სივრცე E, მასში წრფივი ოპერატორი f: E → E იძლევა ზუსტ მიმდევრობას
0 → M(f, E) → V[t] → A(f, E) → 0
ყოველი ინვარიანტული ქვესივრცე, ანუ A(f, E)-ქვემოდული X-სათვის ანალოგიური იდეალისათვის M(f, X) გვაქვს M(f, E) ⊂ M(f, X) ⊂ V[t] და მისი ანასახი NX ⊂ A(f, E) იძლევა ზუსტ მიმდევრობას
0 → M(f, X) → V[t] → mX → 0

განვიხილოთ წრფივი f:E → E და მისი მახასიათებელი მრავალწევრი m-ის დაშლა m=ab. ეს დაშლა იწვევს ჩართვას Ima(f) ⊂ Kerb(f). თუ, x ∈ Ima(f), ანუ არსებობს y, ya(f) = x. მაშინ რადგან m(f) ყოველი ვექტორი ნულში გადააქვს მივიღებთ ტოლობას xb(f) = ya(f)b(f) = ym(f) = 0, ანუ x ∈ Kerb(f). თუ k = dim E, l არის მრავალწევრი a-ს ხარისხი, მაშინ l = Ker a(f) და k - l = dim Ima(f), n მრავალწევრი b-ს ხარისხი, მაშინ n = dim Ker b(f). აქედან k - l + n = k = dim E, ანუ l = n, ეს კი ნიშნავს ტოლობას Ima(f) = Kerb(f). თუ Ker a(f) ∩ Ker b(f) ≠ 0, მაშინ მრავალწევრებს a და b ექნებაT საერთო გამყოფი. მივიღეთ

თეორემა
ვთქვათ წრფივი ოპერატორის f: E → E მახასიათებელი მრავალწევრი არის ნამრავლი ab, რომელთა თანამამრავლებსაც საერთო გამყოფი არა აქვთ, მაშინ წრფივი სივრცე E იქნება პირდაპირი ჯამი Ker a(f) + Ker b(f) = E.

23. ინვარიანტულ ქვესივრცეთა მესერი

ინვარიანტულ ქვღსივრცეთა სიმრავლე მესერს ჰქმნის. მასში არის მაქსიმალური და მინიმალური (ბუნებრივია იგულისხმება ტრივიალურებისაგან განსხვავებული) ინვარიანტული ქვესივრცეები. ყოველი ინვარიანტული ქვესივრცე ან არ გადაიკვეთება მინიმალურთან ან მთლიანად მოიცავს მას. ნათელია რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში თანაკვეთა იქნება მინიმალურში შემავალი მისგან განსხვავებული ინვარიანტული ქვესივრცე. აქედან დასკვნა

თეორემა
ინვარიანტულ ქვესივრცეთა მესერი მინიმალურ ინვარიანტულ ქვესივრცეთა სიმრავლის ქვესიმრავლეთა ბულის ალგებრის ქვემესერია.

მტკიცება
აღვნიშნოთ M-ით მინიმალურ ინვარიანტულ ქვესივრცეთა სიმრავლე. ამ სიმრავლის ყოველი ქვესიმრავლე განსაზღვრავს ინვარიანტულ ქვესივრცეს, მასში შემავალ ელემენტთა, მინიმალურ ქვესივრცეთა ჯამს. ზედა აბზაცის მიხედვით ყოველი ინვარიანტული ქვეესივრცე განსაზღვრავს მასში შემავალ მინიმალურ ინვარიანტულ ქვესივრცეთა სიმრავლეს.