მათემატიკა

მრავალნაირობა

მრავალნაირობა არის ტოპოლოგიური სივრცე, რომელიც ლოკალურად წრფივი სივრცის ჰომეომორფულია, ანუ მის ყოველ წერტილს აქვს მიდამო წრფივი სივრცის ნულის მიდამოს ჰომეომორფული. ამ გვერდზე წრფივ სიცრცეში ვგულისხმობთ მხოლოდ ნამდვილ რიცხვთა ველის მიმართ წრფივ სივრცეს. უფრო ზუსტად მას ტოპოლოგიურ მრავალნაირობად მოიხსენიებენ.

ინგლისურად - manifold
ფრანგულად - une variété
გერმანულად - einer Mannigfaltigkeit
იტალიურად - una varietà
ესპანურად - Una variedad
რუსულად - Многообразие

ვთქვათ მოცემულია ტოპოლოგიური სივრცე X და მისი წერტილი a-ს მიდამოს ჰომეომორფიზმი რაიმე წრფივი სივრცე E-ს ნულის მიდამოსთან. ამ შემთხვევას ვუწოდებ რომ ტოპოლოგიურ სივრცე X-ს წერტილ a-ში აქვს მხებად წრფივი სივრცე E. ბუნებრივია ყოველ წრფივ სივრცეს მის ყოველ წერტილში აქვს მხებად თვით E.

დიფერენცირებადი მრავალნაირობა არის ტოპოლოგიური სივრცე, რომელიც ლოკალურად წრფივი სივრცის ჰომეომორფულია, ანუ მის ყოველ წერტილში არსებობს მხები, ანუ აქვს წრფივი სივრცის ნულის მიდამოს ჰომეომორფული მიდამო. ამ გვერდზე წრფივ სიცრცეში ვგულისხმობთ მხოლოდ ნამდვილ რიცხვთა ველის მიმართ წრფივ სივრცეს. დამატებით საჭიროა ამ ჰომეომორფიზმთა შეთანხმებულობა. ეს შეთსნხმებულობა გამოიხატება მხები სივრცეების ნულის მიდამოების კომპოზიციებით მიღებულ ასახვათა დიფერენცირებადობაში. თუ ტოპოლოგიურ სივრცეს ყოველ წერტილში აქვს მხები მაშინ ამ მხებთა სიმრავლე გადაიქცევა წრფივ სივრცეთა სისტემად, წრფივ ფიბრაციად.

განსაზღვრა
ტოპოლოგიური სივრცე M არის დიფერნცირებადი მრავალნაირობა თუ არსებობს წრფივ სივრცეთა ფიბრაცია T → M და M-ის ყოველი წერტილი m-სათვის მასზე ფენის Tm ნულის მიდამოს Nm ჰომეომორფიზმი m-ის მიდამოზე Mm პირობით:
- წერტილთა ყოველი წყვილისათვის ამ ჰომეომორფიზმთა კომპოზიცია მიდამოთა თანაკვეთაზე
Tm ⊃ A ↔ Mm ∩ Mn ↔ B ⊂ Tn დიფერენცირებადი ასახვაა

გასაგებია რომ ყოველი აფინური სივრცე მრავალნაირობაა და მისი განმსაზღვრელი წრფივი სივრცე მხებია მის ყოველ წერტილში. ვთქვათ მოცემუალნაირობაა და მისი წრფივი სივრცე ყოველ წერტილყი მხები სივრცეალია აფინური სივრცეები A წრფივი სივრცე T-ს მიმართ, B წრფივი სივრცე S-ის მიმართ და A-ს წერტილი a-ს მიდამოდან B-ში ასახვა f. თუ b = af, შეგვიძლია განვიხილოთ T-ს ნულის მიდამოს ასახვა S-ის ნულის მიდამოში: u → (a + u)f - af. ამ ასახვის დიფერენციალი იქნება f-ის დიფერენციალი წერტილში a, ანუ f-ის წარმოებულის მნიშვნელობა a-ზე, af '.

განსაზღვრა
აფინური სივრცის ღია სიმრავლიდან აფინურ სივრცეში ასახვას ვუწოდებთ დიფერენცირებად ასახვას, ან წარმოებად ასახვას თუ მას განსაზღვრის ყოველ წერტილში გააჩნია დიფერენციალი

განსაზღვრების თანახმად წერტილ a-ში ასახვა f-ის დიფერენციალი არის წრფივი ასახვა წრფივი სივრცე T-დან წრფივ სივრცე S-ში. გასაგებია, რომ ფიქსირებულ მიდამოშო განსაზღვრულ დიფერენცირებად ასახვათა სიმრავლე წრფივი სივრცეა. ეს განსაზღვრების პირდაპირი შედეგია.

ვთქვათ მოცემულია აფინური ასახვა a + s → b + sf + sα. ამ ასახვის ვექტორული შემადგენელი გავამრავლოთ ფუნქციაზე a + s → r + sg + sβ. რა იქნება მიღებული ასახვის დიფერენციალი იმავე წერტილში?
გამრავლების შედეგად მიღებული ასახვაა
a + s → b + (r + gs + βs) • (fs + αs) =
= b + r • fs + (r • αs + gs • fs + βs • fs + gs • αs + βs • αs)
ფრჩხილები ხუთი მცირე ასახვის ჯამია. ყოველი შესაკრები რომ მცირე ასახვაა შესაბამისი თეორემით დასაბუთდება. r • αs მცირეა რადგან მცირეთა სიმრავლე წრფივი სივრცეა, gs • fs-ის სიმცირე დასაბუთდება როგორც
წრფივ ასახვათა ნამრავლი, gs • fs და gs • αs როგორც მცირეს წრფივზე ნამრავლი და ბოლოს βs • αs როგორც მცირეთა ნამრავლი. მთლიანად ჯამი რადგან მცირე ასახვათა სიმრავლე წრფივი სივრცეა.
საბოლოოდ მივიღეთ რომ აგებული ასახვის დიფერენციალია r • fs.

ვთქვათ მოცემულია ორი ფუნქცია f(a + s) = fa + (dfa)s + αs და g(a + s) = ga + (dga)s + βs. განვიხილოთ მათი ნამრავლი (f • g) = (fa + (dfa)s + αs) • (ga + (dga)s + βs)