სტრუქტურა მათემატიკაში

თვით სიტყვა "მათემატიკა" მოდის ბერძნული სიტყვიდან μάθημα რაც ნიშნავს შესწავლას, სწავლებას.

დღეს მათემატიკა გაიგება როგორც შესაძლო სტრუქტურათა შემსწავლელი დარგი. მათემატიკის როგორც მეცნიერების განმარტება არც ისე იოლია. მეტიც, არის თუ არა ის მეცნიერება ესეც კი სათუოა. თუ მეცნიერებაში გავიგებთ რეალობის შეცნობას, რეალობაში მათემატიკის ობიექტი არ არსებობს. ის რასაც მათემატიკა დადგენილ ფაქტს, ჭეშმარიტებას უწოდებს, ან არსებულად აცხადებს რეალობაში თითქოს არც არსებობს.
დავით ჰილბერტი (David Hilbert, 1862.01.23 – 1943.02.14) თავის 1934 წელს გამოქვეყნებულ წიგნში Die Grundlagen der Mathematik მათემატიკას განსაზღვრავს როგორც მხოლოდ დაშვებებზე აგებულ მეცნიერებას. მას არ სჭირდება ღმერთი, ანუ სამყარო, არც კრონეკერი (Leopold Kronecker, 1823.12.07 – 29 December 1891.12.29), არც მათემატიკური ინდუქციის პრინციპი, არც პუანკარე (Jules Henri Poincaré, 29 April 1854.04.29 – 1912.07.17), არც ბრაუერის (Luitzen Egbertus Jan Brouwer, 1881.02.27 – 1966.12.02) საწყისი ინტუიცია, და ბოლოს არც რასელისა და უაითხედის (Bertrand Arthur William Russell, 1872.05.18 – 1970.02.02, Alfred North Whitehead, 1861.02.15 – 1947.12.30) აქსიომები უსასრულობასა, დაყვანადობასა, სისრულის თაობაზე. ამით მან, ჩემი აზრით, თქვა რომ მათემატიკოსმა თვით უნდა განსაზღვროს რას ეყრდნობა და მტკიცების რა მეთოდს იყენებს. მისი აზრით ყოველგვარი დაშვება და მეთოდი მისაღებია. დავუმატებ რომ სულ სხვა საქმეა ვინ მიიღებს, აღიარებს და ვინ არა.

ბუნებრივია, არსებობს მათემატიკის განმარტების მცდელობაც და მეტიც ერთ წინადადებიანი განმარტებებიც არსებობს. მაგრამ ვერც ერთი მათგანი სრულყოფილ განმარტებად ვერ ჩაითვლება. ამის სანაცვლოდ მოვიტან რამდენიმე, ნაწილობრივ სახუმარო განმარტებას. ხუმრობა ხუმრობად, მაგრამ ეს განმარტებანი შესაძლოა საკმაოდ კარგად გაგვაგებინებს მათემატიკის არსს.

ანრი პუანკარე (Jules Henri Poincaré, 29 April 1854.04.29 – 1912.07.17):
Mathématiques est l'art de donner le même nom à des choses différentes
მათემატიკა არის ხელოვნება განსხვავებულ მოვლენებს დაარქვას ერთი და იგივე სახელი.
მათემატიკოსს აქვს უნარი დაინახოს ერთი და იგივე სტრუქტურა განსხვავებული დარგების სრულიად განსხვავებულ ობიექტში ან მოვლენაში.

Bertrand Russell:
The subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true.
საგანს რომელზეც ვსაუბრობთ ვერასოდეს შევიცნობთ და არც ის ვიცით ჭეშმარიტია თუ არა რასაც მასზე ვამბობთ
ანუ მათემატიკის ობიექტის რეალიზაციად შესაძლოა რაც გინდა ის იყოს (არ ვიცით რომელზე ვსაუბრობთ), ასევე რასაც ვამბობთ მისი რეალიზაცია შესაძლებელია თუ არა (ანუ ჭეშმარიტია თუ არა ნათქვამი).

თვით მათემათიკოსზე ჩარლზ დარვინის (Charles Robert Darwin, 1809.02.12 – 1882.04.19) საკმაოდ უცნაური წარმოდგენა:
A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.
მათემატიკოსი არის ბრმა, რომელიც ბნელ ოთახში ეძებს იქ არ მყოფ შავ კატას.

არსებობს ანალოგიური აზრიც: მათემატიკოსი არის ადამიანი რომელიც შეკითხვაზე გაგცემს უაღრესად ზუსტ და სრულიად გამოუსადეგ პასუხს.

უახლოეს წლებში დამოქვეყნებული (2000 წელს) ერთ ერთი საინტერესო ნაშრომია Where Mathematics Comes From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being ლამის 500 გვერდიანი წიგნი George Lakoff და Rafael E. Núñez მიერ. მართალია ავტორები მათემატიკოსები არ არიან, მაგრამ მით უმეტეს საინტერესოა მათი მოსაზრებანი. პირველი ლინგვისტია, ხოლო მეორე ფსიქოლოგი. მოვიტან ერთ ციტატას. სუსტი მთარგმნელი ვარ, ამიტომ ორიგინალს გთავაზობთ.
It (მათემატიკაო) is precise, consistent, stable across time and human communities, symbolizable, calculable, generalizable, universally available, consistent within each of its subject matters, and effective as a general tool for description, explanation, and prediction in a vast number of everyday activities, [ranging from] sports, to building, business, technology, and science.

ასეა თუ ისე დღეს მათემატიკა სწავლობს შესაძლო სტრუქტურას ნებისმიერ სიმრავლეზე, ანუ საფუძველია სიმრავლე და მასზე სტრუქტურა. სტრუქტურა ორი ტიპისაა, ალგებრული და ტოპოლოგიური. ტოპოლოგიური სტრუქტურა განისაზღვრება ელემენტის მიდამოთა არჩევანით, ხოლო ალგებრული სტრუქტურა განისაზღვრება სიმრავლეზე ოპერაციით, ანუ ელემენტთა ჯგუფი განსაზღვრავს ელემენტს. თითქოს ახლოსაა ყოველ დარგში საჭირო წარმოდგენის: რა რის ახლოსაა და რით რა შეიძლება შეიქმნას.

გაუსის (Carolus Fridericus Gauss, 1777.04.30 – 1855.02.23) შეფასებით მათემატიკა მეცნიერების მწვერვალია. როგორც ეტყობა მისი დამკვიდრებულია გამოთქმა Regina Scientiarum, გერმანულად Königin der Wissenschaften. ქართულად ხმარობენ მეცნიერების დედოფალიო (ქართველებმა Regina უთუოდ ქალი იქნებაო), თუმცა მისი აზრით სიტყვა scientiarium შემეცნებას უნდა ნიშნავდეს.

მათემატიკოსთა დიდმა ჯგუფმა, Nicolas Bourbaki-ის ფსემდონიმით შექმნა და გამოსცა მათემატიკის ენციკლოპედია, ანუ თითქმის მთელი მათემატიკა აღწერა ერთიანი სისტემით. ეს ჯგუფი შეიქმნა ალბათ 1935 წელს და იარსება მეოცე საუკუნის მეორე ნახევარშიც. გამოიცა ოცამდე წიგნი ფრანგულად და ითარგმნა ბევრ ენაზე. პირადად მე ამ წიგნებით გავიცანი და ვისწავლე მათემატიკის საფუძვლები. მადლიერი უნდა ვიყოთ მათემატიკის ინსტიტუტის მაშინდელი ხელმძღვანელობის, რომ საფრანგეთიდან თითქმის გამოსვლისთანავე იძენდა ამ წიგნებს ინსტიტუტის ბიბლიოთეკისათვის. მათემატიკოსთა ამ ჯგუფის მიერ დამკვიდრდა წარმოდგენა რომ მათემატიკის შესწავლის ობიექტია სიმრავლეზე განსაზღვრული სტრუქტურა. ეს სტრუქტურა ორგვარი ფენომენისაა, ტოპოლოგიური და ალგებრული. სიმრავლეზე სტრუქტურა გაიგება როგორც რამდენიმე ტოპოლოგია და რამდენიმე ალგებრული ოპერაცია. თუმცა აღწერილთა და შესწავლილთა უმეტეს შემთხვევაში ტოპოლოგია არის ერთი, ხოლო ალგებრული ოპერაცია ორი ან სამი.

ყველაზე მარტივი ოპერაციაა ასახვა X × X → X, [x, y] → x • y. ოპერაცია ასოციურია თუ დიაგრამა
X × X × X → X × X
    ↓                   ↓
X × X     →     X
კომუტატურია. ზედა ჰორიზონტალური ასახვაა [x, y, z] → [x • y, z], ხოლო მარცხენა ვერტიკალური [x, y, z] → [x, y • z]. ქვედა ჰორიზონტალური და მარჯვენა ვერტიკალური კი ოპერაცია. ანუ სამართლიანია ტოლობა (x • y) • z = x • (y • z).

უმარტივესი ალგებრული სტრუქტურაა ნახევარჯგუფი და მონოიდი.

ინგლისურად - semigroup, monoid
ფრანგულად - un demi-groupe (ან semi-groupe), un monoïde
გერმანულად - eine Halbgruppe, ein Monoid
იტალიურად - un semigruppo, un monoide
ესპანურად - un semigrupo, un monoide
რუსულად - полугруппа, моноид

განსაზღვრა
სიმრავლეს ასოციური ოპერაციით ნახევარჯგუფს უწოდებენ
და თუ მასში ნეიტრალური ელემენტიც არსებობს მაშინ ის მონოიდად მოიხსენიება.

მაგალითი
ნახევარჯგუფია ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლე შეკრების ოპერაციით. მას ნეიტრალური ელემენტი არა აქვს. თუ ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეს ნულს დავუმატებთ მივიღებთ მონოიდს.
მონოიდია ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლე გამრავლების ოპერაციით. ამ მონოიდს ხშირად რაიმე სიმბოლოს ხარისხებადაც წარმოგვიდგენენ {1, t, t2, t3, . . .}.

მაგალითი
სიმრავლე X-ზე აგებული თავისუფალი მონოიდი წარმოგვიდგება როგორც X-ის სასრულ ქვესიმრავლეთა ნატურალურ რიცხვებში ასახვათა სიმრავლე. აღვნიშნოთ ეს სიმრავლე MX-ით.
a ∈ MX ნიშნავს, რომ არსებობს სასრული A ⊂ X და a: A → N. ქვესიმრავლე A არის a-ს საყრდენი A = sup a.
MX-ის ელემენტია ცარიელი სიმრავლის ასახვა ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეში, რომელსაც 1-ით აღვნიშნავთ, 1: ∅ → N. თუ ვიგულისხმებთ xa = 0 თუ x ∉ sup a, მაშინ a იქნება მთელ X-ზე განსაზღვრული.
გამრავლება: sup (a • b) = sup a ∪ sup b, ხოლო x(a • b) = xa + xb.

რაც შეეხება ტოპოლოგიურ სტრუქტურას, ტოპოლოგია გულისხმობს სიმრავლის ელემენტთა, წერტილთა სიახლოვის განსაზღვრას. ეს მიიღწევა წერტილის მიდამოს ცნების შემოტანით. ყოველ წერტილს განესაზღვრება მის მომცველ ქვესიმრავლეთა სისტემა ბუნებრივი პირობით:
- წერტილის სასრული რაოდენობის მიდამოთა თანაკვეთა ისევ მიდამოა.

მაგალითი
ყოველი წერტილის მიდამოდ ვაღიაროთ მისი მომცველი ნებისმიერი ქვესიმრავლე. კერძოდ ერთ ელემენტიანი ქვესიმრავლეც, რომელშიც მარტოა. ამგვარ ტოპოლოგიას დისკრეტულს უწოდებენ.

მაგალითი
მიდამოთა სისტემად გამოდგება აგრეთვე წერტილის მომცველი ყველა ქვესიმრავლე რომლის დამატებაც სასრულია. სასრულ ქვესიმრავლეზე ეს დისკრეტულ ტოპოლოგიას იძლევა, ხოლო უსასრულო სიმრავლეზე უკვე განსხვავებული ტოპოლოგიაა.

წინა საუკუნის მეორე ნახევარში წარმოიშვა და განვითარდა მათემატიკის ახალი დარგი, კატეგორიათა თეორია, რომელიც სხვაგვარად ხედავს ობიექტის შესწავლის პროცესს. თუ დამკვიდრებული, ბურბაკისეული შეხედულება ობიექტს სწავლობს მისი შიდა სტურქტურის გათვალისწინებით, კატეგორიათა თეორია ობიექტის დახასიათებას ცდილობს სხვა ანალოგიურ ობიექტებთან, მის მსგავს ობიექტებთან დამოკიდებულებათა საფუძველზე. ეს ორი შეხედულება შესაძლოა დავახასიათოთ როგორც ინტროვერსია და ექსტრავერსია (introversion, extraversion).

ყველაზე ინტენსიურად ფიზიკა იყენებს მათემატიკას. ფიზიკა ცდილობს რეალობა აღწეროს მათემატიკის გამოყენებით, როგორც ინსტრუმენტით.