აფინური სივრცე

აფინური სივრცე დიფერენცირებადი მრავალნაირობის უმარტივესი ფორმაა. ეს მრავალნაირობის ბრტყელი ანალოგია. წერტილიდან წერტილზე გადასვლა მხების ვექტორით ხდება. მომავალში ძირითად ველად ვგულისხმობთ ნამდვილ რიცხვთა ველს. ყოველ წერტილში ერთი და იგივე მხები სივრცეა.

განსაზღვრა
წრფივი სივრცე ℐA-ს მიმართ აფინური სივრცე არის სიმრავლე A და ოპერაცია A × ℐA → A, [x, u] → a + u, სადაც a ∈ A (თვით A-ს ელემენტს ვუწოდებთ წერტილს), u ∈ ℐA (ხოლო ℐA-ს ელემენტს ვუწოდებთ ვექტორს).
ოპერაცია აკმაყოფილებს პირობებს:
1. ყოველი წერტილი a-სა და ვექტორთა ყოველი წყვილი u და v-სათვის სამრთლიანია ტოლობა
(a + u) + v = a + (u + v)
2. წერტილთა ყოველი წყვილი a, b-სათვის არსებობს ℐA-ს ერთადერთი ვექტორი b - a ისეთი რომ
a + (b - a) = b

ინგლისურად - affine space
ფრანგულად - un espace affine
გერმანულად - der affine Raum
იტალიურად - lo spazio affine
ესპანურად - el espacio afín
რუსულად - аффинное пространство

ℐA წრფივი სივრცეა, რომელიც A-ს მხები სივრცის როლს ასრულებს. აფინური სივრცე A-ს ყოველ წერტილ a-ს შეიძლება მიემატოს წრფივი სივრცე ℐA-ს ვექტორი u და ვიღებთ აფინურ სივრცე A-ს წერტილს a + u. ამ შეკრების შებრუნებული ოპერაცია იქნება აფინური სივრცე A-ს წერტილთა სხვაობა, შედეგი რასაკვირველია ℐA-შია. თუ წერტილ a-ს დავაფიქსირებთ, ასახვა u → a + u იძლევა წრფივ სივრცე ℐA-ს ურთიერთ ცალსახა ასახვას აფინურ სივრცე A-ზე, მხები სივრცის საბაზო სივრცეზე პროექტირება.

აფინური სივრცის ძირითადი მაგალითია თვით წრფივი სივრცე. წრფივ სივრცეს აფინურისაგან ანსხვავებს სათავის ფიქსაცია. აფინურ სივრცეშიც არსებობს ოპერაციები. ესაა წერტილთა სხვაობებზე როგორც მხების ვექტორებზე ოპერაციის შედეგი. რადგან
b = c + (b - c) = a + (c - a) + (b - c)
ხოლო b - a ერთადერთია რომლისათვისაც b = a + (b - a), ამიტომ

თეორემა
b - a = (c - a) + (b - c)
b - a = - (a - b)

მტკიცება
a + (c - a) + (b - c) = c + (b - c) = b, მაშასადამე (c - a) + (b - c) = b - a
a + (b - a) + (a - b) = b + (a - b) = a, მაშასადამე (b - a) + (a - b) = 0

მაგალითი
ვთქვათ E წრფივი სივრცეა და F მისი ქვესივრცე. ამ ქვესივრცის მიმართ ყოველი შრე იქნება აფინური სივრცე რომლის მხები სივრცეა F.

აფინური სივრცის აფინური ქვესივრცე ბუნებრივად განისაზღვრება როგორც აფინური სივრცის ქვესიმრავლე და მისი მხების წრფივი ქვესივრცე. აფინური ქვესივრცის ფიქსაცია შეიძლება მხები სივრცის წრფივი ქვესივრცითა და აფინური სივრცის წერტილით
{a + u | u მოცემული წრფივი ქვესივრცის ვექტორია}

ბუნებრივია, თუ წრფივი ქვესივრცე ერთგანზომილებიანია აგებულ აფინურ ქვესივრცეს ვუწოდოთ წრფე. თუ ორგანზომილებიანი - სიბრტყე.

აფინური ქვესივრცე შეიძლება მოიცეს მის წერტილთა ერთობლიობითაც. ამ შემთხვევაში მხებ სივრცედ ავიღებთ მოცემულ წერტილთა სხვაობებით შექმნილ წრფივ ქვესივრცეს.

ბარიცენტრული კოორდინატები
ვთქვათ მოცემულია აფინური სივრცე A-ს წერტილთა სასრული სიმრავლე X და წერტილი a. განვიხილოთ წერტილთა სიმრავლე

{a + ∑ (xi - a)vi | vi ველიდან V, xi ∈ X}
ნათელია, რომ ეს სიმრავლე აფინური ქვესივრცეა და მისი მხები წრფივი სივრცე ვექტორებით xi - a არის წარმოქმნილი.

ეს აფინური სივრცე გაივლის X-ის წერტილებზე და წერტილზე a. თუ გვინდა რომ მხოლოდ X-ის წერტილთა მომცველი აფინური სივრცე ავაგოთ კოეფიციენტებზე vi დამტებითი პირობა უნდა მოვითხოვოთ: მათი ჯამი უნდა უდრიდეს ერთს. ამგვარ კოეფიციენტებს ბარიცენტრულ კოორდინატებს უწოდებენ.

ინგლისურად - barycentric coordinate
ფრანგულად - une coordonnée barycentrique
გერმანულად - eine baryzentrische Koordinate
იტალიურად - una coordinate baricentriche
ესპანურად - una coordenada baricéntrica
რუსულად - барицентри́ческая координа́та

წრფივი ობიექტი
ვთქვათ მოცემულია აფინური სივრცე A (იგულისხმება ℐA-ს არსებობა) და ამ სივრცის წერტილთა სასრული სიმრავლე X. წინა პარაგრაფში აღიწერა ამ სიმრავლე X-ზე დაჭიმული აფინური ქვესივრცე, როგორც წერტილთა სიმრავლე
a + ∑ (xi - a)ri
ამ გამოსახულებაში а აფინური სივრცის ნებისმიერი ფიქსირებული წერტილია, კოეფიციენტთა ri ჯამი უდრის 1-ს, xi კი სიმრავლე X-ის წერტილებია.

იმავე სიმრავლე X-ზე დაჭიმული შემოსაზღვრული ამოზნექილი სიმრავლე, აღნიშვნა [X], იქნება იმავე გამოსახულებით აღწერილი წერტილების სიმრავლე ერთი დამატებითი პირობით: ყოველი კოორდინატი არა უარყოფითია, ანუ 0 ≤ ri ≤ 1.

ნებისმიერი სიმრავლის შემთხვევაში შესაძლოა ერთი და იმავე წერტილს რამდენიმე განსხვავებული გამოსახულება შეესაბამება. სიმრავლე X იქნება აფინურად დამოუკიდებელი თუ ყოველ წერტილს ერთადერთი გამოსახულება შეესაბამება. ამ შემთხვევაში მხები წრფივი სივრცის განზომილება იქნება სიმრავლე X-ის წერტილთა რაოდენობას გამოკლებული 1.

აფინური ასახვა
აფინური მორფიზმი უნდა ინახავდეს სტრუქტურას. ამისათვის

განსაზღვრება
აფინური სივრცე E-დან აფინურ სივრცე F-ში ასახვა f-ს უწოდებენ აფინურ ასახვას თუ მის მიერ გამოწვეული ასახვა ℐE-დან ℐF-ში
u → f(a + u) - fa
წრფივია

ბუნებრივია, ყოველი წრფივი ასახვა აფინურია.