ალგებრა

ამ თავში შევისწავლით ალგებრას, როგორც წრფივ სივრცეს კომუტატური გამრავლებით და ერთიანით. საქმე გვექნება ძირითადად ალგებრასთან, რომლის წრფივი სივრცე სასრული განზომილებისაა.

ინგლისურად - algebra ან involutive algebra
ფრანგულად - une algèbre ან une algèbre involutive
გერმანულად - die Algebra ან die unitären Algebra
იტალიურად - una algebra
ესპანურად - un álgebra
რუსულად - алгебра ან алгебра с инволюцией

განსაზღვრება
შემდგომში ალგებრას ვუწოდებთ წრფივ სივრცე A-ს, რომელშიც განსაზღვრულია გამრავლება პირობებით:
- ყოველი სამეულისათვის (a • b) • c = a • (b • c)
- ყოველი სამეულისათვის (a + b) • c = a • c + b • c
- არსებობს 1, ყოველი a-სათვის a • 1 = a
- თუ a ∈ A, u, v ∈ V, მაშინ a • (1 • u) = au

მაგალითი
თვით ველი ალგებრაა თავის მიმართ

თუ განვიხილავთ ალგებრის ერთეულის ველის ელემენტებზე ნამრავლებს მივიღებთ ველის ალგებრაში ჩადგმას, ანუ ველი ალგებრის ნაწილია, მისი ერთ ერთი ქვეალგებრაა.

მაგალითი
თუ V ⊂ W ველის გაფართოებაა, მაშინ W არის V-ალგებრა.

მაგალითი
მრავალწევრთა ერთობლიობა ალგებრაა.

ალგებრა ველისაგან განსხვავდება მხოლოდ იმით რომ მის ყოველ ელემენტს არა აქვს შებრუნებული. ალგებრის შებრუნებულ ელემენტთა ერთობლიობა ბუნებრივია აბელის ჯგუფს ქმნის, რადგან ვგულისხმობთ რომ ალგებრა რომელსაც შევისწავლით კომუტატურია. ქვეველის ყველა არა ნულოვანი ელემენტი ამ ჯგუფის ელემენტია. მეორე განსხვავება ველისაგან იმაშია რომ ალგებრაში შესაძლოა იყოს ნულის გამყოფებიც, ანუ ისეთი არა ნულოვანი ელემენტი, რომელსაც აქვს ასევე ნულისაგან განსხვავებული ელემენტი რომელთან ნამრავლიც ნულის ტოლია.

ასახვათა ენაზე ეს ასე გამოიყურება. ალგებრის ყოველი ელემენტი განსაზღვრავს ჰომომორფიზმს A → A
x ∈ A, x → x • a
თუ ამ ჰომომორფიზმის ანასახი მოიცავს ერთიანს, ელემენტი a შებრუნებადია. რაც ერთიანში გადადის ის a-ს შებრუნებულია, a-. ამ ელემენტით განსაზღვრული ჰომომორფიზმი თავდაპირველის შებრუნებული იქნება, ანუ ორივე ავტომორფიზმია. თუ ამ ჰომომორფიზმის ბირთვი ნულისაგან განსხვავებული იდეალია, ელემენტი a ნულის გამყოფია. დაგვრჩა ერთი შემთხვევა როდესაც ეს ბირთვი ნულია და ერთიანს არ მოიცავს, ანუ ჰომომორფიზმი მონომორფიზმია. ამ შემთხვევაში ალგებრა უსასრულო განზომილებისაა. სასრული განზომილების ალგებრაში ეს შეუძლებელია. შემდგომში საქმე გვექნება მხოლოდ სასრული განზომილების ალგებრასთან.

ალგებრის ყოველი ქვესიმრავლე წარმოქმნის მის მომცველ მინიმალურ ქვეალგებრას. ამ ქვეალგებრის ელემენტი იქნება აღებული ქვესიმრავლის ელემენტთა დადებითი ხარისხების ნამრავლთა წრფივი კომბინაცია.

ერთი ელემენტით წარმოქმნილი ქვეალგებრა აღვნიშნოთ A(a)-ით. განვიხილოთ მრავლაწევრში a-ს ჩასმით გამოწვეული ასახვა V[t] → A. გასაგებია, რომ ანასახი იქნება A(a), ხოლო ბირთვი იდეალი I(a). მივიღეთ ზუსტი მიმდევრობა
0 → I(a) → V[t] → A(a) → 0
თუ იდეალი ნულის ტოლია, მაშინ A(a) იქნება V[t]-ს იზომორფული და როგორც წრფივი სივრცე უსასრულო განზომილების. ამგვარ ელემენტს, ჩვეულებრივ, ტრანსცენდენტულს უწოდებენ. თუ იდეალი I(a) ნულს არ უდრის, მაშინ A(a) სასრული განზომილების იქნება. ამგვარ ელემენტს ალგებრულს უწოდებენ. თვით ელემენტი, გასაგებია, ამ მრავალწევრის ფესვი იქნება. მეტიც, a-ს იდეალ I(a)-ში შემავალი ყოველი მრავალწევრისათვის ფესვია. რადგან იდეალი მთავარი იდეალიცაა, მას ექნება წარმომქმნელი. ამ მრავალწევრს ვუწოდოთ ელემენტ a-ს მახასიათებელი მრავალწევრი, ყოველთვის ვიგულისმოთ რომ უმაღლესი კოეფიციენტი ერთის ტოლია.

თეორემა
ალგებრული ელემენტის მახასიათებელი მრავალწევრის თავისუფალი კოეფიციენტი განსაზღვრავს ელემენტი შებრუნებადია თუ ნულის გამყოფია:
- თუ მახასიათებელი მრავალწევრის თავისუფალი კოეფიციენტი ნულს არ უდრის, მაშინ ელემენტი შებრუნებადია
- თუ მახასიათებელი მრავალწევრის თავისუფალი კოეფიციენტი უდრის ნულს, მაშინ ელემენტი ნულის გამყოფია

მტკიცება
თუ a-ს მახასიათებელი მრავალწევრის თავისუფალი წევრი უდრის ნულს, p0 = 0, გვექნება
ak + pk-1 • ak-1 + . . . + p2 • a2 + p1 • a = 0
საიდანაც
a • (ak-1 + pk-1 • ak-2 + . . . + p2 • a + p1) = 0
რადგან a-ს თანამამრავლი ak-1 + pk-1 • ak-2 + . . . + p2 • a + p1 ნულს არ უდრის k-ს უმცირესობის გამო, a ნულის გამყოფი ყოფილა.
თუ p0 ≠ 0, გვექნება
a • (ak-1 + pk-1 • ak-2 + . . . + p2 • a - p1) = - p0
თუ ამ ტოლობას გავამრავლებთ (- p0)--ზე მივიღებთ რომ a შებრუნებადია
a- = (ak-1 + pk-1 • ak-2 + . . . + p2 • a + p1) • (- p0)-

თუ თვით ალგებრა სასრული განზომილებისაა, მაშინ მისი ყოველი ელემენტი ალგებრულია და, მაშასადამე, სასრული განზომილების ალგებრა შესდგება ორი ქვესიმრავლისაგან ერთი აბელის ჯგუფია და მეორე ნულის გამყოფები. აქედან კიდევ ერთი დასკვნა თუ სასრული განზომილების ალგებრაში ნულის გამყოფი არ არის მაშინ ის ველია.

ნულის გამყოფებს შორის შესაძლოა იყოს ელემენტი რომლის რომელიმე ხარისხი თვითონ არის ნული. ამგვარ ელემენტს ნილპოტენტურ ელემენტს უწოდებენ. ნილპოტენტური ელემენტის მახასიათებელი მრავალწევრი იქნება tk, სადაც k ის უმცირესი რიცხვია რომლის ხარისხშიც აღებული ელემენტი ნულია.

ინგლისურად - nilpotent
ფრანგულად - un élément nilpotent
გერმანულად - ein nilpotent
იტალიურად - un elemento nilpotente
ესპანურად - el elemento nilpotente
რუსულად - Нильпотентный элемент ან нильпотент

ნათელია, რომ ნილპოტენტური ელემენტის ნამრავლი ნებისმიერ ელემენტზე ნილპოტენტურია. ორი ნილპოტენტური ელემენტის ჯამის საკმაოდ მაღალი ხარისხის წარმოდგენაში ნიუტონის ბინომის სახით ყოველ შესაკრებში ერთი მათგანის ხარისხი იმდენად მაღალი იქნება, რომ ეს შესაკრები ნულის ტოლი გამოვა. მივიღეთ რომ ნილპოტენტურთა ჯამი ნილპოტენტურია. ეს ყველაფერი ნიშნავს რომ ნილპოტენტურ ელემენტთა სიმრავლე იდეალია, ნილოტენტური იდეალი, აღნიშვნა NA.

თეორემა
სასრული განზომილების ალგებრაში ნილპოტენტურ ელემენტთა ხარისხის მაჩვენებელი, რომლითაც ის ნულდება არ აღემატება ალგებრის განზომილებას

მტკიცება
ვთქვათ a ნილპოტენტური ელემენტი განვიხილოთ მთავარ იდეალთა ჯაჭვი
A ⊃ a • A ⊃ a2 • A ⊃ . . . ⊃ an-1 • A ⊃ an • A = 0
ქვესივრცეთა ამ ჯაჭვის სიგრძე ალგებრის განზომილებას არ აღემატება.

იდეალთა ერთობლიობა

გასაგებია თუ გვაქვს იდეალი I ალგებრა A-ში გვაქვს ეპიმორფიზმიც და ზუსტი მიმდევრობაც
0 → I → A → A / I → 0
იდეალთა მესერი და ფაქტორ ალგებრათა მესერი იზომორფულია. რაც შეეხება იდეალებს აქ რამდენიმე ტიპის იდეალი საინტერესოა და სასარგებლოც. მთავარი იდეალი არის ერთი ელემენტით წარმოქმნილი იდეალი, aA ერთი ელემენტის ჯერადთა სიმრავლე. თუ ეს ელემენტი შებრუნებადია მაშინ a • A = A. თუ ეს ელემენტი ნულის გამყოფია მაშინ a • A საკუთრივი იდეალია.

ორი განსხვავებული ელემენტი ერთი და იმავე იდეალს წარმოქმნის თუ ერთის ნამრავლი შებრუნებად ელემენტზე უდრის მეორეს
a • A = b • A ⇔ a • c = b და c შებრუნებადია.
ასახვა A-დან მთავარ იდეალთა სიმრავლეზე განსაზღვრავს A-ს ფაქტორიზაციას შებრუნებად ელემენტთა ჯგუფის მიმართ.

ფაქტორ ალგებრის იდეალის წანა სახე იდეალია. თუ ფაქტორ ალგებრის ნილპოტენტური იდეალის წინარესახეს დავაკვირდებით დავინახავთ რომ ის შესდგება ელემენტებისაგან რომელთა რაიმე ხარისხი თავდაპირველ იდეალშია. თუ I იდეალია ალგებრა A-ში, აღვნიშნოთ N(A/I)-ს წინასახე RI-თი, მას იდელ I-ს რადიკალს უწოდებენ.
x ∈ RI ⇔ ∃k ∈ N xk ∈ I

ინგლისურად - radical
ფრანგულად - le radical
გერმანულად - das Radikal
იტალიურად - il radicale
ესპანურად - el radical
რუსულად - радикал

თეორემა
იდეალის რადიკალი იდეალია

მტკიცება
ნათელია

იდეალის კიდევ ერთი ტიპი დაკავშირებულია იდემპოტენტური ელემენტის ცნებასთან.

განსაზღვრება
ალგებრის ელემენტს უწოდებენ იდემპოტურ ელემენტს თუ მისი ნამრავლი თავის თავზე მისივე ტოლია

ინგლისურად - idempotent element, idempotent
ფრანგულად - ?
გერმანულად - ?
იტალიურად - ?
ესპანურად - ?
რუსულად - ?

იდეალის ერთეული იდემპოტენტური ელემენტია. ასევე ნათელია, რომ ნულიც იდემპოტენტია. ველში სხვა იდემპოტენტი არ არსებობს. მართლაც, თუ e ≠ 0 და e • e = e, გვექნება
e = 1 • e = e- • e • e = e- • e = 1

ყველა იდემპოტენტი 1-ის გარდა ნულის გამყოფია. მართლაც e • (1 - e) = e - e • e = e - e = 0.

თეორემა
თუ e და e' იდემპოტენტური ელემენტებია, მაშინ 1 - e, e • e' და e + e' - e • e' სამივე იდემპოტენტია

მტკიცება
(1 - e) • (1 - e) = 1 - e - e + e • e = 1 - e

(e • e') • (e • e') = (e • e) • (e' • e') = e • e'

(e + e' - e • e') • (e + e' - e • e') =
= (e + e') • (e + e') - 2 (e + e') • e • e' + e • e' • e • e' =
= e • e + 2 e • e' + e' • e' - 2 (e • e' + e' • e) + e • e' =
= e + e' - e • e'

თეორემა
იდემპოტენტურ ელემენტთა სიმრავლე ბულის ალგებრაა

მტკიცება
დალაგება განისაზღვრება ტოლობით
e > e' ⇔ e • e' = e'
დალაგების პირობები სრულდება:
თუ e • e' = e' და e • e' = e, მაშინ e = e'
თუ e > e' და e' > e'', მაშინ e • e'' = e • (e' • e'') = (e • e') • e'' = e' • e'' = e''
ოპერაციები შემდეგნაირად განისაზღვრება
e ⋀ e' = e • e'
e ⋁ e' = e + e' - e • e'
e-ს უარყოფაა 1 - e
შევამოწმოთ ბულის ალგებრის აქსიომები
0 • e = 0 და e • 1 = e ⇒ 0 < e < 1
e • (e ⋀ e') = e • e • e' = e • e' = e ⋀ e' ⇒ e ⋀ e' < e
e • (e ⋁ e') = e • e + e • e' - e • e • e' = e + e • e' - e • e' = e ⇒ e < e ⋁ e'
e'' < e და e'' < e' ⇒ e'' • (e ⋀ e') = e'' • (e • e') = e'' ⇒ e'' < e ⋀ e'
თუ e'' > e და e'' > e', მაშინ
e'' • (e ⋁ e') = e'' • (e + e' - e • e') = e + e' - e • e' ⇒ e'' > (e ⋁ e')
e ⋀ (1 - e) = e • (1 - e) = e - e = 0
e ⋁ (1 - e) = e + 1 - e - e • (1 - e) = 1
ადგილი აქვს დისტრიბუციულ კანონსაც, ანუ
(e ⋁ e') ⋀ e'' = (e ⋀ e'') ⋁ (e' ⋀ e'')
მართლაც
(e ⋁ e') ⋀ e'' = (e + e' - e • e') • e'' = e • e'' + e' • e'' - e • e' • e''
(e ⋀ e'') ⋁ (e' ⋀ e'') = e ⋀ e'' + e' ⋀ e'' - (e ⋀ e'') • (e' ⋀ e'') =
= e • e'' + e' • e'' - e • e'' • e' • e'' = e • e'' + e' • e'' - e • e' • e''

თეორემა
თუ e > e', მაშინ e - e' იდემპოტენტია და e > e - e'

მტკიცება
რადგან e > e', ამიტომ e • e' = e'. აქედან
(e - e') • (e - e') = e • e - e • e' - e' • e + e' • e' = e - e' - e' + e' = e - e'
e • (e - e') = e • e - e • e' = e - e'

თეორემა
თუ e > e', მაშინ e' • (e - e') = 0

მტკიცება
e' • (e - e') = e' • e - e' • e' = e' - e' = 0

ყოველი იდემპოტენტური ელემენტი განსაზღვრავს თავის არეალს, სიმრავლეს იმ ელემენტებისა, რომელთათვისაც ის ერთეულია, ანუ მასზე გამრავლებით არ იცვლება. ამგვარ ელემენტთა სიმრავლე იდენპოტენტ e-სათვის იქნება e • A, მთავარი იდეალი. მართლაც
e • (e • x) = (e • e) • x = e • x
(e • x) • e = e • (e • x)

თუ e • A = e' • A, მაშინ e = e'. მართლაც, e • e' უდრის როგორც e'-ს ისე e-ს.

თეორემა
თუ e იდემპოტენტია, მაშინ e • A ალგებრაა

მტკიცება
ნათელია, რომ e • A ქვესივრცეა და გამრავლების მიმართ ჩაკეტილი. მასში ერთიანი იქნება თვით e.

ქვესივრცე e • A ალგებრაცაა და იდეალიც. იმისდა მიუხედავად, რომ ალგებრაა, ის არ არის ქვეალგებრა, რადგან მისი ერთეული და მთელი ალგებრის ერთეული ერთმანეთისაგან განსხვავდება.

ალგებრის დაშლა

სასრული განზომილების ალგებრა დაიშლება ლოკალურ ალგებრათა პირდაპირ ჯამად. ყოველი ლოკალური ალგებრა შეესაბამება მინიმალურ იდემპოტენტს.

თეორემა
თუ е და e' იდემპოტენტებია და e > e', მაშინ
e • A ⊃ e' • A

მტკიცება
თუ е' • x = x, მაშინ e • x = e • e' • x = e' • x = x

თეორემა
თუ е და e' იდემპოტენტებია, მაშინ
(e • A) ∩ (e' • A) = (e ⋀ e') • A
(e • A) + (e' • A) = (e ⋁ e') • A

მტკიცება
რადგან e ⋀ e' < e, e ⋀ e' < e' და e < e ⋁ e', e' < e ⋁ e', წინა თეორემიდან ნათელია
(e • A) ∩ (e' • A) ⊃ (e ⋀ e') • A
(e • A) + (e' • A) ⊂ (e ⋁ e') • A
პირიქით
თუ x ∈ (e • A) ∩ (e' • A), ანუ x = e • x და x = e' • x, მაშინ
(e • e') • x = e • (e' • x) = e • x = x
თუ x = (e ⋁ e') • x, მაშინ
(e ⋁ e') • A ∋ x = (e + e' - e • e') • x = e • x + (e' - e • e') • x =
= e • x + (e' • (e' - e • e')) • x = e • x + e' • [(e' - e • e') • x] ∈ (e • A) + (e' • A)

ვთქვათ იდემპოტენტთა, е და e', ნამრავლი უდრის ნულს, е • e' = 0. ამ შემთხვევაში, რადგან е ⋁ e' = е + e', წინა თეორემის ბოლო ტოლობა პირდაპირ ჯამად გადაიქცევა. ეს ფაქტი სხვაგვარადაც შეგვიძლია დავინახოთ. ამ იდემპოტენტთა მთავარ იდეალებს მხოლოდ ერთი საერთო ელემენტი აქვთ, ნული. მართლაც, თუ x = e • x შედის e' • A-შიც, მაშინ
x = e • x = e' • (e • x) = (e' • e) • x = 0 • x = 0
დამტკიცდა

თეორემა
თუ е • e' = 0, მაშინ (e • A) ∩ (e' • A) = 0

თუ e და e' იდემპოტენტებია და e > e', მაშინ e • A ⊃ e' • A. არსებობს ეპიმორფიზმიც e • A → e' • A, x → e' • x. ეს ეპიმორფიზმი ნაწილია მთელი ალგებრის ეპიმორფიზმისა e' • A-ზე.

თეორემა
თუ e > e', მაშინ მიმდევრობა
0 → (e - e') • A → e • A → e' • A → 0
ზუსტია

მტკიცება
თუ x ∈ e • A და გადადის ნულში, ანუ e' • x = 0, მაშინ
(e - e') • x = e • x - e' • x = x - 0 = x
რაც ნიშნავს რომ x ∈ (e - e') • A
თუ x = (e - e') • x და e • x = x, მაშინ e' • x = 0

თუ e > e', მაშინ e - e' იდემპოტენტია. მართლაც
(e - e') • (e - e') = e • e - 2 e • e' + e' • e' = e - 2 e' + e' = e - e'
და რადგან (e - e') • e' ნულია, მივიღეთ, е • A არის e' • A-სა და (e - e') • A-ს პირდაპირი ჯამი.

კერძოდ გვექნება ზუსტი მიმდევრობა
0 → A • (1 - e) → A → A • e → 0
და ალგებრის დაშლა პირდაპირ ჯამად A = A • e + A • (1 - e)

გაითვალისწინეთ, რომ არც ერთი მათგანი ქვეალგებრა არ არის, მხოლოდ იდეალებია. მაგრამ ორივე მათგანი ალგებრაა. ძირითადი ალგებრის ერთეული ამ შესაკრებთა ალგებრების ერთეულების ჯამია.

რადგან ვგულისხმობთ, რომ ალგებრა სასრული განზომილებისაა მისი იდეალების ყოველი ჯაჭვი სასრულია. აქედან ვასკვნით, რომ არსებობს მინიმალური იდემპოტენტები.

თეორემა
მინიმალურ იდემპოტენტთა სიმრავლე სასრულია

მტკიცება
მინიმალურ იდემპოტენტთა სიმრავლე აღვნიშნოთ M-ით. განვიხილოთ ჩადგმით M ⊂ A
გამოწვეული წრფივი ასახვა FM → A. ეს ასახვა მონომორფიზმია. მართლაც, თუ u ∈ FM გადავიდა ნულში. ეს ნიშნავს, რომ წრფივი კომბინაცია ∑ e(eu) = 0. თუ ამ კომბინაციას ერთ ერთ მინიმალურ იდემპოტენტზე გავამრავლებთ დაგვრჩება მხოლოდ ერთი წევრი, რადგან განსხვავებულ მინიმალურ იდენპოტენტთა ნამრავლი ნულია. ეს კი გვაძლევს რომ 0 = e • e(eu) = (e • e)(eu) = e(eu). აქედან, ყოველი eu = 0, ანუ u = 0. მივიღეთ რომ FM ⊂ A. რადგან A სასრული განზომილებისაა მისი წრფივი ქვესივრცეც FM სასრული განზომილებისაა, ანუ M სასრული სიმრავლეა.

ყოველი იდემპოტენტი e განსაზღვრავს მასზე ნაკლებ ყველა მინიმალურ იდემპოტენტთა ქვესიმრავლეს m • M ⊂ M. განვიხილოთ ⋁ m, სადაც m ∈ e • M. გასაგებია, რომ e > ⋁ m. მაგრამ e > e - ⋁ m. აქედან ვასკვნით, რომ (e - ⋁ m) ყველა იდემპოტენტზე ნაკლებია, ანუ e - ⋁ m = 0. რაც ნიშნავს, რომ e = ⋁ m. დამტკიცდა

თეორემა
იდემპოტენტთა ბულის ალგებრა მინიმალურ იდემპოტენტთა სიმრავლის ქვესიმრავლეთა ბულის ალგებრაა

ამ და წინა პარაგრაფში დამტკიცებულ თეორემათა მარტივი შედეგია

თეორემა
სასრული განზომილების ალგებრა მინიმალურ იდემპოტენტთა მთავარ იდეალთა პირდაპირი ჯამია

ამ ალგებრებში მხოლოდ ორი იდემპოტენტია, 0 და თვით მინიმალური იდემპოტენტი m. ამგვარ ალგებრას სპეციალურ სახელსაც უწოდებენ, ლოკალური ალგებრა.

იდეალის იდემპოტენტი

მხოლოდ ალგებრის ერთეული არის ისეთი იდემპოტენტი, რომელიც ყველა ელემენტისათვის არის ერთეული (ტავტოლოგია). თუ e იდემპოტენტია e • A არის იმ ელემენტთა სიმრავლე, რომელთათვისაც e ერთეულის როლს ასრულებს.

ავიღოთ ალგებრის იდეალი I და განვიხილოთ სიმრავლე იდემპოტენტებისა, რომელიც გამრავლებით I-ს ელემენტებს არ ცვლის, e • x = x. გასაგებია, რომ ალგებრის ერთეული შედის ამ სიმრავლეში. თუ იდემპოტენტი e შედის ამ სიმრავლეში და e' > e, მაშინ
x • e' = x • e • e' = x • e = x
ანუ e'-ც შედის ამ სიმრავლეში. ასევე თუ იდემპოტენტები e და e' შედის ამ სიმრავლეში, მაშინ e ⋀ e'-ც შედის ამავე სიმრავლეში, რადგან
(e ⋀ e') • x = (e • e') • x = e • (e' • x) = e • x = x
გამოვიდა, რომ ალგებრის ყოველი იდეალისათვის არსებობს უმცირესი იდემპოტენტი, რომელზეც იდეალის ელემენტის გამრავლება ამ ელემენტს არ ცვლის. აღვნიშნოთ ეს, თვით იდეალში არ შემავალი მინიმალური იდემპოტენტი mI-თ. გასაგებია, რომ I ⊂ mI • A. მხოლოდ თვით ალგერისათვის გვექნება ტოლობა.

მეორეს მხრივ, იდეალი I-სათვის განვიხილოთ ყველა მასში შემავალი იდემპოტენტი. თუ e ∈ I და e' ∈ I, მაშინ
e ⋁ e = e + e' - e • e' ∈ I
ასე რომ ამ იდემპოტენტთა შორის არსებობს უდიდესი. აღვნიშნოთ ეს იდემპოტენტი iI-ით. გვექნება
iI • A ⊂ I ⊂ mI • A
ალგებრის ელემენტისათვის ვიხმაროთ აღნიშვნა
ma = m(a • A) და ia = i(a • A)
მივიღეთ ასახვები ალგებრიდან იდემპოტენტთა სიმრავლეზე
a → ma და a → ia
თვით იდემპოტენტთა სიმრავლეზე მეორე ასახვა იგიური ასახვაა.

ადვილად ჩანს, რომ თუ I ⊂ J, მაშინ iI < iJ და mI < mJ. ასევე ნათელია თუ a ∈ I, მაშინ ia < iI და ma < mI.

ვთქვათ a სასრული განზომილების ალგებრა A-ს ელემენტია. თუ ის შებრუნებადია, მაშინ a • A = A, თუ არა და განვიხილოთ იდეალთა ჯაჭვი
A = a0 • A ⊃ a • A ⊃ a2 • A ⊃ . . . ⊃ ak • A ⊃ . . .
თუ ალგებრა სასრული განზომილებისაა, ეს ჯაჭვი უსასრულო ვერ იქნება, ანუ რაღაც ადგილიდან გვექნება ტოლობები. ვთქვათ ეს ადგილი იწყება k-დან. ანუ
. . . ⊃ ak-1 • A ⊃ ak • A = ak+1 • A = . . .
ეს ნიშნავს რომ არსებობს x ∈ A ისეთი, რომ аk = ak+1 • x = ak • a • x. თუ ამ ტოლობას n-ჯერ გამოვიყენებთ გვექნება
аk = ak • a • x = ak • a • a • x • x = . . . = ak • an • xn
კერძოდ
аk = ak • ak • xk
მიღებული გავამრავლოთ xk-ზე. მივიღებთ იდემპოტენტს
ak • xk = ak • xk • ak • xk.

რადგან ia ყველაზე მაღალი იდემპოტენტია მთავარ იდეალ a • A-ში შემავალთა შორის გვექნება ia > ak • xk, ამიტომ ia • ak • xk = ak • xk.
რადგან ia ეკუთვნის a • A-ს, ამიტომ ia = a • z. გვექნება
ak • xk = (ak • xk) • ia = (ak • xk) • (ia)k = (ak • xk) • (a • z)k =
= (ak • xk • ak) • zk = ak • zk = (ia)k = ia

რადგან аk = ia • xk, ამიტომ a ∈ R(ia • A). ეს კი ნიშნავს a • A ⊂ R(ia • A).

რადგან საქმე გვაქვს სასრული განზომილების ალგებრასთან, მის იდეალ I-ში შემავალ იდემპოტენტთა რაოდენობა სასრულია და იდეალში შემავალი მაქსიმალური იდემპოტენტი, iI იქნება მათი გაერთიანება.

იდეალ I-ის რადიკალ RI-ის ყოველი იდემპოტენტი I-შია. მართლაც, თუ e იდემპოტენტია და e ∈ RI, მაშინ e = ek ∈ I. ეს კი ნიშნავს, რომ i(RI) = iI, იდეალის რადიკალში შემავალი მაქსიმალური იდემპოტენტი და თვით იდეალში შემავალი მაქსიმალური იდემპოტენტი ერთი და იგივეა.

ალგებრის მაქსიმალური იდემპოტენტი ვუწოდოთ იდემპოტენტს, რომელზეც მეტი მხოლოდ ალგებრის ერთეულია. თუ M მაქსიმალური იდეალია mM = 1, ხოლო iM ალგებრის მაქსიმალური იდემპოტენტია. გასაგებია აგრეთვე RM = M ⊃ R(iM). საერთოდ იდემპოტენტის რადიკალად მოვიხსენიოთ იდემპოტენტის მთავარი იდეალის რადიკალი, Re = R(e • A).

ლოკალური ალგებრა

ლოკალური ალგებრა არის ალგებრა ერთადერთი მაქსიმალური იდეალით. ველი ლოკალური ალგებრაა მასში ერთადერთი მაქსიმალური იდეალია, ნული. მათემატიკურ ლიტერატურაში გავრცელებულია ლოკალური რგოლის ცნება. ვუმატებ წრფივობას და კომუტატურობას.

ინგლისურად - local ring
ფრანგულად - un anneau local
გერმანულად - ein lokaler Ring
იტალიურად - un anello locale
ესპანურად - un anillo local
რუსულად - локальное кольцо

ლოკალური ალგებრა ჩდება როგორც ალგებრის დაშლის ძირითადი ელემენტი. ეს ცნება ძალიან ახლოსაა ველის ცნებასთან.

ალგებრა ლოკალურია თუ მასში მხოლოდ ორი იდემპოტენტია, 0 და 1. ალგებრაში ყოველი მაქსიმალური იდეალი განსაზღვრავს მაქსიმალურ იდემპოტენტს და პირიქით მაქსიმალური იდემპოტენტი განსაზღვრავს მაქსიმალურ იდეალს. რადგან ამ გაგებით მაქსიმალური იდემპოტენტი არ არსებობს ამიტომ ერთადერთი მაქსიმალური იდეალი გვექნება.

რადგან ალგებრა A სასრული განზომილებისაა მასში ყოველი ელემენტი ან შებრუნებადია ან ნულის გამყოფი. ლოკალურ ალგებრაში ყოველი ნულის გამყოფი ნილპოტენტურია. მივიღეთ ზუსტი მიმდევრობა

0 → M → A → W → 0
A ლოკალური ალგებრაა, M მისი მაქსიმალური იდეალი, W კი ფაქტორიზაციით მიღებული ველი. ბირთვი ალგებრაა განსაკუთრებული თვისებით მასში ერთეული არ არის და არც შებრუნებადი ელემენტი არის, ყველა ნულის გამყოფია და ნილპოტენტურიც.