მათემატიკა

ალგებრული მრავალნაირობა

ალგებრული გეომეტრიის საწყისია წრფივ სივრცეში მრავალწევრის ფესვების, ნულების სიმრავლე. ვთქვათ X სასრული სიმრავლეა. მისი ველში V ასახვათა სიმრავლე წრფივი სივრცე FX იქნება, განვიხილოთ ასევე პოლინომთა ალგებრა PX.

განვმარტოთ ასევე FX-სა და PX-ის ურთიერთ მოქმედება. ვთქვათ a ვექტორია FX-დან. ხოლო p მრავალწევრი PX-დან, მაშინ ap = ∑ (up • ∏ xaxu), სადაც u ∈ NX, x ∈ X. ამ მოქმედებით მრავალწევრთა სიმრავლე PX გახდება FX-ზე ფუნქციათა სიმრავლის ნაწილი.

თეორემა
PX-ში განსაზღვრული ოპერაციები ემთხვევა ფუნქციების ჩვეულებრივ ოპერაციებს, ანუ PX-ის ჩადგმა ფუნქციათა სივრცეში ჰომომორფიზმია.

მტკიცება

a(p + q) = ∑ (u(p + q) • ∏ xaxu) = ∑ ((up + uq) • ∏ xaxu) = ∑ (up • ∏ xaxu) + ∑ (uq • ∏ xaxu) = ap + aq
a(p • q) = ∑ (u(p • q) • ∏ xaxu) = ∑ ((∑ vp • wq) • ∏ (xaxv • xaxw)) = ∑ (vp • wq • ∏ (xaxv • xaxw)) =
= ∑ (vp • ∏ xaxv • wq • ∏ xaxw) = ∑ (vp • ∏ xaxv) • ∑ (wq • ∏ xaxw) = ap • aq

თუ მიმართებად ავიღებთ ამ მნიშვნელობის ნულთან ტოლობას მივიღებთ FX-ისა და PX-ის ქვესიმრავლეებს შორის გალუას თანადობას. ამ თანადობის შესაბამისი ასახვა FX-ის ქვესიმრავლეებიდან PX-ის ქვესიმრავლეებში აღვნიშნოთ N-ით, ხოლო ასახვა PX-ის ქვესიმრავლეებიდან FX-ის ქვესიმრავლეებში M-ით. ნათელია რომ ნებისმიერი სიმრავლის ანასახი PX-ის იდეალი იქნება, ხოლო N-ით ნებისმიერ ანასახს ვუწოდოთ ალგებრული სიმრავლე.
FX-ის ქვესიმრავლე Y-ით წარმოშობილი ალგებრული სიმრავლე იქნება YMN. მისი შესაბამისი იდეალი კი YM, ამ იდეალით ალგებრა PX-ის ფაქტორ ალგებრა კი პოლინომიარულ ფუნქციათა ალგებრა PX / YM ალგებრულ სიმრავლე YMN-ზე.
რაც შეეხება PX-ის ქვესიმრავლე Z-ით გალუას თანადობის შეაბამისად წარმოშობილი იდეალი ZNM, შესაძლოა, არ იყოს ალგებრა PX-ში Z-ით შექმნილი იდეალი. თუმცა იქნება მისი მომცველი იდეალი, რადგან Z ⊂ ZNM ამ თანადობის მიხედვით შექმნილ იდეალებს დროებით გალუას იდეალი ვუწოდოთ. თუ Z თვითონ იდეალია, მაშინ Z შევა მის რადიკალში, Z ⊂ ZR ⊂ ZNM. ეს მართლაც ასეა, თუ a • pk = 0 მაშინ a • p = 0. რადგან a(pk) = ap • . . . • ap და ველში ნულის გამყოფი არ არის. თუ Z თვითონ არის გალუას იდეალი, მაშინ მისი რადიკალი მასვე უდრის. ჰილბერტის (David Hilbert, 1862.01.23 – 1943.02.14) ცნობილი თეორემა Nullstellensatz-ის თანახმად ნებისმიერი იდეალისათვის ZNM = ZM, თუ ველი ალგებრულად ჩაკეტილია.

როგორი იდეალია წერტილის შესაბამისი? თუ a წერტილია FX-დან. რა არის იდეალი aM ⊂ PX? თუ ორი მრავალწევრის p და q ნამრავლის ფესვია a მაშინ ან ap = 0 ან aq = 0 რადგან ველი არ შეიცავს ნულის გამყოფებს. აქედან a არის ან p-ს ან q-ს ფესვი, ანუ
pq ∈ aM ⇒ ან p ∈ aM ან q ∈ aM
ამ თვისების მატარებელ იდეალებს მარტივ იდეალებს უწოდებენ.

რადგან Y ⊂ Z ⇒ YM ⊃ ZM ამიტომ (Y ∩ Z)M ⊃ YM + ZM და (Y ∪ Z)M ⊂ YM ∩ ZM. ასევე (I ∩ J)N ⊃ IN ∪ JN და (I + J)N ⊂ IN ∩ JN. განვიხილოთ ბოლო ჩართვა. თუ ვექტორი a ეკუთვნის IN-საც და JN-საც, ანუ I-სა და J-ს ყოველ ელემენტს ნულში გადააქვს, ხოლო (I + J)-ში მხოლოდ მათი ჯამებია, ვასკვნით რომ a ∈ (I + J)N, ანუ მივიღეთ (I + J)N = IN ∩ JN. კიდევ უფრი მარტივად (Y ∪ Z)M = YM ∩ ZM.

შევეცადოთ ყოველი ზემოთ აღწერილი კონსტრუქცია გადავიტანოთ კომუტატური ალგებრის შემთხვევაზე. ანუ ველის მაგივრად ვიღებთ კომუტატურ ალგებრა A-ს. შემდგომისათვის თუ დაგვჭირდა ვიგულისხმოთ რომ ეს ალგებრა სასრულ წარმომქმნელიანია. სასრული სიმრავლე X-დან ასახვათა სიმრავლე ალგებრა A-ში აღვნიშნოთ FX. ეს სიმრავლე იქნება მოდული ალგებრა A-ს მიმართ. ისევე როგორც ზემოთ NX იყოს X-ის ქვესიმრავლეთა ასახვები ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლე N-ში, მონომთა სიმრავლე. მრავალწევრთა ალგებრად დაგვჭირდება ორი ალგებრის გამოყენება ერთი ის რაც ზემოთ იყო აგებული MX, სასრულ მატარებლიანი ასახვები ველში V. მეორე, რომლისათვისაც გამოვიყენებ აღნიშვნას AX, სასრულ მატარებლიანი ასახვები ისევ NX-დან ალგებრა A-ში. გავიხსენოთ რომ ორივე სიმრავლეშია 1, როგორც ცარიელი სიმრავლის ასახვა N-ში. ამჯერად გვაქვს მრავალწევრთა ორი სიმრავლე. ერთის კოეფიციენტები ველიდანაა, მეორის კი ალგებრიდან. პირველი მეორის ქვეალგებრაა.

ოპერაციები
x(m • n) = xm + xn, x ∈ X, m ∈ NX, n ∈ NX
x(s + t) = xs + xt, x ∈ X, s ∈ FX, t ∈ FX
x(s • a) = xs • a, x ∈ X, s ∈ FX, a ∈ A
m(p + q) = ma + mb, m ∈ NX, p ∈ AX, q ∈ AX
k(p • q) = ∑ mp • nq, ყველა შესაძლო ვარიანტი m • n = k, k, m, n ∈ NX, p ∈ AX, q ∈ AX
sm = ∏ xsxm, ყველა x ∈ X, s ∈ FX, m ∈ NX
sp = ∑ sm • mp, ყველა m ∈ NX, s ∈ FX, p ∈ AX