მათემატიკა

გარე ალგებრა, გრასმანის ალგებრა

ვგქვათ მოცემულია წრფივი სივრცე E. განვიხილოთ ფორმალური შენაქმნები x1⋀x2 . . . ⋀xk, სადაც x1, x2, . . . , xk წრფივი სივრცე E-ს ვექტორებია, k ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი და მათი წრფივი კომბინაციები. ეს შენაქმენი ბუნებრივად არის წრფივი სივრცე. შემოვიტანოთ ამ სივრცეში წარმომქმნელთა გამრავლება (⋀) უბრალო მიდგმით, ხოლო წრფივ კომბინაციებზე გავავრცელოთ დისტრიბუციის წესით. ამგვარ წარმონაქმნს უწოდებენ გარე ნამრავლს, ზოგჯერ გრასმანის ალგებრას. ერთადერთი დამატებითი პირობა, ანუ აქსიომაა გამრავლების ანტიკომუტატურობა:
x⋀y = -y⋀x
ნათელია რომ ეს პირობა იწვევს ტოლობას x⋀x = 0.

ინგლისურად - Exterior algebra, Grassman algebra
ფრანგულად - une algèbre extérieure, une algèbre de Grassmann
გერმანულად - die äußere Algebra, Die Graßmann-Algebra
იტალიურად - una algebra esterna, una algebra di Grassmann
ესპანურად - ?
რუსულად - внешняя алгебра, алгебра Грассмана

მივიღეთ გრადუირებული ალგებრა ⋀E = ∑ ⋀kE და ჩადგმა E ⊂ ⋀E.
ამ ჩადგმას აქვს უნივერსალური თვისება.

თეორემა
თუ მოცემულია წრფივი სივრციდან ასოციატურ ალგებრაში წრფივი ასახვა f: E → A ისეთი რომ xf • xf = 0, მაშინ არსებობს ერთადერთი ჰომომორფიზმი გარე ნამრავლიდან A-ში, რომელიც არის f-ის გაფართოება, ანუ დიაგრამა

E ⊂ ⋀E
↓   ↙ 
A      
კომუტატურია.

მტკიცება
ნათელია საჭირო ჰომომორფიზმის აგებაც:
x1⋀x2 . . . ⋀xk → x1f • x2f • . . . • xkf
ერთადერთობა. ვთქვათ მეორე ჩადგმაა E ⊂ B ასეთივე უნივერსალური თვისებით ანტიკომუტატურ ალგებრა B-ში. მაშინ არსებობს ჰომომორფიზმი ⋀E-დან B-ში და ასევე B-დან ⋀E-შიც და ეს ჰომომორფოზმები ერთმანეთის შებრუნებულია, ანუ B ⋀E-ის იზომორფულია.

უნუვერსალობის ეს პირობა იძლევა გარე ნამრავლის აქსიომატურ განსაზღვრას.