მათემატიკა

წრფივი სივრცის და ალგებრის წარმოქმნა

ჰილბერტის თეორემა ნულების შესახებ ალგებრის ერთ ერთი ცენტრალური თეორემაა. თუ მრავალწევრი ნულდება რაიმე იდეალის ყველა ნულზე, მაშინ მისი რომელიღაც ხარისხი ეკუთვნის ამავე იდეალს. ეს თეორემა სამართლიანია ალგებრულად ჩაკეტილი ველისათვის. თეორემის ჩვეულებრივი მტკიცება ეყრდნობა ველის თვისებას რომ წარმომქმნელთა სასრული რაოდენობა იწვევს მის სასრულ განზომილებასაც.

გავიხსენოთ წრფივი სივრცის კონსტრუირება სიმრავლის მიხედვით. სიმრავლე X-ით წარმოქმნილი წრფივი სივრცე FX არის X-იდან ველი V-ში ასახვათა სიმრავლე, რომელთა საყრდენიც სასრული ქვესიმრავლეა. წარმომქმნელთა სიმრავლის რაოდენობა სივრცის განზომილებაა.
მაგრამ რადგან ალგებრაში მეორე ოპერაციაც არის წარმომქნელისაგან ალგებრის ელემენტის შექმნაში მონაწილეობს ეს მეორე ოპერაციაც. ამიტომ წარმომქნელთა უფრო მცირე რაოდენობაა საკმარისი დიდი სივრცის ასაგებად.
ნებისმიერი სიმრავლე X-ისათვის აღვნიშნოთ NX-ით ასახვათა სიმრავლე X-ის სასრული ქვესიმრავლიდან ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეში. თუ n ამგვარი ასახვაა ქვესიმრავლე რომელზეც ის არის განსაზღვრული აღვნიშნოთ sup n-ით. ვიგულიახმოთ რომ საყრდენში არ შემავალ ელემენტზე n-ის მნიშვნელობა ნულის ტოლად. NX-ში შემოვიღოთ ოპერაცია • ,
m • n. ნამრავლის საყრდენი იქნება საყრდენთა გაერთიანება, sup m • n = sup m ∪ sup n, მნიშვნელობა საერთო ნაწილზე მნიშვნელობათა ჯამი x(m • n) = xm + xn, ხოლო დანარჩენ ნაწილზე ის ერთადერთი მნიშვნელობა რომელსაც ერთ ერთი მათგანი იძლევა. თუ ასახვას ვიგულისხმებთ მთელ X-ზე გნსაზღვრულად მაშინ ეს ოპერაცია უბრალოდ შეკრებაა. მივიღეთ კომუტატური მონოიდი, მისი ერთეული იქნება ცარიელი ქვესიმრავლის ასახვა ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეში, 1: ∅ → N ანუ X-ის ნულოვანი ასახვა.
თუ მოცემულია მონოიდი M და ველი V ავაგებთ ალგებრას FM-ში გამრავლების ოპერაციის შემოტანით. თუ a და b წრფივი სივრცე FM-ის ვექტორებია, ანუ სასრულ საყრდენიანი ასახვები a: M → V და b: M → V, მაშინ ნამრავლი a • b იქნება ასახვა რომლის მნიშვნელობა x-ზე იქნება x(a • b) = ∑ ya • zb, რომელშიც y და z იქნება sup a × sup b-ს ყველა შესაძლო წყვილი რომელთა ნამრავლიც x-ს უდრის, y • z = x. ასახვა a • b განიმარტება სასრულ სიმრავლე sup a ∪ sup b-ზე და, გასაგებია, იქნება sup a • b-ს ქვესიმრავლე.

ალგებრა FNX გასაგებია იქნება მრავალწევრთა ალგებრა, ვიხმაროთ სათადო აღნიშვნაც PX.

თუ X არის ალგებრა A-ს ქვესიმრავლე გვექნება მორფიზმიც NX-დან A-ში რომლის ანასახიც იქნება X-ით წარმოშობილი მონოიდი, ხოლო PX-დან A-ში ასახვის ანასახი X-ით წარმოშობილი ქვეალგებრა. თუ X ალგებრა A-ს წარმომქმნელთა სიმრავლეა გვექნება ეპიმორფიზმი PX → A, ასახვა u: NX → V გადავა A-ს ელემენტში ∑ xxn • un, სადაც n გაირბენს sup u-ს წევრებს, ხოლო x სათანადოდ sup n-ს. მივიღეთ ზუსტი მიმდევრობაც

0 → K → PX → A → 0

გასაგებია რომ სასრული ველის შეთხვევაშიც კი წარმომქმნელთა რაოდენობა ვერ უზრუნველყოფს ალგებრის როგორც წრფივი სივრცის სასრულ განზომილებას. ეს დამოკიდებულია გამრავლების სტრუქტურაზე. თუ ბირთვი, იდეალი K საკმაოდ დიდია A შეიძლება აღმოჩდეს სასრული განზომილების წრფივი სივრცე. სხვაგვარად, მაგალითად თუ K = 0, სიმრავლე X ერთელემენტიანიც რომ იყოს, A უსასრულო განზომილების იქნება.

კრულის განზომილენას უწოდებენ მარტივ იდეალთა მაქსიმალური ჯაჭვის სიგრძეს.
Wolfgang Krull (1899.08.26 – 1971.04.12)

თვით სიმრავლე X შეგვიძლია ვიგულისხმოთ PX-ის ნაწილად x როგორც ასახვა X-დან ველ V-ში მხოლოდ x-ზე იძლევა მნიშვნელობას 1, დანარჩენ ელემენტებზე კი ნულს. რადგან NX ⊂ PX, გასაგებია ჩართვაც X ⊂ PX.

ვთქვათ X არის ველი V-ს გაფართოება ალგებრა A-ს წარმომქმნელთა სიმრავლე და, მაშასადამე გვაქვს ეპიმორფიზმიც PX → A.

თეორემა
თუ ალგებრის წარმომქმნელთა სიმრავლე სასრულია, მაშინ მისი მაქსიმალური იდეალით ფაქტორ ალგებრა სასრული განზომილების წრფივი სივრცეა

მტკიცება

<ტ თუ მომცველი ალგებრა სარული განზომილებისაა გვექნება ალგებრული გაფართოება. აქედან კი

ზარიცკის ლემა
თუ ალგებრის წარმომქმნელთა სიმრავლე სასრულია, მაშინ მისი მაქსიმალური იდეალით ფაქტორ ალგებრა ველი V-ს ალგებრული გაფართოებაა

Oscar Zariski (April 24, 1899.04.24 – July 4, 1986.07.04)

Nathan Jacobson (1910.10.05 - 1999.12.05)