მათემატიკა

ალგებრული ოპერაცია

სიმრავლე A-ზე ალგებრული ოპერაცია მართებული იქნება ალბათ გავიგოთ როგორც ასახვა An-დან A-ში. ეს იქნება n ადგილიანი ოპერაცია. ასახვა თავის თავში იქნება ერთ ადგილიანი ოპერაცია. ალგებრა დღეისათვის ძირითადად იხილავს ორ ადგილიან ოპეაციას, ასახვას A × A → A. ოპერაციის შედეგი ელემენტებზე a და b აღვნიშნოთ ასე a • b. ჩვეულებრივ, ოპერაციის თვისებებად განიხილავენ ასოციურობას და კომუტატურობას. ეს უზრუნველყობს რომ ელემნტთა მიმდევრობას და ოპერაციის რიგს შედეგზე გავლენა არ ექნება. კომუტატურობა ნიშნავს ტოლობას a • b = b • a, ასოციურობა ტოლობას (a • b) • c = a • (b • c), ანუ ოპერაციათა კომუტატურობას.

თუ სიმრავლეზე განსაზღვრულია ასოციური ოპერაცია მას ნახევარჯგუფის სახელით მოიხსემიებენ. თუ ამგვარ სიმრავლეში არსებობს ნეიტრალური ელემენტიც მაშინ მას მონოიდს უწოდებენ

სიმრავლე A-ზე ასოციური და კომუტატური ოპერაცია იძლევა საშუალებას სასრული სიმრავლის ასახვას A-ში შევუსაბამოთ ელემენტი A-დან. თუ გვაქვს ასახვა u სასრული სიმრავლე X-დან A-ში შეგვეძლება განვსაზღვროთ A-ს ელემენტი, ანასახებზე ოპერაციის შედეგი, რადგან მოქმედებათა მიმდევრობას მნიშვნელობა არ ექნება, Xu = ∏ xu, x ∈ X.
თუ გვაქვს ნებისმიერი სიმრავლე X-დან ასახვა სიმრავლე A-ში, მაშინ მის ყოველ სასრულ სიმრავლეს შეგვეძლება შევუსაბამოთ A-დან ელემენტი. აღვნიშნოთ სიმრავლე X-ის სასრულ ქვესიმრავლეთა სიმრავლე FX-ით. მივიღეთ ასახვა Map(X, A) → Map(FX, A). თუ Y არის სიმრავლე X-ის სასრული ქვესიმრავლე, ხოლო ასახვა u ∈ Map(X, A), მაშინ იგივე u შეგვიძლია გავავრცოთ სასრულ ქვესიმრავლეებზე როგორც ასახვა u: FX → A, Yu = ∏ yu, y ∈ Y.

თუ მოცემულია სიმრავლე X-ის ასახვა Y-ზე, f: X → Y, მას შეესაბამება ბუნებრივი ასახვა FX → FY, თუ Z ∈ FX მისი ანასახი სასრულია და ამიტომ Zf ∈ FY. მაგრამ ეს ასე არ არის შებრუნებული ასახვისათვის: თუ Z ∈ FY შესაძლოა Zf- სასრული აღარ იყოს. თუ X სასრულია ეს პირობა შესრულებულია. Map(X, Y)-დან გამოვყოთ ქვსიმრავლე Fap(X, Y) პირობით:
- f ∈ Fap(X, Y) თუ ყოველი y-სათვის Y-დან სიმრავლე yf- სასრულია
ადვილად დავასკვნით რომ სასრული ქვესიმრავლის წინასახე ამგვარი ასახვით სასრულია. აქედან დასკვაც, რომ ამგვარ ასახვათა კომპოზიცია ამგვარივეა.
თუ f: X → Y, მაშინ Map(Y, A) → Map(X, A), u → f ∘ u. ასევე X-ის სასრულ ქვესიმრავლეს ბუნებრივად შეესაბამება Y-ის სასრული ქვესიმრავლე, FX → FY, მისი ანასახი, X ⊃ Z → Zf ⊂ Y. რაც თავის მხრივ ბუნებრივად იძლევა ასახვას Map(FY, A) → Map(FX, A). გვაქვს დიაგრამა
Map(Y, A) → Map(X, A)
    ↓                       ↓
Map(FY, A) → Map(FX, A)
საზოგადოდ ეს დიაგრამა კომუტატური არ არის. თუ u: Y → A, ხოლო X-ის ქვესიმრავლე Z-ის და მის ანასახ Zf-ის რაოდენობა განსხვავებულია ტოლობა არ გვექნება.
მეორე დიაგრამა, რომელიც ეყრდნობა ასახვას f: X → Y მოითხოვს წინასახეზე ოპერაციას. აქ მცირე შენიშვნა: Y-ის სასრული ქვესიმრავლის წინასახე სასრული შეიძლება აღარ იყოს. ამიტომ f ∈ Fap(X, Y). ეს თავის მხრივ იძლევა ასახვას Map(FX, A) → Map(FY, A).
Map(X, A) → Map(Y, A)
    ↓                       ↓
Map(FX, A) → Map(FY, A)

ნებისმიერი ასახვა u: X → A შეგვიძლია გადავიტანოთ Y-ზე, uf: Y → A, y(uf) = (yf-)u = ∏ xu, xf = y ოპერაციის მნიშვნელობა y-ის წინასახეზე.
თუ სიმრავლე A-ზე ალგებრულ ოპერაციას საფუძვლად დავუდებთ ასახვებს α: F(X, A) → A, სადაც F(X, A)-ში ვგულისხმობთ X-ის სასრული ქვესიმრავლიდან A-ში ყველა ასახვას, მაშინ A-ს მონოიდობის შესაბამისი პირობა იქნება: uα = vα.
თუ შემოვიფარგლებით ასოციური, კომუტატური ოპერაციებით, მაშინ ალგებრულ ოპერაციად შეგვიძლია ვაღიაროთ სასრულ ასახვათა სიმრავლეზე მოცემული ზემოთ მოტანილი პირობის დამცველი ვითარება. სასარგებლოა ვიგულისხმოთ რომ ცარიელი სიმრავლის ასახვას შეესაბამება ელემენტი A-დან. გასაგებია რომ ის აუცილებლად ნეიტრალური ელემენტი იქნება. რადგან გვაქვს ნეიტრალური ელემენტი შეგვიძლია ყოველი სასრული ასახვა მთელ სიმრავლეზე გავავრცელოთ, საყრდენის გარეთ მყოფი ელემენტი ნეიტრალურში ავსახოთ. ამიერიდან ვგულისხმობთ საყრდენად სიმრავლეს ელემენტთა, რომელნიც ასახვით ნეიტრალურში არ გადადიან.
ვთქვათ მოცემულია რამდენიმე სასრული ასახვა. თვით ოპერაცია α-ს გამოყენება ყოველ მათგანზე განსაზღრავს ასახვას ამ ასახვათა სიმრავლიდან A-ში. ამ ასახვაზე α-ს მნიშვნელობა აღვნიშნოთ {u}α-თი.

თუ დავუბრუნდებით ჩვეულებრივ აღნიშვნებს გვექნება: თუ u: X → A, მაშინ uα = ∑ xu, x ∈ X. აქ X ინდექსთა სიმრავლეა. თუ u: {x, y} → A, მაშინ uα = xu + yu. ან ასევე თუ u: X → A, მაშინ uα = ∏ xu, x ∈ X. აქაც X ინდექსთა სიმრავლეა. თუ u: {x, y} → A, მაშინ uα = xu • yu.

განსაზღვრა
კომუტატური ან აბელის ჯგუფი ეწოდება სიმრავლე A-ს და მასზე განსაზღვრულ ალგებრულ ოპერაცია α-ს თუ ყოველ სასრულ ასახვას აქვს შებრუნებული, ანუ ყოველი სასრული ასახვისათვის u: X → A არსებობს ასახვა v: X → A ისეთი რომ {u, v}α = 1

თუ სიმრავლე A-ზე განსაზღვრულია ორი ოპერაცია მაშინ განიხილავენ მათ შორის კავშირის განსაკუთრებულ ფორმას, რომელსაც დისტრიბუციას უწოდებენ. ეს თვისება შემდეგნაირად გამოიყურება: ვთქვათ ერთი და იმავე სიმრავლე A-ზე განსაზღვრულია ორი ოპერაცია α და β. ვუწოდოთ α-ს შეკრება, ხოლო β-ს გამრავლება. ვთქვათ f არის ასახვა X-დან Y-ზე. სიმრავლე Y-ის ელემენტ y-ის წინასახე yf- ფენად მოვიხსენიოთ და მასზე ამოკვეთილი ასახვა u აღვნიშნოთ uy-ით. შევქმნათ ასახვა v: Y → A, yv = uyα. ამ ასახვაზე ვიმოქმედოთ უკვე გამრავლებით, ანუ β-თი, vβ. მეორე გზაა განვიხილოთ ყველა შესაძლო კვეთა Y-დან X-ში, ანუ ასახვა s: Y → X ისეთი რომ კომპოზიცია s ∘ f იგიურია. ამ კვეთათა სიმრავლიდან ავაგოთ ასახვა w: S → A, sw = sβ. ამ ასახვაზე ვიმოქმედოთ შეკრებით, wα. ეს ორივე გზა ერთი და იმავე შედეგს უნდა იძლეოდეს, vβ = wα.

განსაზღვრა
კომუტატური რგოლი ეწოდება სიმრავლეს ორი ოპერაციით თუ პირველის მიმართ აბელის ჯგუფია, ხოლო მეორე მასთან დისტრიბუციულია

ქვეჯგუფი ან ქვერგოლი ვიხმაროთ ქვესიმრავლისათვის თუ მასში ასახვაზე ოპერაციის შედეგი მასშივეა. რგოლის შემთხვევაში არსებობს იდეალის ცნებაც. ეს უკვე გამრავლებისათვის უფრო მეტს გულისხმობს: შედეგი ქვესიმრავლეშია თუ ასახვის საყრდენის თანაკვეთა ქვესიმრავლის წინასახესთან არ არის ცარიელი.