მათემატიკა

ალგებრული ტოპოლოგია

აჯგებრული ტოპოლოგიის მიზანია დაამყაროს კავშირი ტოპოლოგიურ ობიექტებსა და ალგებრულ ობიექტებს შორის რათა გადაჭრას ტოპოლოგიის პრობლემა ალგებრული მეთოდით.

ანრი პუანკარემ Jules Henri Poincaré(1854.04.20 – 1912.07.17) განსაზღვრა ფუნდამენტური ჯგუფი (ჰომოტოპიის ჯგუფებიდან პირველი) 1895 წელს ნაშრომში Analysis situs, რომელიც ითვლება ალგებრული ტოპოლოგიის საწყის ნაშრომად

ინგლისურად - fundamental group
ფრანგულად - le groupe fondamental
გერმანულად - der Fundamentalgruppe
იტალიურად - una algebra
ესპანურად - el grupo fundamental
რუსულად - фундамента́льная гру́ппа

განსაზღვრა
ვუწოდოთ ტოპოლოგიურ სივრცე X-ის ყულფი წვერით წერტილ a-ში უწყვეტ ასახვას სეგმენტიდან [0,1] სივრცე X-ში, f: [0,1] → X, თუ 0f = 1f = a

ინგლისურად - loop
ფრანგულად - un lacet
გერმანულად - eine Schleife
იტალიურად -
ესპანურად - un lazo
რუსულად - петля

ყულფებს უწიდებენ ჰომოტოპიურად ექვივალენტებს თუ არსებობს უწყვეტი ასახვა h: [0,1]2 → X პირობით - (0,r)h = rf, (r,0)h = (r,1)h, (1,r)h = rg, ანუ ყოველი r-ისათვის ასაზვა s → (r,s)h ყულფია და 0-სათვის f, ხოლო 1-სათვის g.

განვსაზღვროთ ყულფების ოპერაცია. თუ f და g ყულფებია მათი ნამრავლი იყოს ყულფი ჯერ f და შემდეგ g, f • g, ანუ
- თუ r < 1/2, მაშინ r(f • g) = (2r)f, თუ r > 1/2, მაშინ r(f • g) = (2r - 1)g
ნათელია რომ ეს ოპერაცია გადადის ექვივაკენტობის კლასებზე და სწორედაც ამ მიღებულ ჯგუფს უწოდა პუანკარემ ფუნდამენტური ჯგუფი. დღეს მისი აღნიშვნაა π1(X, a).