მათემატიკა

ალგებრული ტოპოლოგია

განსაზღვრა
წრფივი ასახვის f: S → T ნორმა იქნება რიცხვი

|f| = max |fx| / |x|, სადაც x ≠ 0

ამგვარი რიცხვის არსებობა გამომდინარეობს შემდეგი შენიშვნიდან:
განვიხილოთ სივრცე S-ის ვექტორთა სიმრავლე, რომელთა ნორმაც უდრის 1, |x| = 1. სივრცე S-ის განზომილების სასრულობის გამო ეს სიმრავლე კომპაქტურია. ფუნქცია |fx| უწყვეტია მასზე და, მაშასადამე, აქვს მაქსიმუმი. სწორედ ეს მაქსიმუმი არის |f|. ამ რიცხვის გარდა იგივე ასახვას აქვს მინიმუმიც. აღვნიშნოთ იგი [f]-ით. თუ f ასახვის ბირთვი ნულის ტოლი არ არის, ანუ ნულის გარდა არსებობს ვექტორი, რომელიც ამ ასახვით ნულში გადადის, მაშინ [f] = 0. მაგრამ თუ ასეთი ვექტორი არ არსებობს მაშინ [f] > 0.

განმარტებიდან პირდაპირ გამომდინარეობს, რომ

[f] • |x| ≤ |fx| ≤ |f| • |x|
შეგვიძლია შემდეგი დასკვნის გაკეთება: Lin(E,F) სივრცეში |f| ნორმაა.

შემდგომისათვის შემოვიღოთ მცირე მიდამოს ცნება. ეს ცნება გაგვიადვილებს თეორემათა ჩამოყალიბებას და მათ დამტკიცებას.

თეორემა
წრფივი ასახვის f: S → T ბირთვის დამატება იყოს ქვესივრცე A. არსებობს f-ის მცირე მიდამო U ისეთი, რომ ყოველი წრფივი ასახვისათვის g: S → T

g ∈ U ⇒ A ⋂ Ker g = 0

მტკიცება
წრფივი ასახვა f განხილული A-ზე არის იზომორფიზმი A → Im f. აღვნიშნოთ h-ით ამ იზომორფიზმის შებრუნებული. ავიღოთ მცირე მიდამო m(f, n) რომლის შესაბამისი რიცხვი 1/n < |h|. ვთქვათ არსებობს ვექტორი x, რომელიც ეკუთვნის A-ს და gx = 0. გვექნება

|x| = |h(fx)| ≤ |h| • |fx| = |h| • |fx - gx| ≤ |h| • |f - g| • |x| < |h| • (1/n) • |x| < |x|
ნულისაგან განსხვავებული x-თვის ეს შეუძლებელია.

დამტკიცებული თეორემა ამბობს, რომ ყოველი წრფივი ასახვისათვის არსებობს ისეთი მცირე მიდამო, რომ აღებული წრფივი ასახვის ბირთვის დამატება გამოდგება ამ მიდამოში შემავალი ყოველი ასახვის ბირთვის დამატებად ან დამატების ნაწილად. აქედან კი შეიძლება დავასკვნათ, რომ ამ ბირთვთა განზომილება არ შეიძლება იყოს მეტი ვიდრე თავდაპირველად აღებული ასახვის ბირთვის განზომილებაა. ეს კი ანასახებისათვის შებრუნებულს ნიშნავს. ანუ, აღებული ასახვის რანგი მინიმალურია ამ ასახვის მცირე მიდამოში.