კატეგორიათა თეორია

მათემატიკაში კატეგორიის ცნება გაჩდა 1940 წლიდან, ძირითადად აილენბერგისა (Samuel Eilenberg, 1913.09.30 – 1998.01.30) და მაკ-ლეინის (Saunders Mac Lane, 1909.08.04 – 2005.04.14) სტატიებში ალგებრული ტოპოლოგიისათვის, რათა ერთი მათემატიკური სტრუქტურა, ტოპოლოგიური დაკავშირებულიყო მეორე მათემატიკურ სტრუქტურას, ალგებრულს. ჰომოლოგია და კოჰომოლოგია იყო პირველი ფუნქტორი. საქართველოში კატეგორიათა თეორიაში ყველაზე წარმატებული მათემატიკოსი გიორგი ჯანელიძეა.

ინგლისურად - category
ფრანგულად - une catégorie
გერმანულად - eine Kategorie
იტალიურად - una categoria
ესპანურად - una categoría
რუსულად - категория

კატეგორია არის რაღაც, რომელშიც არჩევენ ობიექტებს და ყოველ ორ ობიექტთან, ვთქვათ X და Y დაკავშირებულ სიმრავლეს, Mor(X, Y) რომლის ელემენტებსაც უწოდებენ მორფიზმებს წესებით:
- თუ f ∈ Mor(X, Y) და g ∈ Mor(Y, Z), მაშინ არსებობს ერთადერთი მორფიზმი Mor(X, Z)-ში, რომელიც იწოდება f-სა და g-ს კომპოზიციად აღინიშნება g ∘ f ან f ∘ g (გააჩნია გემოვნებას)
- კომპოზიცია როგორც ოპერაცია ასოციურია, ანუ (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h)
ჩვეულებრივ, ამას ემატება ყოველი ობიექტი X-ისათვის Mor(X, X)-ში იგიური მორფიზმის არსებობა რომელიც ნებისმიერ მორფიზმთან კომპოზიციაში მორფიზმს არ ცვლის. თუ კომპოზიციას აღვიქვამთ როგორც ოპერაციას, მაშინ ეს პირობა ნიშნავს ყოველი ობიექტისათვის შესაბამისი ერთეულის არსებობას.

უფრო გამართული განსაზღვრა მე არ ვიცი, რადგან განსაზღვრა მათემატიკაში ყოველთვის გულისხმობს რაღაც სიმრავლეს, კატეგორია კი შესაძლოა სიმრავლე არც იყოს. თუმცა მორფიზმთა ერთობას ყოველი ორი ობიექტისათვის, მე პირადად, ყოველთვის სიმრავლეს ვგულისხმობ.

ინგლისურად - object, morphism
ფრანგულად - un objet, un morphisme
გერმანულად - ein Objekt, ein Morphismus
იტალიურად - un oggetto, un morfismo
ესპანურად - un objeto, un morfismo
რუსულად - объект, морфизм

მაგალითი
სიმრავლეები როგორც ობიექტები და მათი ერთმანეთში ასახვები როგორც მორფიზმები ჰქმნიან კატეგორიას, სიმრავლეთა კატეგორიას. თუ განვიხილავთ მხოლოდ სასრულ სიმრავლეებს, გვექნება სასრულ სიმრავლეთა ქვეკატეგორია.

მაგალითი
ჯგუფები როგორც ობიექტები და ჰომომორფიზმები როგორც მორფიზმები ჰქმნიან კატეგორიას, ჯგუფთა კატეგორიას. თუ მხოლოდ კომუტატური ჯგუუფებით შემოვიფარგლებით მივიღებთ აბელის ჯგუფთა კატეგორიას. ეს უკანასკნელი წინას ქვეკატეგორია იქნება.

მაგალითი
თუ ობიექტებად მივიჩნევთ ტოპოლოგიურ სივრცეებს, ხოლო მორფიზმებად უწყვეტ ასახვებს მივიღებთ კატეგორიას, ტოპოლოგიურ სივრცეთა კატეგორიას.

მაგალითი
თუ ავიღებთ რაიმე ველის მიმართ წრფივ სივრცეებს ობიექტებად, ხოლო მორფიზმებად წრფივ ასახვებს გვექნება კატეგორია, აღებული ველის მიმართ წრფივ სივრცეთა კატეგორია. მისი ქვეკატეგორია იქნება თუ შევიზღუდებით სასრული განზომილების წრფივი სივრცეებით.

მაგალითი
ობიქტებად ავიღოთ
დალაგებული სიმრავლეები, ხოლო მორფიზმებად მონოტონური ასახვები. მივიღეთ დალაგებულ სიმრავლეთა კატეგორია.

ფუნქტორი და ბუნებრივი გარდაქმნა

თუ მოცემულია ორი კატეგორია A და B. ვიტყვით რომ მოცემულია ფუნქტორი F კატეგორია A-დან კატეგორია B-ში თუ კატეგორია A-ს ყოველი ობიექტი X-ისათვის განსაზღვრულია ობიექტი FX კატეგორია B-დან, A-ს ყოველი მორფიზმისათვის m: X → Y განსაზღვრულია მორფიზმი B-დან Fm: FX → FY, ისეთი რომ F(m ∘ n) = Fm ∘ Fn. თუ e: X → X იგიური მორფიზმია, მაშინ Fe უნდა იყოს FX-ის იგიური მორფიზმი.

ინგლისურად - functor
ფრანგულად - un foncteur
გერმანულად - ein Funktor
იტალიურად - un funtore
ესპანურად - un funtor
რუსულად - функтор

თუ შეამჩნიეთ მორფიზმებისათვის მარჯვნიდან მიწერას ვაძლევ უპირატესობას, ფუნქტორისათვის კი მარცხნიდან მიწერას. მათემატიკური ფაქტი ამის გამო, რასაკვირველია, არ იცვლება, მაგრამ ეს განსხვავება იძლევა გარჩევის საშუალებას. ვითომ კარგია?

მაგალითი
ყოველი ზემოთ მოტანილი კატეგორიიდან ბუნებრივი ფუნქტორია სიმრავლეთა კატეგორიაში, სიმრავლეზე სტრუქტურის უგულებელყოფა.

მაგალითი
სიმრავლეთა კატეგორიიდან დალაგებულ სიმრავლეთა კატეგორიაში ფუნქტორი იქნება თუ ყოველ სიმრავლეს შევუსაბამებთ მის ქვესიმრავლეთა ჩართვით დალაგებულ სიმრავლეს. ვთქვათ X და Y ობიექტებია სიმრავლეთა კატეგორიაში და f მორფიზმი, ანუ ასახვა X-დან Y-ში, f: X → Y. ასაგები ფუნქტორი აღვნიშნოთ P-თი. X-ის ქვესიმრავლე A-ს ანასახი Pf-ით იქნება Af, ანუ A(Pf) = Af.

მაგალითი
სიმრავლის ველში ასახვათა წრფივი სივრცე არის სიმრავლეთა კატეგორიიდან წრფივ სივრცეთა კატეგორიაში ფუნქტორის მაგალითი, სიმრავლე X-ს შეესაბამება წრფივი სივრცე F(X, V), შემოკლებით FX, სათანადოდ ასახვას წრფივი ასახვა. სასრულ სიმრავლეთა კატეგორია, ბუნებრივია, ამავე ფუნქტორით აისახება სასრული განზომილების წრფივ სივრცეთა ქვეკატეგორიაში.

ფუნქტორი შეიძლება იყოს კონტრავარიანტულიც, ანუ მორფიზმის მიმართულების შემცვლელი: თუ ყოველ მორფიზმს, m: X → Y ფუნქტორი F შეუსაბამებს მორფიზმს Fm: FY → FX. ზემოთ, თავდაპირველად აღწერილ ფუნქტორს, რომელიც მორფიზმის მიმართულებას არ ცვლის, კოვარიანტულ ფუნქტორს უწოდებენ.

მაგალითი
თუ წინა მაგალითში მიმართულებას შევცვლით მივიღებთ კონტრავარიანტულ ფუნქტორ Q-ს, QX = PX, მაგრამ Qf: QY → QX, ხოლო B(Qf) = Bf-, სადაც B უკვე Y-ის ქვესიმრავლეა.

მაგალითი
თუ კატეგორიაში ობიექტს, A-ს, დავაფიქსირებთ მივიღებთ ორ ფუნქტორს სიმრავლეთა კატეგორიაში, ობიექტ X-ს პირველი ფუნქტორი შეუსაბამებს სიმრავლე FX = Mor(A, X)-ს, ხოლო მეორე სიმრავლე GX = Mor(X, A)-ს. პირველს მორფიზმი m: X → Y გადააქვს x ∘ m = x(Fm)-ში, ანუ Fm: FX = Mor(A, X) → Mor(A, Y) = FY. ამიტომ F კოვარიანტულია. მეორე კონტრავარიანტულია, რადგან მორფიზმი y სიმრავლე GY = Mor(Y, A)-დან გადადის მორფიზმ m ∘ y = y(Gm)-ში სიმრავლე GX = Mor(X, A)-დან , ანუ Gm: GY → GX.

განსაზღვრა
თუ კატეგორია A-დან კატეგორია B-ში მოცემულია ორი ფუნქტორი F, G და კატეგორია A-ს ყოველი ობიექტისათვის, X განსაზღვრულია მორფიზმი tX: FX → GX ისეთი რომ ყოველი მორფიზმისათვის, m: X → Y, გვექნება ტოლობა tX ∘ Gm = Fm ∘ tY, ამბობენ: გვაქვს ფუნქტორ F-ის ფუნქტორ G-ში ბუნებრივი გარდაქმნა t.

ინგლისურად - natural transformation
ფრანგულად - une transformation naturelle
გერმანულად - eine natürliche Transformation
იტალიურად - una trasformazione naturale
ესპანურად - una transformación natural
რუსულად - естественное преобразование

შეუღლებული ფუნქტორები

კატეგორიათა თეორიის კიდევ ერთი საბაზო ცნება. ვთქვათ მოცემულია კატეგორიები A, B და ფუნქტორები F: AB, G: BA. ამ ფუნქტორებს უწოდებენ შეუღლებულებს, თუ ობიექტთა ყოველი წყვილისათვის (X, Y), X კატეგორია A-დან და Y კატეგორია B-დან განსაზღვრულია ურთიერთცალსახა ასახვა t(X, Y): Mor(FX, Y) ↔ Mor(X, GY) ისეთი რომ ყოველი ქვემოთ მოტანილი დიაგრამა კომუტატურია
Mor(FX, Y) ↔ Mor(X, GY)
    ↓                       ↓
Mor(FX', Y) ↔ Mor(X', GY)
ამ დიაგრამაში ზედა ჰორიზონტალური ასახვა t(X, Y)-ია, ქვედა ჰოტიზონტალური t(X', Y). მარჯვენა ვერტიკალური X'-დან X-ში ნებისმიერი მორფიზმთან კომპოზიციის შედეგი, ხოლო მარცხენა ვერტიკალური იმავე მორფიზმის ფუნქტორ F-ით ანასახის კომპოზიციით მიღებული. თუ x: X' → X და a: FX → Y, მაშინ
(Fx ∘ a)t(X', Y) = x ∘ at(X, Y)
Mor(FX, Y) ↔ Mor(X, GY)
    ↓                       ↓
Mor(FX, Y') ↔ Mor(X, GY')
ანალოგიურად, Y-დან Y'-ში ნებისმიერი მორფიზმის გათვალისწინებით. თუ y: Y → Y' და a: FX → Y, მაშინ
(a ∘ y)t(X, Y') = at(X, Y) ∘ Gy

ინგლისურად - adjoints functors
ფრანგულად - les foncteurs adjoints
გერმანულად - ein Paar adjungierter Funktoren
იტალიურად - ?
ესპანურად - los funtores adjuntos
რუსულად - сопряжённые функторы

ბუნებრივი გარდაქმნა გულისხმობს Mor(FX, Y)-სა და Mor(X, GY)-ის გაიგივების შეთანხმებას ფუნქტორთა მოქმედებასთან.

მაგალითი
დალაგებული სიმრავლე
წარმოვიდგინოთ როგორც კატეგორია. ობიექტები დალაგებული სიმრავლის ელემენტებია, ხოლო მორფიზმთა სიმრავლე Mor(a, b) = {1} თუ a < b და Mor(a, b) = {0} თუ a-სა და b-ს შორის მიმართება არ არსებობს. Mor(a, a) = {1}. კომპოზიცია წარმოგვიდგება როგორც 0-სა და 1-ს შორის ჩვეულებრივი გამრავლება. ვთქვათ მოცემულია ორი დალაგებული სიმრავლე და მათ შორის მონოტონური ასახვა f. ორივე ეს დალაგებული სიმრავლე გავიაზროთ კატეგორიებად. ავაგოთ f-ის შესაბამისი ფუნქტორი F. ობიექტ a-ს შესაბამისი ობიექტი, ბუნებრივია, იქნება af, ანუ Fa = af. მორფიზმი 0-ის შესაბამი იყოს 0, F0 = 0. თუ 1 ∈ Mor(a, b), რაც ნიშნავს რომ a < b და, ამიტომ, af < bf, ეს კი ნიშნავს 1 ∈ Mor(Fa, Fb) და შესაძლებელია F1 = 1.
რადგან დალაგებულ სიმრავლეებს აღვიქვამთ როგორც კატეგორიებს მაშინ მონოტონური ასახვა იქნება ფუნქტორი, რომელიც 0-ს გადაიტანს 0-ში და 1-ს 1-ში. პირიქითაც ფუნქტორს რომელსაც 0 გადააქვს 0-ში და 1 კი 1-ში შეესაბამება (ანუ არის) მონოტონური ასახვა. გასაგებია, რომ კოვარიანტულ ასახვას შეესაბამება კოვარიანტული ფუნქტორი, ხოლო კონტრავარიანტულ ასახვას კონტრავარიანტული ფუნქტორი.
ადვილი დასანახია რომ კონტრავარიანტულ ფუნქტორთა შეუღლება გალუას თანადობის ექვივალენტია.

უნიტარული გარდაქმნა

ვთქვათ მოცემულია ფუნქტორთა F: AB და G: BA შეუღლება, კატეგორიების A და B ობიექტების წყვილთა შესაბამისი ურთიერთ ცალსახა ასახვა Mor(FX, Y) ↔ Mor(X, GY). განვიხილოთ ფუნქტორთა კომპოზიცია FG და GF. ავიღოთ Y-ად FX. გვექნება

Mor(X, (GF)X) = Mor(X, G(FX)) ↔ Mor(FX, FX)
FX-ის იგიური ასახვის შესაბამისი ანასახი Mor(X, (GF)X)-ში აღვნიშნოთ jX-ით,
t(FX-ის იგიური მორფიზმი) = jX: X → (GF)X = G(FX)
იგიური ფუნქტორის ბუნებრივი გარდაქმნა ფუნქტორში GF, ჩაკეტვის პროცედურის ანალოგი. ამ გარდაქმნას უნიტარულსაც უწოდებენ.

ასევე განიმარტება კოუნიტარული გარდაქმნა, როგორც GY-ის იგიური მორფიზმის შესაბამისი
Mor(GY, GY) → Mor(F(GY), Y) = Mor((FG)Y, Y)
Y-ის შესაბამისი მორფიზმი jY: (FG)Y → Y.

განვიხილოთ მიმდევრობა იგიური მორფიზმებით

FX → FX → FX
პირველ მორფიზმზე ვიმოქმედოთ ზემოთ აღწერილი შესაბამისობით, მეორე მორფიზმზე კი ფუნქტორით G. გვექნება
X → (GF)X = G(FX) → G(FX)
პირველი მორფიზმია jX, მეორე კი, გასაგებია იგიური მორფიზმი, იგიურის შესაბამისი ფუნქტორით G. მიღებული მიმდევრობის პირველ მორფიზმზე ვიმოქმედოთ ფუნქტორით F, მეორეზე კი აღწერილი შესაბამისობით. მივიღებთ
FX → F(GF)X = F(G(FX)) = (FG)(FX) → FX
პირველი მორფიზმია F(jX), მეორე კი j(FX). ამ მორფიზმთა კომპოზიციისა და პირველი მიმდევრობის კომპოზიციის ბუნებრივი გარდაქმნა ერთი და იგივე მორფიზმია, იგიური. ამიტომ კომპოზიცია j(FX) ∘ F(jX) იგიური მორფიზმია.

ასევე მტკიცდება, G(jY) ∘ j(GY): GY → (GF)(GY) = G((FG)Y) → GY იგიური მორფიზმია.