მათემატიკა

კოალგებრა

კატეგორიათა თეორიის შექმნის შემდეგ ადვილი გახდა ორადული ცნებების შემოტანა, თუმცა ზოგიერთი მათგანი ადრეც იყო ცნობილი. ეს პროცესი ისართა შებრუნებით მარტივად ჩამოყალიბდება. აქ მთავარია თვისება და პირობა კომუტატურ დიაგრამათა მეშვეობით ჩამოყალიბდეს. თავის დროზე მეც დავწერე საკურსო სამუშაო ამგვარი მეთოდით, შემოვიღე კოჯგუფის განმარტება. ასე რომ კოალგებრის ცნების ჩამოყალიბებამდე განვმარტოთ ალგებრა კომუტატური დიაგრამების მეშვეობით.

ინგლისურად - coalgebra
ფრანგულად - une coalgèbre
გერმანულად - die Koalgebra
იტალიურად - ?
ესპანურად - ?
რუსულად - коалгебра

გამრავლება წრფივ სივრცე E-ში ველი V-ს მიმართ ორად წრფივი ასახვაა, m: E × E → E, ანუ რაც იგივეა წრფივი ასახვა m: E⊗E → E. გამრავლებაზე პირობები სათანადო დიაგრამების კომუტატურობის მოთხოვნის ტოლფასია.
გამრავლების ასოციურობა - დიაგრამის
E⊗E⊗E → E⊗E
  ↓               ↓
E⊗E    →    E
კომუტატურობაა.
აქ ზედა ჰორიზონტალური ასახვა არის ასახვის m: E⊗E → E იდენტური, ხოლო მარცხენა ვერტიკალური იდენტურია იგიური⊗m-ის. მარჯვენა ვერტიკალური და ქვედა ჰორიზონტალური კი ორივე m-ის.
დისტრიბუციულობა თვით ასახვათა წრფივობის მოთხოვნაშია.
ხოლო ერთეული e-ს არსებობა - დიაგრამის
E = E⊗V → E⊗E
    ↘   ↙
    E
კომუტატურობაა. ზედა ჰორიზონტალური ასახვა იგიური ასახვისა და ასახვის v → ev ტენზორული ნამრავლია, x⊗v → x⊗ev. მარჯვენა ვერტიკალური m-ია, x⊗y → (x, y)m, ხოლო მარცხენა სივრცეზე ველის მოქმედებით გამოწვეული წრფივი ასახვა, x⊗v → xv.

რადგან ამ დიაგრმათა კომუტტურობით განისაზღვრება წრფივ სივრცეთა კატეგორიაში ალგებრის ცნება, ამავე კატეგორიაში ისრების შებრუნებით განისაზღვრება კოალგებრის ცნება.

განსაზღვრა
წრფივ სივრცე E-სა და წრფივ ასახვებს m: E → E⊗E, e: E → V უწოდებენ კოალგებრას თუ დიაგრამები

E    →    E⊗E                     E        
↓                ↓                    ↙       ↘  
E⊗E → E⊗E⊗E           E⊗E → V⊗E
კომუტატურია

პირველი დიაგრამის ზედა და მარცხენა ასახვა m-ია, ქვედა m⊗იგიური, ხოლო მარჯვენა იგიური⊗m. მეორე დიაგრამის მარცხენა ასახვა m-ია, ქვედა ჰორიზონტალური e⊗იგიური, მარჯვენა კი ველის მოქმედების შეუღლებული ასახვაა.

მიღებული განსაზღვრა გადავწეროთ ტოლობების სახით:
xm ⊗ x = x ⊗ xm
სადაც v ველის ელემენტ v-თი გამოწვეული ჰომოთეტიაა. [x, y] → [xm, y] → [xm, ym] უდრის ასახვას

მაგალითწი
სიმრავლე X-ით აგებულ წრფივ სივრცე
FX-ზე კოალგებრა მოიცემა ასახვით
m: FX → FX⊗FX = F(X×X)
სიმრავლის X-ის X × X-ის დიაგონალთან გაიგივებით (x → [x, x]) გამოწვეული წრფივი ასახვა
xm = [x, x] ∈ F(X×X), xm = xx ∈ FX⊗FX
გამწვანება ნიშნავს ასახვად წარმოდგენას. ასახვა e კი არის xe = 1, ყველა x-სათვის. შედეგად გვექნება ასახვა e: FX → V, თუ a ∈ F(X), მაშინ ae = ∑ xa.

მაგალითი
ველის V მიმართ მრავალწევრთა სიმრავლე V[x] გადაიქცევა კოალგებრად თუ (xk)m = ∑ xn⊗xk-n(n, k)c, სადაც (n, k)c ნიუტონის ბინომის კოეფიციენტებია. კერძოდ 1m = 1⊗1 = 1, xm = 1⊗x + x⊗1, x2m = 1⊗x2 + (x⊗x)2 + x2⊗1, x3m = 1⊗x3 + (x⊗x2)3 + (x2⊗x)3 + x3⊗1, . . . რაც შეეხება ერთეულოვან ასახვას e: V[x] → V მას ყოველი მრავალწევრი გადააქვს საკუთარ თავისუფალ წევრში, a0 + a1x + a2x2 + . . . → a0.