მათემატიკა

წრფივი სივრცის აგება

ვთქვათ X სიმრავლეა და V ველი. ასახვათა სიმრავლე X-დან V-ში, Map(X, V) წრფივი სივრცის წარმოდგენის ერთ ერთი მაგალითია. მაგრამ მისი ქვესივრცე F(X, V) უფრო სასარგებლო სივრცეა, ან მოკლედ FX თუ გაურკვევლობას არ იწვევს. ეს სივრცე შესდგება იმ ასახვებისაგან რომელთა მნიშვნელობა თითქმის ყველგან ნულია, ანუ არგუმენტთა სიმრავლე რომელზეც ასახვა a განსხვავდება ნულისაგან სასრულია. აღვნიშნოთ ეს სასრული სიმრავლე sup a-თი და მოვიხსენიოთ როგორც ასახვა a-ს საყრდენი
sup a = {x | x ∈ X და xa ≠ 0}
სხვაგვარად
x ∈ sup a ⇔ xa ≠ 0

sup-ის სასრულობის გამო წრფივ სივრცე F(X, V)-ში ბუნებრივად განისაზღვრება სკალარული ნამრავლიც
<a, b> = ∑ (xa) • (xb)

თვით სიმრავლე X-ის ელემენტი შეგვიძლია ვიგულისხმოთ F(X, V)-ის ვექტორად, x გაწითლებული გამოვიყენოთ ასახვისათვის რომელიც სივრცე X-ის ელემენტ x-ს შეუსაბამებს 1, ხოლო დანარჩენს 0-ს, აქედან sup x = {x}. x როგორც სიმრავლე X-ის ელემენტი იქნება ჩვეულებრივ შავად, ხოლო როგორც ასახვა, ანუ როგორც F(X, V)-ის ვექტორი იქნება გაწითლებული, x.

წრფივი სივრცე FX-ის წრფივ სივრცე S-ში წრფივ ასახვათა სიმრავლე Lin(FX, S) არის M(X, S)-ის ექვივალენტური. ადვილი წარმოსადგენია ჩადგმა Lin(FX, S) → M(X, S), წრფივ ასახვას FX → S შეესაბამება ასახვათა კომპოზიცია X → XFX → S. ხოლო მისი შებრუნებული ასახვას u ∈ Map(X, S), u: X → S შეუსაბამებს წრფივ ასახვას, გალურჯებულ u-ს
თუ u ∈ Map(X, S) და fFX, მაშინ fu = ∑ (xu)(xf)
ამ ჯამში სიმრავლე X-ის ყველა ელემენტი მონაწილეობს. ჯამს აზრი აქვს რადგან Supf-ში ელემენტთა მხოლოდ სასრული რაოდენობაა.

ვთქვათ S წრფივი სივრცეა. განვიხილოთ სიმრავლედ ეს წრფივი სივრცე და მისგან შექმნილი ახალი წრფივი სივრცე FS. თავის თავში S-ის იგიური ასახვა იწვევს წრფივ ასახვას FS-დან S-ში. გვაქვს კომპოზიცია იზომორფიზმი და ჩადგმა S → SFS და გვაქვს იგიური ასახვით გამოწვეული ჰომომორფიზმი FS → S. აქ სიფრთხილე გვმართებს. პირველი ასახვა ფაქტიურად იგიური ასახვაა, იზომორფიზმი, S-ის ჩადგმა FS-ში არ არის წრფივი, ანუ S-ის ვექტორის განხილვა როგორც სივრცე S-ის ასახვა ველში არ არის წრფივი, ბოლო ასახვა წრფივი ასახვაა, მთლიანად კომპოზიცია, S → SFS → S იგიურია, მაგრამ არა წრფივი, ერთი და იმავე სიმრავლეზე ოპერაციები განსხვავებულია. ვექტორთა ჯამის x + y შესაბამის ასახვას x + y ვექტორთა ჯამი x + y გადააქვს 1-ში, ხოლო თვით ვექტორები x და y ნულში. ასახვების x და y ჯამს x + y კი ვექტორები x და y გადააქვს 1, ხოლო ვექტორთა ჯამი, x + y გადააქვს 1 + 1-ში.

განვიხილოთ S-ის იგიური ასახვით გამოწვეული წრფივი ასახვის ბირთვი, D და ზუსტი მიმდევრობა
0 → D → FS → S → 0
ქვესივრცე D წარმოგვიდგება როგორც S-ის ვექტორთა ის წრფივი კომბინაციები რომელიც ჯამში ნულს იძლევა, ანუ წრფივ დამოკიდებულებათა სრული სისტემა. ეპიმორფიზმი (FS → S)-ის შებრუნებული წრფივი ჩადგმა არ არის ზემოთ აღწერილი ბუნებრივი ჩადგმა.

დეტალი: თუ ველის ელემენტი v განსხვავდება ნულისაგან, FS-ის ვექტორი 0v, ნული არ არის. მაგრამ 0v წრფივი ასახვა (FS → S)-ით გადადის ნულში, ანუ 0v ეკუთვნის D-ს.

წარმომქმნელი და ბაზისი
თუ A არის წრფივი სივრცე S-ის ქვესიმრავლე, FA იქნება FS-ის ქვესივრცე და წრფივად აისახება S-ში. თუ ეს ასახვა ეპიმორფიზმია, A იქნება S-ის წარმომქნელი სიმრავლე. თუ ეს ასახვა იზომორფიზმია A-ს S-ის ბაზისს უწოდებენ.

თუ B ⊂ S ბაზისია, ანუ FB-ს S-ში ასახვა იზომორფიზმია, ხოლო D ასახვის FS → S ბირთვი მაშინ ნულის გარდა FB-ს ვექტორი D-ში ვერ მოხვდება, ანუ ქვესივრცე FB იქნება D-ს დამატება FS-ში, ანუ მივიღებთ FS = FB + D.

ვთქვათ C ⊂ S, ამიტომ FC ⊂ FS. თუ D ∩ FC = 0, რაც ნიშნავს რომ FC-ზე წრფივი ასახვა FS → S მონომორფიზმია, მაშინ C წრფივად დამოუკიდებელია. ბაზისი წრფივად დამოუკიდებელი მაქსიმალური სიმრავლეა.

ვთქვათ მოცემულია მონომორფიზმი m: S → FS პირობით: კომპოზიცია ასახვასთან FS → S იგიურია და D ∩ Sm = 0, ანუ Sm ქვესივრცე D-ს დამატებაა. ადვილი დასანახია, რომ თუ სიმრავლე C-ს შესაბამისი ასახვათა ქვესიმრავლე C შედის Sm-ში მაშინ ვექტორთა სიმრავლე C წრფივად დამოუკიდებელია. ყოველი მონომორფიზმი m: S → FS ზემოთ მოტანილი პირობით განსაზღვრავს ვექტორთა წრფივად დამოუკიდებელ სიმრავლე C-ს, C = S ∩ Sm. შესაძლოა ცარიელ სიმრავლეს.

სივრცეთა ჯამი და ნამრავლი
ვთქვათ მოცემულია სიმრავლე I და მისი ყოველი ელემენტი i-სათვის წრფივი სივრცე Si.

განსაზღვრა
წრფივ სივრცე S არის სივრცე Si-თა ჯამი, S = ∑ Si, თუ არსებობს წრფივი ასახვები fi: Si → S ისეთი რომ წრფივ ასახვათა gi: Si → T ყოველი სისტემისათვის გვექნება ერთადერთი წრფივი ასახვა g: S → T პირობით: gi = g ∘ fi

თუ ამ განსაზღვრაში შევაბრუნებთ ისრებს გვექნება ორადული ტერმინის, ნამრავლის

განსაზღვრა
წრფივ სივრცე S არის სივრცე Si-თა ნამრავლი, S = ∏ Si, თუ არსებობს წრფივი ასახვები fi: S → Si ისეთი რომ წრფივ ასახვათა gi: T → Si ყოველი სისტემისათვის გვექნება ერთადერთი წრფივი ასახვა g: T → S პირობით: gi = fi ∘ g

ვთქვათ S = ∑ Si, სიმრავლე I-ის ელემენტ k-სათვის ასახვათა სისტემად ავიღოთ ასახვები Sk → Si, k-სათვის იგიური, დანარჩენთათვის ნულოვანი. მისი შესაბამისი ასახვა ∑ Si → Sk იქნება ეპრიმორფიზმი, რომელიც ასახვასთან Sk → S კომპოზიციაში იგიურს იძლევა.

იმავენაირად ნამრავლისათვის სისტემად ავიღოთ Sk → Si, k-სათვის იგიური, დანარჩენთათვის ნულოვანი, მისი შესაბამისი ასახვა Sk → ∏ Si იქნება მონომორფიზმი, რომელიც ასახვასთან ∏ Si → Sk კომპოზიციაში იგიურს იძლევა.

თუ ასახვთა სისტემად ავიღებთ აგებულ ასახვებს ∑ Si → Sk, მივიღებთ ჰომომორფიზმს ჯამიდან ნამრავლში ∑ Si → ∏ Si. ასევე აიგება ასახვათა სისტემის Sk → ∏ Si შესაბამისი მეორე ჰომომორფიზმი. ეს ჰომომორფიზმები ტოლია და მივიღეთ კომუტატურ დიაგრამათა სისტემა
Si   =   Si
↓         ↑
∑Si → ∏Si

თუ დავუკვირდებით დავინახავთ, რომ FX = ∑Sx, ხოლო MX = ∏Sx, სადაც ყოველი Sx ველი V-ა.

ვთქვათ მოცემულია სიმრავლე I და ყოველი მისი ელემენტი i-სათვის სიმრავლე Xi. ბუნებრივია გვაქვს მონომორფიზმები F(Xi) → F(∪ Xi). სათანადო განსაზღვრებიდან გამომდინარე ეს მონომორფიზმები იწვევს ასახვებს F(∪ Xi) → F(Xi) და
∑ F(Xi) → F(∪ Xi). ადვილი შესამოწმებელია (ერთადერთობის გამო) რომ ეს ასახვები ურთიერთ შებრუნებადია. მივიღეთ

თეორემა
F(∪ Xi) = ∑ F(Xi)