ალგებრის დაშლა

განხილულია სასრული განზომილების ალგებრის ლოკალურ ალგებრათა ნამრავლად წარმოდგენის საკითხი. აქ მოტანილი ძირითადი თეორემა არის ჟორდანის ცნობილი თეორემის ბუნებრივი განზოგადოება, ამიტომ მას ჟორდანის თეორემად მოვიხსენიებთ.

იდემპოტენტური ელემენტი
ალგებრა არ შესდგება ერთგვაროვანი ელემენტებისაგან, ამიტომ გამოვყოფთ მსგავსებს. ვიწყებთ ერთეულის მსგავს ელემენტებით.

განსაზღვრება
ალგებრის ელემენტს უწოდებენ იდემპოტურ ელემენტს თუ მისი ნამრავლი თავის თავზე მისივე ტოლია

ინგლისურად - idempotent element, idempotent
ფრანგულად - ?
გერმანულად - ?
იტალიურად - ?
ესპანურად - ?
რუსულად - ?

გასაგებია, რომ იდეალის ერთეული იდემპოტენტური ელემენტია. ასევე ნათელია, რომ ნულიც იდემპოტენტური ელემენტია. ველში სხვა იდემპოტენტური ელემენტი არ არსებობს. მართლაც, თუ e ≠ 0 და e • e = e, გვექნება
e = 1 • e = e- • e • e = e- • e = 1

ყველა იდემპოტენტი 1-ის გარდა ნულის გამყოფია. მართლაც e • (1 - e) = e - e • e = e - e = 0.

თეორემა
თუ e და e' იდემპოტენტური ელემენტებია, მაშინ 1 - e, e • e' და e + e' - e • e' სამივე იდემპოტენტია

მტკიცება
(1 - e) • (1 - e) = 1 - 2 • e • e + e • e = 1 - 2 • e + e = 1 - e
(e • e') • (e • e') = (e • e) • (e' • e') = e • e'
(e + e' - e • e') • (e + e' - e • e') = e • e + e • e' - e • e • e' + e' • e + e' • e' - e' • e • e' - e • e' • e - e • e' • e + e • e' • e • e'
= e + e • e' - e • e' + e • e' + e' - e • e' - e • e' - e • e' + e • e' = e + e' - e • e'

თეორემა
იდემპოტენტურ ელემენტთა სიმრავლე ბულის ალგებრაა

მტკიცება
დალაგება განისაზღვრება ტოლობით
e > e' ⇔ e • e' = e'
დალაგების პირობები სრულდება. თუ e • e' = e' და e • e' = e, მაშინ e = e'. თუ e > e' და e' > e'', მაშინ
e • e'' = e • (e' • e'') = (e • e') • e'' = e' • e'' = e''
ოპერაციები შემდეგნაირად განისაზღვრება
e ⋀ e' = e • e'
e ⋁ e' = e + e' - e • e'
e-ს უარყოფაა 1 - e
შევამოწმოთ ბულის ალგებრის აქსიომები
0 • e = 0 და e • 1 = e ⇒ 0 < e < 1
e • (e ⋀ e') = e • e • e' = e • e' = e ⋀ e' ⇒ e ⋀ e' < e
e • (e ⋁ e') = e • e + e • e' - e • e • e' = e + e • e' - e • e' = e ⇒ e < e ⋁ e'
e'' < e და e'' < e' ⇒ e'' • (e ⋀ e') = e'' • (e • e') = e'' ⇒ e'' < e ⋀ e'
e'' > e და e'' > e' ⇒ e'' • (e ⋁ e') = e'' • (e + e' - e • e') = e + e' - e • e' ⇒ e'' > (e ⋁ e')
e ⋀ (1 - e) = e • (1 - e) = e - e = 0
e ⋁ (1 - e) = e + 1 - e - e • (1 - e) = 1
ადგილი აქვს დისტრიბუციულ კანონსაც, ანუ
(e ⋁ e') ⋀ e'' = (e ⋀ e'') ⋁ (e' ⋀ e'')
მართლაც
(e ⋁ e') ⋀ e'' = (e + e' - e • e') • e'' = e • e'' + e' • e'' - e • e' • e''
(e ⋀ e'') ⋁ (e' ⋀ e'') = e ⋀ e'' + e' ⋀ e'' - (e ⋀ e'') • (e' ⋀ e'') =
= e • e'' + e' • e'' - e • e'' • e' • e'' = e • e'' + e' • e'' - e • e' • e''

თეორემა
თუ e > e', მაშინ e - e' იდემპოტენტია და e > e - e'

მტკიცება
რადგან e > e', ამიტომ e • e' = e'. აქედან
(e - e') • (e - e') = e • e - e • e' - e' • e + e' • e' = e - e' - e' + e' = e - e'
e • (e - e') = e • e - e • e' = e - e'

თეორემა
თუ e > e', მაშინ e' • (e - e') = 0

მტკიცება
e' • (e - e') = e' • e - e' • e' = e' - e' = 0

იდემპოტეტის მთავარი იდეალი
ყოველი იდემპოტენტური ელემენტი განსაზღვრავს თავის არეალს, სიმრავლეს იმ ელემენტებისა, რომელთათვისაც ის ერთეულია, ანუ მასზე გამრავლებით არ იცვლება. ამგვარ ელემენტთა სიმრავლე იდენპოტენტ e-სათვის იქნება A • e, მთავარი იდეალი. მართლაც

(x • e) • e = x • e • e = x • e
მით უმეტეს ნათელია, რომ თუ x = x • e, მაშინ x ∈ A • e.

თუ A • e = A • e', მაშინ e = e'. მართლაც, e • e' უდრის როგორც e'-ს ისე e-ს.

თეორემა
თუ e იდემპოტენტია, მაშინ A • e ალგებრაა

მტკიცება
ნათელია, რომ A • e ქვესივრცეა და გამრავლების მიმართ ჩაკეტილი. მასში ერთიანი იქნება თვით e. ქვესივრცე A • e ალგებრაცაა და იდეალიც. იმისდა მიუხედავად, რომ A • e ალგებრაა, ის არ არის ქვეალგებრა, რადგან მისი ერთეული და მთელი ალგებრის ერთეული ერთმანეთისაგან განსხვავდება.

თეორემა
თუ е და e' იდემპოტენტებია და e > e', მაშინ A • e ⊃ A • e'

მტკიცება
თუ x • e' = x, მაშინ x • e = x • e' • e = x • e' = x

თეორემა
თუ е და e' იდემპოტენტებია, მაშინ
(A • e) ∩ (A • e') = A • (e ⋀ e')
(A • e) + (A • e') = A • (e ⋁ e')

მტკიცება
რადგან e ⋀ e' < e, e ⋀ e' < e' და e < e ⋁ e', e' < e ⋁ e', წინა თეორემიდან ნათელია
(A • e) ∩ (A • e') ⊃ A • (e ⋀ e')
(A • e) + (A • e') ⊂ A • (e ⋁ e')
პირიქით
თუ x = x • e და x • e', მაშინ
x • (e • e') = (x • e) • e' = x • e' = x
თუ x = x • (e ⋁ e'), მაშინ
x = x • (e + e' - e • e') = x • e + x • (e' - e • e') = x • e + x • [(e' - e • e') • e'] = x • e + [x • (e' - e • e')] • e'

ვთქვათ იდემპოტენტთა, е და e', ნამრავლი უდრის ნულს, е • e' = 0. ამ შემთხვევაში, რადგან е ⋁ e' = е + e', წინა თეორემის ბოლო ტოლობა პირდაპირ ჯამად გადაიქცევა. ეს ფაქტი სხვაგვარადაც შეგვიძლია დავინახოთ. ამ იდემპოტენტთა მთავარ იდეალებს მხოლოდ ერთი საერთო ელემენტი აქვთ, ნული. მართლაც, თუ x = x • e შედის A • e'-ც, მაშინ
x = x • e = x • e' • e = x • 0 = 0
დამტკიცდა

თეორემა
თუ е • e' = 0, მაშინ A • e ∩ A • e' = 0

თუ e და e' იდემპოტენტებია და e > e', მაშინ A • e ⊃ A • e'. არსებობს ეპიმორფიზმიც A • e → A • e', x → x • e'. ეს ეპიმორფიზმი ნაწილია მთელი ალგებრის ეპიმორფიზმისა A • e'-ზე.

თეორემა
თუ e > e', მაშინ მიმდევრობა
0 → A • (e - e') → A • e → A • e' → 0
ზუსტია

მტკიცება
x • (e - e') → x • (e - e') • e' = x • e • e' - x • e' • e' = x • e' - x • e' = 0
თუ x • e → 0, ანუ x • e' = x • e • e' = 0, მაშინ
x • (e - e') = x • e - x • e' = x • e

თეორემა
თუ e > e', მაშინ ეპიმორფიზმი A • e → A • e' პროექციაა

მტკიცება
თუ x ∈ A • e', ანუ x • e' = x, მაშინ x → x • e' = x.

თუ e და e' განსხვავებული იდემპოტენტებია და e > e' მაშინ e' • (e - e') = 0. აქედან კი A • e' ∩ A • (e - e') = 0. ეს და წინა თეორემა იძლევა

თეორემა
თუ e > e', მაშინ A • e არის A • e'-სა და A • (e - e')-ის პირდაპირი ჯამი

კერძოდ გვექნება ზუსტი მიმდევრობა
0 → A • (1 - e) → A → A • e → 0
და ალგებრის დაშლა პირდაპირ ჯამად A = A • e + A • (1 - e)

გაითვალისწინეთ, რომ არც ერთი მათგანი ქვეალგებრა არ არის, მხოლოდ იდეალებია. მაგრამ ორივე მათგანი ფაქტორ ალგებრაა.

მინიმალური იდემპოტენტი
რადგან ვგულისხმობთ, რომ ალგებრა სასრული განზომილებისაა მისი იდეალების ყოველი ჯაჭვი სასრულია. აქედან ვასკვნით, რომ არსებობს მინიმალური იდემპოტენტები.

თეორემა
მინიმალურ იდემპოტენტთა სიმრავლე სასრულია

მტკიცება
მინიმალურ იდემპოტენტთა სიმრავლე აღვნიშნოთ M-ით. განვიხილოთ ჩადგმით M ⊂ A გამოწვეული წრფივი ასახვა FM → A. ეს ასახვა მონომორფიზმია. მართლაც, თუ u ∈ FM გადავიდა ნულში. ეს ნიშნავს, რომ ∑ ue • e = 0. რადგან განსხვავებულ მინიმალურ იდენპოტენტთა ნამრავლი ნულია, ამ ჯამის ნამრავლი ნებისმიერ მინიმალურ იდემპოტენტზე ტოვებს მხოლოდ ერთ შესაკრებს, ანუ ue • e = 0. ეს კი ნიშნავს, რომ ue = 0, ანუ u = 0. რადგან A სასრული განზომილებისაა მისი წრფივი ქვესივრცეც სასრული განზომილებისაა, ანუ M სასრული სიმრავლეა.

ყოველი იდემპოტენტი e განსაზღვრავს მასზე ნაკლებ ყველა მინიმალურ იდემპოტენტთა ქვესიმრავლეს Me ⊂ M. განვიხილოთ ⋁ m, სადაც m ∈ Me. გასაგებია, რომ e > ⋁ m. მაგრამ e > e - ⋁ m. აქედან ვასკვნით, რომ არ არსებობს (e - ⋁ m)-ზე ნაკლები მინიმალური, ანუ e - ⋁ m = 0. რაც ნიშნავს, რომ e = ⋁ m. დამტკიცდა

თეორემა
იდემპოტენტთა ბულის ალგებრა მინიმალურ იდემპოტენტთა სიმრავლის ქვესიმრავლეთა ბულის ალგებრის იზომორფულია

წინა პარაგრაფში დამტკიცებულ თეორემათა მარტივი შედეგია

თეორემა
სასრული განზომილების ალგებრა მინიმალურ იდემპოტენტთა მთავარ იდეალთა პირდაპირი ჯამია

იდეალის იდემპოტენტი
მხოლოდ ალგებრის ერთეული არის ისეთი იდემპოტენტი, რომელიც ყველა ელემენტისათვის არის ერთეული (ტავტოლოგია). თუ e იდემპოტენტია A • e არის იმ ელემენტთა სიმრავლე, რომელთათვისაც e ერთეულის როლს ასრულებს. მართლაც, თუ x = x • e, მაშინ x ∈ A • e. თუ x ∈ A • e, მაშინ
x • e = (a • e) • e = a • (e • e) = a • e = x

ავიღოთ ალგებრის იდეალი X და განვიხილოთ იდემპოტენთა სიმრავლე, რომელიც გამრავლებით X-ის ელემენტებს არ ცვლის, x • e = x. გასაგებია, რომ ალგებრის ერთეული შედის ამ სიმრავლეში. თუ იდემპოტენტი e შედის ამ სიმრავლეში და e' > e, მაშინ
x • e' = x • e • e' = x • e = x
ანუ e'-ც შედის ამ სიმრავლეში. ასევე თუ იდემპოტენტები e და e' შედის, მაშინ e ⋀ e'-ც შედის
x • (e ⋀ e') = x • (e • e') = (x • e) • e' = x • e' = x
გამოვიდა, რომ ალგებრის ყოველი იდეალისათვის არსებობს უმცირესი იდემპოტენტი, რომელზეც იდეალის ელემენტის გამრავლება ამ ელემენტს არ ცვლის. აღვნიშნოთ ის eX-ით. გასაგებია, რომ
X ⊂ A • eX

მეორეს მხრივ, იდაელი X-სათვის განვიხილოთ ყველა მასში შემავალი იდემპოტენტი. თუ e ∈ X და e' ∈ X, მაშინ
e ⋁ e = e + e' - e • e' ∈ X
ასე რომ ამ იდემპოტენტთა შორის არსებობს უდიდესი. აღვნიშნოთ ეს იდემპოტენტი mX-ით. გვექნება
A • mX ⊂ X ⊂ A • eX
თუ იდეალი მთავარი იდეალია, A • a, ვიხმაროთ აღნიშვნებიც ma = m(A • a) და ea = e(A • a).

თუ X თვითონ არ არის იდემპოტენტის მთავარი იდეალი, ამ იდეალის უმცირესი და უდიდესი იდემპოტენტი ერთმანეთისაგან განსხვავდება.

ვთქვათ a სასრული განზომილების ალგებრა A-ს ელემენტია. თუ ის შებრუნებადია, მაშინ A • a = A, თუ არა და განვიხილოთ იდეალთა ჯაჭვი
A = A • a0 ⊃ A • a ⊃ A • a2 ⊃ . . . ⊃ A • ak ⊃ . . .
თუ ალგებრა სასრული განზომილებისაა, ეს ჯაჭვი უსასრულო ვერ იქნება, ანუ რაღაც ადგილიდან გვექნება ტოლობები. ვთქვათ ეს ადგილი იწყება k-დან. ანუ
. . . ⊃ A • ak-1 ⊃ A • ak = A • ak+1 = . . .
ეს ნიშნავს რომ არსებობს x ∈ A ისეთი, რომ аk = x • ak+1 = x • ak • a. თუ ამ ტოლობას n-ჯერ გამოვიყენებთ გვექნება
аk = x • ak • a = x • x • ak • a • a = . . . = xn • ak • an
კერძოდ
аk = x • ak+1 = x • ak • a = x • x • ak • a • a = . . . = xk • ak • ak
მიღებული გავამრავლოთ xk-ზე. მივიღებთ იდემპოტენტს
xk • ak = xk • ak • xk • ak

გასაგებია, რომ xk • ak ∈ A • a და, მაშასადამე, xk • ak < ma. თვით ma ეკუთვნის A • a-ს და ამიტომ ma = z • a. იმისათვის რომ დავამტკიცოთ ტოლობა xk • ak = ma, საჭიროა ვაჩვენოთ, რომ
xk • ak • a • z = a • z
რადგან a • z იდემპოტენტია, გვაქვს z • a = a • z • a • z. მეორე საჭირო ტოლობაა ak = x • ak • a.
xk • ak • (a • z) = xk-1 • (x • ak • a) • z • a • z = xk-1 • ak • (a • z) • z =
xk-2 • (x • ak • a) • z • a • z • z = xk-2 • ak • (a • z) • z2 =
. . . = xk-n • ak • (a • z) • zn =
= xk-(n+1) • (x • ak • a) • a • z • zn+1 = . . .
. . . = xk-k • ak • a • z • zk = a • z

რადგან საქმე გვაქვს სასრული განზომილების ალგებრასთან, მის იდეალში შემავალ იდემპოტენტთა რაოდენობა სასრულია და იდეალში შემავალი მაქსიმალური იდემპოტენტი იქნება მათი გაერთიანება.

რადიკალი
ალგებრის ელემენტი იყოს რომელიღაც ელემენტის დასახელებული ხარისხი გამორჩეული თვისებაა, ყოველ ელემენტს არა აქვს ეს თვისება.

განსაზღვრება
იდეალ X-ის რადიკალი ეწოდება სიმრავლეს {x | ∃k ∈ N xk ∈ X}

ეს სიმრავლე აღვნიშნოთ RX-ით. გასაგებია RX ⊃ X.

ინგლისურად - radical
ფრანგულად - le radical
გერმანულად - das Radikal
იტალიურად - il radicale
ესპანურად - el radical
რუსულად - радикал

თეორემა
იდეალის რადიკალი იდეალია

მტკიცება
ვთქვათ X იდეალია და xk ∈ X, მაშინ (a • x)k = ak • xk ∈ X, ანუ a • x ∈ RX.
თუ xm ∈ X და yn ∈ X, მაშინ
(x + y)m + n = ∑ ci • xi • ym + n - i
ჯამის ყოველ შესაკრებში ან i > m ან m + n - i > n. აქედან, ან ერთი თანამამრავლი ან მეორე შედის იდეალ X-ში და, მაშასადამე, მთელი ჯამიც ეკუთვნის იდეალ X-ს. საბოლოოდ x + y ∈ RX.

RX-ის ყოველი იდემპოტენტი X-შია. მართლაც, თუ e იდემპოტენტია და e ∈ RX, მაშინ e = (e)n ∈ X. ეს კი ნიშნავს, რომ mRX = mX, იდეალის რადიკალში შემავალი მაქსიმალური იდემპოტენტი და თვით იდეალში შემავალი მაქსიმალური იდემპოტენტი ერთი და იგივეა.

მაქსიმალური იდემპოტენტი ვუწოდოთ იდემპოტენტს, რომელზეც მეტი მხოლოდ ალგებრის ერთეულია. თუ X მაქსიმალური იდეალია mX მაქსიმალური იდემპოტენტია და X ⊃ R(mX), იდემპოტენტის რადიკალად მოვიხსენიოთ იდემპოტენტის მთავარი იდეალის რადიკალი, Re = R(A • e).

აღვნიშნოთ ეს იდემპოტენტი еа-თი. გვექნება ak = ak • еа. ეს კი ნიშნავს, რომ a ∈ R(еа). ამ უკანასკნელში ყველაზე მაღალი იდემპოტენტი თვითონ еа-ა. აქედან დასკვნა: ყოველი ელემენტი არის იდემპოტენტის რადიკალში. კერძოდ

თეორემა
ყოველი მაქსიმალური იდეალი მაქსიმალური იდემპოტენტის რადიკალია.

ნილპოტენტური ელემენტი
ველისაგან განსხვავებით ალგებრაში არის ნულის გამყოფები, მათ შორის ისეთებიც რომელთა ხერისხიც ნულია.

განსაზღვრება
ალგებრის ელემენტს უწოდებენ ნილპოტენტურს თუ მისი რომელიმე ხარისხი უდრის ნულს

ინგლისურად - nilpotent
ფრანგულად - un élément nilpotent
გერმანულად - ein nilpotent
იტალიურად - un elemento nilpotente
ესპანურად - el elemento nilpotente
რუსულად - Нильпотентный элемент ან нильпотент

თუ ელემენტი შებრუნებადია ის ვერ იქნება ნილპოტენტური. ველში ნილპოტენტური მხოლოდ ნულია. შებრუნებადი ელემენტისათვის ia = 1, ნილპოტენტურისათვის ia = 0. თუ ელემენტი არ არის ნილპოტენტური, მაგრამ ნულის გამყოფია, მაშინ 0 < ia < 1.

თეორემა
სასრული განზომილების ალგებრაში ნილპოტენტურ ელემენტთა ხარისხის მაჩვენებელი, რომლითაც ის ნულდება არ აღემატება ალგებრის განზომილებას

მტკიცება
ვთქვათ a ნილპოტენტური ელემენტი განვიხილოთ მთავარ იდეალთა ჯაჭვი
A ⊃ A • a ⊃ A • a2 ⊃ . . . ⊃ A • an-1 ⊃ A • an = 0
ქვესივრცეთა ამ ჯაჭვის სიგრძე ალგებრის განზომილებას არ აღემატება.