მათემატიკა

წარმოებული ასახვა

ასახვის დიფერენციალი წერტილში არის წრფივი ასახვა, რომელიც საუკეთესოდ წარმოადგენს მოცემულ ასახვას წერტილის მცირე მიდამოში. არეალი რომელშიც განვმარტავთ ამ ცნებას აფინური სივრცეა.

გავიხსენოთ მცირე ასახვა და ასევე ფაქტი, რომ მცირე ასახვათა ქვესივრცით ექვივალენტობის მიმართ ყოველ შრეში არის არა უმეტეს ერთი წრფივი ასახვა.

განსაზღვრა
ასახვა f-ით გამოწვეულ ასახვა f'-ს A-დან Lin(E,F)-ში უწოდებენ f-ის წარმოებულს თუ ყოველი წერილისათვის x მისი ანასახი xf' არის ასახვა f-ის დიფერენციალი წერტილ x-ში.

é ინგლისურად - derivative
ფრანგულად - la dérivée
éé გერმანულად -
é იტალიურად - la derivata
ესპანურად -
რუსულად - произво́дное

ასახვის f: X → F წერტილ x-ში საუკეთესო მიახლოება იქნება ასახვა: x + u → xf + u(xf'). ეს უკვე x-ის მცირე მიდამოდან ასახვაა და u-ს მიმართ წრფივი.

წარმოებულის გამოყენების ერთ-ერთი მაგალითია ფერმას თეორემა. Pierre de Fermat (1601? - 1665). განვიხილოთ f: U → R ასახვა. ასეთ ასახვებს, ჩვეულებრივ, ფუნქციას უწოდებენ.

განსაზღვრა
ფუნქციას f: U → R აქვს x წერტილში ლოკალური მინიმუმი თუ არსებობს x წერტილის ისეთი მიდამო, რომ f(x+u) ≥ f(x) ყოველი x+u წერტილისათვის ამ მიდამოდან.

ფერმას თეორემა
თუ x არის f ფუნქციის ლოკალური მინიმუმის წერტილი და f-ს აქვს წარმოებული ამ წერტილში, მაშინ წარმოებული xf' უდრის ნულს.

კერძო წარმოებული, დიფერენციალი მიმართულებით

ვთქვათ მოცემულია აფინური სივრცე A წრფივი სივრცე S მიმრთ და მისი წერტილი a-ს მიდამოდან ასახვა აფინურ სივრცე B-ში წრფივი სივრცე T-ს მიმართ. თუ დამატებით ავიღებთ ვექტორ u-ს შეგვიძლია განვიხილოთ კომპოზიცია R → A → B:
r → a+ur → (a+ur)f და მისი დიფერენციალი 0-ში. ამ დიფერენციალს უწოდებენ დიფერენციალს მიმართულებით u, აღვნიშნოთ ის df/du-თი,ლიტერატურაში მიღებულია აღნიშვნაც ∇uf.