მათემატიკა

დიფერენცირება

ასახვის დიფერენციალი წერტილში არის წრფივი ასახვა, რომელიც საუკეთესოდ წარმოადგენს მოცემულ ასახვას წერტილის მცირე მიდამოში. არეალი რომელშიც განვმარტავთ ამ ცნებას აფინური სივრცეა.

გავიხსენოთ მცირე ასახვა და ასევე ფაქტი, რომ მცირე ასახვათა ქვესივრცით ექვივალენტობის მიმართ ყოველ შრეში არის არა უმეტეს ერთი წრფივი ასახვა.

განსაზღვრა
ვთქვათ მოცემულია აფინური სივრცეები A წრფივი სივრცე S-ის მიმართ, B წრფივი სივრცე T-ს მიმართ და ასახვა f A-ს წერტილი a-ს მიდამოდან წრფივ სივრცე B-ში.
წრფივ ასახვას S-დან T-ში u: S → T ვუწოდოთ ასახვა f-ის დიფერენციალი წერტილ a-ში თუ სხვაობა f - (af + u) მცირე ასახვაა

ვიხმარ სიტყვას "დიფერენციალი" განსაზღვრული წრფივი ასახვისათვის u, რომლის წერტილი a-ს მნიშვნელობაზე af დამატება სხვაობაც მოცემულ ასახვა f+თან მცირეა. წერტილი ფიქსირებულია, ასახვა ამ წერტილის მიდამოდან მოცემულია და დიფერენციალის ნამატი მისი საუკეთესო მიახლოებაა ამ წერტილლის მიდამოში. თუ რაიმე ასახვისათვის ამას გავაკეთებთ სხვადასხვა წერტილებში, მივიღებთ ასახვას ოღონდ უკვე წრფივ ასახვათა სივრცეში. აი ამ ასახვას უკვე ვუწოდებ წარმოებულ ასახვას. ანუ, თუ გვაქვს აფინური სივრცის ქვესიმრავლე X-დან აფინურ სივრცე F-ში ასახვა f: X → F, ამ ასახვის დიფერენციალი წერტილ x-ში იქნება წრფივი ასახვა E-დან F-ში, f-ის დიფერენციალი წერტილ x-ში. თუ X-ის ყოველ წერტილში გვექნება დიფერენციალი, შესაძლოა სხვადასხვა წრფივი ასახვა. უკვე ამ ასახვას ვუწოდოთ წარმოებული ასახვა X-დან Lin(E, F)-ში. ჩვეულებრივ, ამ ასახვას აღნიშნავენ შტრიხით f': X → Lin(E, F).

ამ აღნიშვნათა გამოყენებით ასახვის f: X → F წერტილ x-ში საუკეთესო მიახლოება იქნება ასახვა: x + u → xf + u(xf'). ეს უკვე x-ის მცირე მიდამოდან ასახვაა და u-ს მიმართ წრფივი.

გასაგებია, რომ ფიქსირებულ წერტილ a-სთან დიფერენცირებად ასახვათა სიმრავლე, Da წრფივი სივრცეა. ეს განსაზღვრების პირდაპირი შედეგია. დიფერენცირებად ასახვათა სიმრავლე არის გაერთიანება იმ შრეებისა რომელეშიც არსებობს წრფივი ასახვა. დიფერენცირება კი Da-ს ყოველ ელემენტს უთანადებს წრფივ ასახვას რომელიც მის შრეშია, ანუ გვაქვს ასახვა d: Da → Lin(E, F), df = af'
ასახვას ვუწოდებთ დიფერენცირებადს თუ მას განსაზღვეის არის ყოველ წერტილში გააჩნია დიფერენციალი.

თეორემა
დიფერენცირება წრფივი ასახვაა დიფერენცირებად ასახვათა წრფივი სივრციდან წრფივ ასახვათა სივრცეში

ვთქვათ მოცემულია აფინური ასახვა f:a + s → b + s(af') + sα. ამ ასახვის ნამრავლი რიცხვზე r იქნება ასახვა
f • r: a + s → b • r + s(af') • r + sα • r
რომლის დიფერენციალია a(f • r)' = af' • r რადგან მესამე შესაკრები მცირე ასახვაა
ასახვების f: a + s → b + s(af') + sα და g: a + s → b + s(ag') + sβ ჯამი იქნება ასახვა
f + g: a + s → b + s(af'+sg') + sg: a + s → b + s(ag') + s(α+β)
რადგან α+β მცირე ასახვაა მივიღეთ რომ f + g-ს დიფერენციალი არის af'+ag'
ეს ყველაფერი ნიშნავს რომ ასახვა Da → Lin(E, F) f → f' წრფივი ასახვაა

ვთქვათ მოცემულია ორი ფუნქცია (a + s)f = af + s(af') + sα და (a + s)g = ag + s(ag') + sβ. განვიხილოთ მათი ნამრავლი
a + s → (a + s)(f • g) = (af + s(af') + sα) • (ag + s(ag') • ag + sβ) =
= af • ag + af • s(ag') + s(af') • ag + af • (ag + s(ag') • ag + sβ) + (af + s(af') + sα) • ag
ამ გამოსახულებაში ორი უკანასკნელი შესაკრები მცირე ასახვაა. ეს კი ნიშნავს რომ a(f • g)' = af • s(ag') + s(af') • ag და მაშასადამე (f • g)' = f • g' + f' • g.აფინური სივრცეები A წრფივი სივრცე T-ს მიმართ, B წრფივი სივრცე S-ის მიმართ და A-ს წერტილი a-ს მიდამოდან B-ში ასახვა f. თუ b = af, შეგვიძლია განვიხილოთ T-ს ნულის მიდამოს ასახვა S-ის ნულის მიდამოში: u → (a + u)f - af. ამ ასახვის
დიფერენციალი იქნება f-ის დიფერენციალი წერტილში a, ანუ f-ის წარმოებულის მნიშვნელობა a-ზე, af '.

განსაზღვრა
აფინური სივრცის ღია სიმრავლიდან აფინურ სივრცეში ასახვას ვუწოდებთ დიფერენცირებად ასახვას, ან წარმოებად ასახვას თუ მას განსაზღვრის ყოველ წერტილში გააჩნია დიფერენციალი

განსაზღვრების თანახმად წერტილ a-ში ასახვა f-ის დიფერენციალი არის წრფივი ასახვა წრფივი სივრცე T-დან წრფივ სივრცე S-ში. გასაგებია, რომ ფიქსირებულ მიდამოშო განსაზღვრულ დიფერენცირებად ასახვათა სიმრავლე წრფივი სივრცეა. ეს განსაზღვრების პირდაპირი შედეგია.

ვთქვათ მოცემულია აფინური ასახვა a + s → b + sf + sα. ამ ასახვის ვექტორული შემადგენელი გავამრავლოთ ფუნქციაზე a + s → r + sg + sβ. რა იქნება მიღებული ასახვის დიფერენციალი იმავე წერტილში?
გამრავლების შედეგად მიღებული ასახვაა
a + s → b + (r + gs + βs) • (fs + αs) =
= b + r • fs + (r • αs + gs • fs + βs • fs + gs • αs + βs • αs)
ფრჩხილები ხუთი მცირე ასახვის ჯამია. ყოველი შესაკრები რომ მცირე ასახვაა შესაბამისი თეორემით დასაბუთდება. r • αs მცირეა რადგან მცირეთა სიმრავლე წრფივი სივრცეა, gs • fs-ის სიმცირე დასაბუთდება როგორც
წრფივ ასახვათა ნამრავლი, gs • fs და gs • αs როგორც მცირეს წრფივზე ნამრავლი და ბოლოს βs • αs როგორც მცირეთა ნამრავლი. მთლიანად ჯამი რადგან მცირე ასახვათა სიმრავლე წრფივი სივრცეა.
საბოლოოდ მივიღეთ რომ აგებული ასახვის დიფერენციალია r • fs.

ვთქვათ მოცემულია ორი ფუნქცია f(a + s) = fa + (dfa)s + αs და g(a + s) = ga + (dga)s + βs. განვიხილოთ მათი ნამრავლი (f • g) = (fa + (dfa)s + αs) • (ga + (dga)s + βs)

კერძო წარმოებული, დიფერენციალი მიმართულებით

ვთქვათ მოცემულია აფინური სივრცე A წრფივი სივრცე S მიმრთ და მისი წერტილი a-ს მიდამოდან ასახვა აფინურ სივრცე B-ში წრფივი სივრცე T-ს მიმართ. თუ დამატებით ავიღებთ ვექტორ u-ს შეგვიძლია განვიხილოთ კომპოზიცია R → A → B:
r → a+ur → (a+ur)f და მისი დიფერენციალი 0-ში. ამ დიფერენციალს უწოდებენ დიფერენციალს მიმართულებით u, აღვნიშნოთ ის df/du-თი,ლიტერატურაში მიღებულია აღნიშვნაც ∇uf.