მათემატიკა

დიფერენცირებადი მრავალნაირობა

მრავალნაირობა არის ტოპოლოგიური სივრცე, რომელიც ლოკალურად წრფივი სივრცის ჰომეომორფულია, ანუ მის ყოველ წერტილს აქვს მიდამო წრფივი სივრცის ნულის მიდამოს ჰომეომორფული. ამ გვერდზე წრფივ სიცრცეში ვგულისხმობთ მხოლოდ ნამდვილ რიცხვთა ველის მიმართ წრფივ სივრცეს. უფრო ზუსტად მას ტოპისოლოგიურ მრავალნაირობად მოიხსენიებენ. ამ გვერდზე წრფივ სიცრცეში ვგულისხმობთ მხოლოდ ნამდვილ რიცხვთა ველის მიმართ წრფივ სივრცეს. დიფერენცირებადი მრავალნაირობისათვის დამატებით საჭიროა ამ ჰომეომორფიზმთა შეთანხმებულობა. ეს შეთქნხმებულობა გამოიხატება თანაკვეთებზე ნულის მიდამოების კომპოზიციებით მიღებულ ასახვათა დიფერენცირებადობაში.

ინგლისურად - differentiable manifold
ფრანგულად - une variété différentielle
გერმანულად - einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
იტალიურად - una varietà differenziale
ესპანურად - una variedad diferenciable
რუსულად - гладкое многообразие

ვთქვათ მოცემულია ტოპოლოგიური სივრცე X და მისი წერტილი a-ს მიდამოს ჰომეომორფიზმი რაიმე წრფივი სივრცე E-ს ნულის მიდამოსთან. ამ შემთხვევას ვუწოდებ რომ ტოპოლოგიურ სივრცე X-ს წერტილ a-ში აქვს მხებად წრფივი სივრცე E. ბუნებრივია ყოველ წრფივ სივრცეს მის ყოველ წერტილში აქვს მხებად თვით E.

დიფერენცირებადი მრავალნაირობა არის ტოპოლოგიური სივრცე, რომელიც ლოკალურად წრფივი სივრცის ჰომეომორფულია, ანუ მის ყოველ წერტილში არსებობს მხები, ანუ აქვს წრფივი სივრცის ნულის მიდამოს ჰომეომორფული მიდამო. ამ გვერდზე წრფივ სიცრცეში ვგულისხმობთ მხოლოდ ნამდვილ რიცხვთა ველის მიმართ წრფივ სივრცეს. დამატებით საჭიროა ამ ჰომეომორფიზმთა შეთანხმებულობა. ეს შეთსნხმებულობა გამოიხატება მხები სივრცეების ნულის მიდამოების კომპოზიციებით მიღებულ ასახვათა დიფერენცირებადობაში. თუ ტოპოლოგიურ სივრცეს ყოველ წერტილში აქვს მხები მაშინ ამ მხებთა სიმრავლე გადაიქცევა წრფივ სივრცეთა სისტემად, წრფივ ფიბრაციად.

განსაზღვრა
ტოპოლოგიური სივრცე X არის დიფერნცირებადი მრავალნაირობა თუ არსებობს წრფივ სივრცეთა ფიბრაცია T → X და X-ის ყოველი წერტილი x-სათვის მასზე ფენის Tx ნულის მიდამოს Nx ჰომეომორფიზმი x-ის მიდამოზე Mx ⊂ Xპირობით:
- წერტილთა ყოველი წყვილისათვის ამ ჰომეომორფიზმთა კომპოზიცია მიდამოთა თანაკვეთაზე
Tx ⊃ A ↔ Mx ∩ My ↔ B ⊂ Ty დიფერენცირებადი ასახვაა

გასაგებია რომ ყოველი აფინური სივრცე მრავალნაირობაა და მისი განმსაზღვრელი წრფივი სივრცე მხებია მის ყოველ წერტილში.

ვთქვათ მოცემულია დიფერენცირებადი მრავალნაირობა განვიხილოთ მისი მისი წრფივი სივრცე ყოველ წერტილში, მხები ფიბრაცია T = ∪ Tx → X და მისი ქვესიმრავლე N = ∪ Nx . ყოველი მოცემული ფუნქციისათვის f: X → R გვექნება მისი ნაწილი Mx → R და კომმპოზიცია Nx → Mx → R და მაშასადამე N → R. რადგან Nx არის წრფივი სივრცე Tx-ის ნულის მიდამო შეგვიძლია ვისაუბროთ ამ ფუნქციის დიფერენცირებადობაზე. თუ ყოველი x-ისათვის არსებობს მოცემული ფუნქციის დიფერენციალი, dfx: Tx → R, მივიღეთ მხები ფიბრაციის ყოველ ფენაზე წრფივი ფორმა. ამ ვითარებას მოიხსენიებენ მრავალნაირობის დიფერეცირებად 1-ფორმად, თვით ფუნქცია მრავალნაირობაზე ჩავთვალოთ დიფერეცირებად 0-ფორმად. გვექნება ასახვა ფუნქციას შეესაბამება მისი დიფერენციალი 1-ფორმა df.მრავალნაირობა X-ზე დიფერენცირებადი 1-ფორმების სიმრავლე აღვნიშნოთ C1X-ით, ხოლო დიფერენცირებად ფუნქციათა სიმრავლე C0X-ით. გვექნება ასახვაც d: C0X → C1X. ანალოგიურად უფრო მაღალი რიგის დიფერენცირებად ფორმებად მივიჩნიოთ მხებ სივრცეთა გარე ნამრავლზე წრფივი ფორმა Ckx: ⋀kTx → R

დიფერენციალურ ფორმათა გრადუირებულ ალგებრაზე არსებობს წრფივი ოპერატორი, რომელიც Ck-ს გადაიტანს Ck+1-ში და C0-ზე დიფერენცირებას ემთხვევა ამიტომ ამ ოპერატორსაც დიფერენცისლს უწოდებენ და d-თი აღნიშნავენ. მისი თვისებებია:
- თუ u და v დიფერენციალური ფორმებია მაშინ (u ⋀ v)d = ud ⋀ v - u ⋀ vd
- dd = 0.
ამ თვისებებით ეს ოპერატორი ცალსხად განისაზღვრება. კერძოდ (f • g)d = (- f ⋀ g)d = - fd ⋀ g - f ⋀ gd = gfd + fgd

Georges de Rham (1903.09.10 – 1990.10.09) Élie Joseph Cartan (1869.04.09 – 1951.05.06) Cartan, Élie (1899), "Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure: 239–332