მათემატიკა

ველის გაფართოება.

მრავალწევრის ფესვი იშვიათად არის იმავე ველში, სადაც მრავალწევრის კოეფიციენტებია. სად უნდა ვეძებოთ მრავალწევრის ფესვი? ბუნებრივია, ისეთ წარმონაქმნში რომელშიც შესაძლებელია გამრავლება, შეკრება და ველის ელემენტით მოქმედება, ანუ სასრული განზომილების ალგებრაში. ამიტომ ამ ნაწერში ველის გაფართოებად მივიჩნევ ველის მომცველ სასრული განზომილების კომუტატურ ალგებრას ერთეულით. განვიხილოთ ამ წარმონაქმთა კატეგორია. ამ კატეგორიაში, ბუნებრივია, მორფიზმად მივიჩნევთ ოპერაციების შემნახველ ასახვას. სამწუხაროდ, ამ კატეგორიის მორფიზმთა სიმრავლეში Mor(A, B)-ში ბუნებრივ სტრუქტურას ვერ ვხედავ. ჩადგმა Mor(A, B) ⊂ Lin(A, B) გასაგებია. მორფიზმი არის გამრავლებასთან შეთანხმებული წრფივი ასახვა, ალგებრათა ჰომომორფიზმი. ამ კატეგორიას ვუწოდოთ V-ს კატეგორია და აღვნიშნოთ V-თი. ჩვეულებრივ, მათემატიკურ ლიტერატურაში ველის გაფართოებად მომცველი ველი მიიჩნევა.

ინგლისურად - field extension
ფრანგულად - une extension de corp
გერმანულად - eine Körpererweiterung
იტალიურად - un'estensione de campo
ესპანურად - una extensión de cuerpo
რუსულად - расширение поля

მაგალითი
ვთქვათ მოცემულია მრავლწევრი p კოეფიციენტებით ველი V-დან და ველი V-ს გაფართოება ალგებრა A ⊃ V. თუ A-ს ელემენტებს ჩავსვამთ მრავალწევრში მივიღებთ ასახვას ალგებრა A-დან თავის თავში. ყოველი მრავალწევრი შეგვიძლია განვიხილოთ როგორც ასახვა A-დან A-ში. ელემენტები A-დან, რომელნიც ნულში გადადიან იქნებიან ამ მრავალწევრის ფესვები.

ყოველი მრავალწევრი ჰქმნის მარტივ გაფართოებას, ალგებრა V[t] / p იქნება V-ს სასრული გაფართოება, განზომილებით p-ს ხარისხი და კატეგორია V-ს ობიექტი. ამგვარ გაფართოებას, ერთი ელემენტით, t-ს ანასახით წარმოქმნილს, მარტივ ალგებრად მოვიხსენიებ.

ვთქვათ A ველი V-ს გაფართოებაა. A-ს ელემენტი a განსაზღვრავს ასახვას მრავალწევრთა ალგებრიდან A-ში, მრავალწევრში a-ს ჩასმით გამოწვეული ასახვა. მრავალწევრი p = pkxk + . . . + p1x + p0 გადადის A-ს ელემენტში akpk + . . . + ap1 + p0. გასაგებია, რომ ეს ასახვა ჰომომორფიზმია და მისი ბირთვი იდეალია, ,Ia. ეს იდეალი, ბუნებრივია, მოიცავს ყველა იმ მრავალწევრს რომელშიც a-ს ჩასმით მიიღება ნული. ბირთვის განმარტებაც სწორედ ეს არის. ამ იდეალის წარმომქნელი, მისი მინიმალური მრავალწევრი არის a-ს მახასიათებელი მრავალწევრი. ცალსახობისათვის, ყოველთვის ვგულისხმობ რომ მისი უმაღლესი კოეფიციენტი უდრის 1-ს. ნათელია რომ ამ ასახვის ანასახი არის V[a].

შესაძლოა არსებობდეს ელემენტი რომლისათვისაც აგებული ასახვის ბირთვი ნული აღმოჩდეს. ეს ნიშნავს რომ ელემენტის მიერ წარმოქმნილი ქვეალგებრა მრავალწევრთა ალგებრის იზომორფულია. ამგვარ ელემენტ ტრანსცენდენტულს უწოდებენ. თუ ბირთვი ნული არ არის, ანუ მახასიათებელი მრავალწევრი არსებობს ელემენტს ალგებრულს უწოდებენ. თუ გაფართოების ყოველი ელემენტი ალგებრულია გაფართოებასაც ალგებრულ გაფართიებად მოიხსენებენ

ლემა
თუ გაფართოება სარული განზომილებისაა მაშინ ის ალგებრული გაფართოებაა

მტკიცება
სასრული განზომილების წრფივი სივრცის ქვესივრცე უსასრულო განზომილების ვერ იქნება.

მრავალწევრის ფესვი

ვთქვათ მოცემულია კატეგორია V-დან ობიექტი A და მისი ელემენტი a. ვთქვათ p ∈ Id a, ანუ p(a) = 0. თუ f მორფიზმია f: A → B მაშინ p(af) = 0. მართლაც, რადგან f ჰომომორფიზმია
p(af) = pk • (af)k + . . . + p1 • af + p0 =
= (pk • ak)f + . . . + (p1 • a)f + p0f =
= (pk • ak + . . . + p1 • a + p0)f = 0f = 0
ამის შედეგია, რომ a-ს შესაბამისი იდეალი, Ia შედის af-ის შესაბამის იდეალში, Ia ⊂ I(af). რაც თავის მხრივ ნიშნავს af-ის მახასიათებელი მრავალწევრი არის a-ს მახასიათებელი მრავალწევრის გამყოფი. აქედან, თუ a-ს მახასიათებელი დაუყვანადია მაშინ გვაქვს a-სა და af-ის მახასიათებელ მრავალწევრთა ტოლობა.

განვიხილოთ მრავალწევრი p ∈ V[t] და ყოველ ობიექტ A-ში ქვესიმრავლე ელემენტებისა, რომელთა p-ში ჩასმით ნული მიიღება
x ∈ Ap ⇔ p(x) = 0
გასაგებია რომ ნებისმიერი მორფიზმი ამ ქვესიმრავლეებთან შეთანხმებულია, თუ f: A → B გვექნება (Ap)f ⊂ Bp.

მორფიზმთა კომპოზიცია Mor(A, A)-ს მონოიდად გადააქცევს. ურთიერთ ცალსახა მორფიზმები კი ამ მონოიდის ქვეჯგუფი იქნება. აღვნიშნოთ ის GA-თი. მას გალუას ჯგუფს უწოდებენ. სამწუხაროდ, ეს შესაბამისობა ბუნებრივად ფუნქტორად ვერ გაფორმდება. მაგრამ თუ B არის A-ს ქვეალგებრა, მაშინ GA-დან გამოიყოფა ავტომორფიზმები, რომელნიც B-ს თავის თავში გადაიტანენ ანუ გაჩდება ასახვა GA-ს ნაწილიდან GB-ში. ეს ნაწილი, ბუნებრივია, ქვეჯგუფია, აღვნიშნოთ ის H(A, B)-თი. გვექნება ჰომომორფიზმი H(A, B) → GB. ამ ჰომომორფიზმის ბირთვი იქნება A-ს იმგვარი ავტომორფიზმები, რომელიც იგიურია B-ზე, აღვნიშნოთ ეს ქვეჯგუფი G(A, B)-თი. გასაგებია, რომ GA = G(A, V). გვაქვს ზუსტი მიმდევრობა
0 → G(A, B) → A(A, B) → GB = G(B, V)

A-ს ქვეალგებრათა ჯაჭვი შექმნის სათანადო ქვეჯგუფთა ჯაჭვს