მათემატიკა

კონა

ხშირია ვითარება როდესაც ტოპოლოგიურ სივრცეს შეუსაბამებენ რაიმე სტრუქტურის მატარებელ სიმრავლეთა სისტემას, ჯგუფების, წრფივი სივრცეების ან სხვა რაგინდარა სტრუქტურის მატარებლებს. ტოპოლოგიურ სივრცეში ძირითადი ობიექტებია წერტილები, ღია სიმრავლეები ან ჩაკეტილი სიმრავლეები. თუ ტოპოლოგიური სივრცის ღია სიმრავლეთა ერთობლიობას განვიხილავთ როგორც კატეგორიას, რომელშიც ჩადგმაა მორფიზმი, მაშინ სისტემა შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ როგორც ფუნქტორი F ამ კატეგორიიდან, ყოველ ღია სიმრავლე U-ს შეესაბამება სიმრავლე (U)F, შესაძლოა მასზე რაიმე სტრუქტურით.

ინგლისურად - presheave
ფრანგულად - un préfaisceau
გერმანულად - Eine Prägarbe
იტალიურად -
ესპანურად - un pegado
რუსულად - предпучок

განსკუთრებულ სისტემას კონას უწოდებენ თუ სრულდება შემდეგი პირობა:
- თუ U = ∪ Ui და ყოველი Ui-სათვის ai ∈ (Ui)F ისეთი რომ მათი ანასახები თანაკვეთა Ui ∩ Uj-ზე
(Ui)F → (Ui ∩ Uj)F ← (Uj)F ემთხვევა ერთმანეთს. მაშინ არსებობს ერთადერთი a ∈ (∪ (Ui))F, რომლის ანასახიცაა ყოველი ai

ინგლისურად - Sheaf
ფრანგულად - un faisceau
გერმანულად - Eine Garbe
იტალიურად - un fascio
ესპანურად - un haz
რუსულად - пучок

მაგალითი
ყველაზე მარტივი, ტრივიალური მაგალითია თუ ყოველ ღია სიმრავლეს შევუსაბამებთ ერთი და იმავე სიმრავლეს, ხოლო ჩადგმას მის იგიურ ასახვას.
უფრო შინაარსიანი მაგალითი შემდეგია: ვთქვათ T და A ტოპოლოგიური სივრცეებია. T-ს ყოველ ღია სიმრავლე X-ს შევუსაბამოთ X-დან A-ში უწყვეტ ასახვათა სიმრავლე MX. თუ X ⊂ Y, მაშინ მისი შესაბამისი ასახვა MY-დან MX-ში იყოს Y-დან A-ში ასახვის ამოკვეთა X-ზე, ანუ იგივე ასახვა ოღონდ განხილული მხოლოდ Y-ის ნაწილზე, X-ზე. მივიღეთ T-ზე სიმრავლეთა სისტემა, ანუ კონტრავარიანტული ფუნქტორი T-ს ღია სიმრავლეთა კატეგორიიდან სიმრავლეთა კატეგორიაში.

მაგალითი
წინა მაგალითის განვითარება. განვიხილოთ ტოპოლოგიურ სივრცეთა უწყვეტი ასახვა p: E → T. ამ ასახვის მეშვეობით ავაგოთ სისტემა, კონტრავარიანტული ფუნქტორი T-ს ღია სიმრავლეთა კატეგორიიდან სიმრავლეთა კატეგორიაში შემდეგნაირად: ღია სიმრავლე X-ს შევუსაბამოთ უწყვეტი ასახვები X-დან E-ში, რომელნიც p-სთან კომპოზიციაში იგიურს იძლევა, ანუ კვეთათა სიმრავლე (X)Γ. ჩადგმას X ⊂ Y ისევ ამოკვეთა შევუსაბამოთ, (Y)Γ → (X)Γ. წინა მაგალითი ამის კერძო შემთხვევაა, უწყვეტ ასახვად აღებულია პროექცია T × A → T.

ადვილი შესამოწმებელია, რომ ყველა წინა მაგალითი კონაა.

ტოპოლოგიური სივრცის ღია სიმრავლეთა დალაგებულ სიმრავლეზე სისტემის მეშვეობით კონის აგებაა შესაძლებელი. ვთქვათ ტოპოლოგიური სივრცე X-ის ღია სიმრავლეთა კატეგორიაზე განსაზღვრულია სიმრავლეთა სისტემა F, კონტრავარიანტული ფუნქტორი სიმრავლეთა კატეგორიაში. ყოველი წერტილის ღია მიდამოთა დალაგებული სიმრავლე მიმართულია. მასზე განსაზღვრული ფუნქტორ F-ის ზღვარი X-ის ყოველ წერტილ x-ს შეუსაბამებს სიმრავლეს xF-ს. განვიხილოთ xF-თა გაერთიანება Y = ∪ xF და მისი ბუნებრივი პროექცია Y → X. Y-ს ელემენტ y-ს აქვს წარმომადგენელი x-ის რომელიღაც ღია მიდამო U-ს შესაბამის სიმრავლე UF-ში ელემენტი u. ელმენტ y-ის მიდამოდ მივიჩნიოთ u-ს ყველა ანასახთა x'F-ში სიმრავლე, სადაც x' ∈ U, აღვნიშნოთ ეს მიდამო V-თი. ადვილი შესამოწმებელია, რომ ამგვარ სიმრავლეთა ერთობლიობა u-ს მიდამოთა სისტემა იქნება და A-ზე ტოპოლოგიას განსაზღვრავს. ადვილი შესამოწმებელია, რომ აგებული ასახვა Y → X უწყვეტია, ლამის ტავტოლოგიაა. მეტიც ეს ასახვა ლოკალური ჰომეომორფიზმია, ანუ ყოველ წერტილს და მის ანასახს აქვს ერთმანეთის ჰომეომორფული ღია მიდამო. Y-ზე ტოპოლოგიის განსაზღვრისათვის აგებული მიდამოები სწორედ ასეთი ღია სიმრავლეებია.
ამგვარად სიმრავლეთა ყოველ სისტემას შეესაბამება კონა

C-ის, სადაც U ღია სიმრავლეა, ყოველი ელემენტი a შეგვიძლია განვიხილოთ როგორც ასახვა U-დან Y-ში: U-ს წერტილ x-ს a შეუსაბამებს თავის ანასახს ზღვარში xF ⊂ Y. მივიღეთ კვეთა U → Y. მაგრამ ყოველი კვეთა არ იქნება ამგვარად წარმოდგენილი და შესაძლოა განსხვავებული ელემენტებით აგებული კვეთები ტოლი აღმოჩდეს. კვეთათა სიმრავლე აღვნიშნოთ (U)Γ-თი. გვაქვს ასახვა UF → (U)Γ.

თეორემა
თუ F კონაა, ასახვა UF → (U)Γ ურთიერთ ცალსახაა.

მტკიცება
ავაგოთ შებრუნებული ასახვა. ვთქვათ a ∈ (U)Γ. ყოველი წერტილი x-სათვის X-დან არსებობს მისი შემცველი ღია სიმრავლე V ⊂ U და xb ∈ VF, რომელიც შედის xa-ში ზღვრის განმარტების თანახმად. რადგან a უწყვეტი ასახვაა, V შეგვიძლია შევამციროთ იმდენად რომ ეს ასე იყოს მისი ყოველი წერტილისათვის. მივიღეთ X-ის სასურველი დაფარვა და დაფარვის ყოველ მონაწილეში შეთანხმებული ელემენტები xb ∈ UΓ. რადგან F კონაა არსებობს ერთადერთი სათანადო ელემენტი UF-შიც.