ჯგუფის ფაქტორიზაცია

ექვივალენტობის მიხედვით სიმრავლის ქვესიმრავლეებად დაშლა ახალი სიმრავლის შექმნის ერთ ერთი შესაძლებლობაა.

ინგლისურად - factorisation (ბრიტანეთში) ან factorization (შეერთებულ შტატებში) ან factoring
ფრანგულად - la factorisation
გერმანულად - eine Faktorisierung
იტალიურად - la fattorizzazione
ესპანურად - la factorizacion
რუსულად - факторизация

მიმართებას უწოდებენ ექვივალენტობას თუ ის რეფლექსური, სიმეტრიული და ტრანზიტულია. ექვივალენტობა სიმრავლეს არაგადამკვეთ შრეებად ჰყოფს. ერთ შრეში შედის ერთმანეთის ექვივალენტური ელემენტები.

განსაზღვრება
ვთქვათ G ჯგუფია და მასში მოცემულია ექვივალენტობა ∼. ვიტყვით რომ ექვივალენტობა ∼ შეთანხმებულია ჯგუფის ოპერაციასთან თუ

x ∼ y ⇒ x ∙ z ∼ y ∙ z
x ∼ y ⇒ z ∙ x ∼ z ∙ y

თეორემა
თუ ექვივალენტობა ოპერაციასთან შეთანხმებულია, მაშინ ექვივალენტურ ელემენტთა სიმრავლეზე, შრეთა სიმრავლეზე გადადის ოპერაცია და შრეთა სიმრავლე ჯგუფი ხდება

მტკიცება
რადგან ექვივალენტობა შეთანხმებულია ოპერაციასთან ორი შრე ცალსახად განმარტავს ნამრავლ შრეს, ანუ ოპერაცია შრეების სიმრავლეზე ცალსახად განიმარტება. აქსიომების ჭეშმარიტება ნათელია.

თეორემა

x ∼ y ⇒ x ∙ y- ∼ 1

მტკიცება
x ∼ y ⇒ x ∙ y- ∼ y ∙ y- = 1

თეორემა

x ∼ y ⇒ x- ∼ y-

მტკიცება
x ∼ y ⇒ x ∙ y- ∼ 1 ⇒ x- ∙ x ∙ y- ∼ x- ⇒ y- ∼ x- ⇒ x- ∼ y-

თეორემა
თუ ექვივალენტობა ოპერაციასთან შეთანხმებულია, მაშინ ერთიანის შრე ქვეჯგუფია

მტკიცება
ნათელია

განსაზღვრება
თუ ჯგუფ G-ში ექვივალენტობა ოპერაციასთან შეთანხმებულია და H ერთიანის შრეა, შრეთა სიმრავლეს G-ის ფაქტორ ჯგუფს ვუწოდებთ და აღვნიშნავთ G/H

თუ h ∈ H, ანუ h ∼ 1, მაშინ ყოველი ელემენტ x-ისათვის
h ∙ x ∼ 1 ∙ x = x
აქედან თუ y ∙ x- ∈ H, მაშინ x ∼ y. მართლაც, რადგან y ∙ x- ∼ 1
y = y ∙ x- ∙ x ∼ 1 ∙ x ∼ x
და პირიქითაც, თუ x ∼ y, მაშინ
x ∼ y ⇒ 1 = x ∙ x- ∼ y ∙ x- ⇒ y ∙ x- ∈ H
საიდანაც
y = y ∙ x- ∙ x
გამოვიდა, რომ x-ის შრე არის H ∙ x. ასევე დამტკიცდება, რომ x-ის შრე არის x ∙ H, ანუ H ∙ x = x ∙ H დავამტკიცეთ

თეორემა
ყოველი ელემენტის ექვივალენტობის შრე არის ამ ელემენტის ერთიანის შრეზე ნამრავლი. ოპერაციასთან შეთანხმებულ ექვივალენტობას ერთიანის შრე განსაზღვრავს.

ექვივალენტობის კლასს მასში შემავალი ელემენტის შრეს ვუწოდებ.

ოპერაციასთან შეთანხმებულ ექვივალენტობას ერთიანის შრე განსაზღვრავს, ეს შრე ქვეჯგუფია, მაგრამ ქვეჯგუფით განსაზღრული ექვივალენტობა, სამწუხაროდ, ყოველთვის არ არის ოპერაციასთან შეთანხმებული.

ვთქვათ G ჯგუფია და H მისი ქვეჯგუფი. ქვეჯგუფი H განსაზღვრავს G-ში ორ ექვივალენტობას:
x ∼ y ⇔ ∃h ∈ H y = x ∙ h
x ∽ y ⇔ ∃h ∈ H y = h ∙ x
ანუ
x ∼ y ⇔ y ∙ H = x ∙ H
x ∽ y ⇔ H ∙ y = H ∙ x
დავარქვათ მათ სათანადოთ მარჯვენა და მარცხენა ექვივალენტობა.

რეფლექსურობა ნათელია, x = x ∙ 1
მიმართება სიმეტრიულია:
თუ x ∼ y, ანუ არსებობს H-ის ელემენტი h რომლისათვის გვაქვს ტოლობა y = x ∙ h
გავამრავლოთ ეს ტოლობა h--ზე მარჯვნიდან, გვექნება y ∙ h- = x. ეს კი ნიშნავს, რომ y ∼ x
მიმართება ტრანზიტულია:
თუ x ∼ y და y ∼ z, მაშინ ∃h ∈ H y = x ∙ h და ∃h' ∈ H z = y ∙ h'.
აქედან z = y ∙ h' = (x ∙ h) ∙ h' = x ∙ (h ∙ h') ასევე შემოწმდება მარცხენა ექვივალენტობაც.

ელემენტ x-ის მარცხენა ექვივალენტობის შრე აღიწერება როგორც სიმრავლე {h ∙ x}, სადაც h გაირბენს H-ის ყველა ელემენტს, ანუ სიმრავლე H ∙ x. ასევე მარჯვენა ექვივალენტობისათვის x-ის შრე იქნება x ∙ H.

გვექნება ურთიერთ ცალსახა ასახვები H → H ∙ x და H → x ∙ H. ეს ნიშნავს, რომ ყოველ შრეში იმდენივე ელემენტია რაც ქვეჯგუფში. აქედან

თეორემა
სასრულ ჯგუფში ქვეჯგუფის ელემენტთა რაოდენობა ჯგუფის ელემენტთა რაოდენობის გამყოფია

ამ თეორემას ლაგრანჟის თეორემის სახელით იცნობენ.

რადგან სასრულ ჯგუფში ყოველი ელემენტი ჰქმნის ქვეჯგუფს, ამ ელემენტის ხარისხების სიმრავლის რაოდენობაც ჯგუფის ელემენტთა რაოდენობის გამყოფია. ლაგრანჟის თეორემის შედეგია

თეორემა
სასრული ჯგუფის ყოველი ელემენტის რიგი ჯგუფის ელემენტთა რაოდენობის გამყოფია

აქედან მარტივი დასკვნა. თუ ჯგუფის ელემენტთა რაოდენობა მარტივი რიცხვია, მას ქვეჯგუფი არა აქვს.

ზემოთ განსაზღვრული ორივე ექვივალენტობისათვის ნათელია, რომ ერთიანის შრე ქვეჯგუფია, მაგრამ შრეთა სიმრავლეზე ოპერაცია ყოველთვის ვერ გადადის.

მაგალითი
S(a, b, c)-ში ავიღოთ ქვეჯგუფი {1, (ab)}. ამ ქვეჯგუფით შექმნილი მარცხენა შრეებია
{1, (ab)}, {(ac), (abc)}, {(bc), (acb)}
(ac) ∼ (abc) და (ac)(bc) = (abc), ხოლო (abc)(bc) = (acb). ეს ორი ნამრავლი კი ექვივალენტური არ არის.

იმისათვის რომ ქვეჯგუფით შექმნილ ექვივალენტობის შრეთა სიმრავლეზე ოპერაცია გადავიდეს საჭიროა პირობა:
- G-ის ყოველი ელემენტ x-ისათვის სამრთლიანია ტოლობა H ∙ x = x ∙ H.

განსაზღვრება
ამ პირობის მატარებელ ქვეჯგუფს ნორმალურ გამყოფს უწოდებენ

ინგლისურად - normal subgroup
ფრანგულად - un sous-groupe normal ან sous-groupe distingué ან sous-groupe invariant
გერმანულად - ein Normalteiler ან eine normale Untergruppe
იტალიურად - un sottogruppo normale
ესპანურად - un subgrupo normal ან subgrupo distinguido
რუსულად - нормальная подгруппа ან инвариантная подгруппа

თუ მარჯვენა ექვივალენტურ წყვილს რომელიმე ელემენტზე მარცხნიდან გავამრავლებთ, მივიღებთ ისევ მარჯვენა ექვივალენტურ წყვილს. მართლაც
x ∼ y ⇔ ∃h ∈ H y = x ∙ h ⇒ ∃h ∈ H (z ∙ y) = (z ∙ x) ∙ h ⇒ (z ∙ x) ∼ (z ∙ y)
ასეთივე მსჯელობით
x ∽ y ⇒ (x ∙ z) ∼ (y ∙ z)
მივიღეთ, რომ ჯგუფის ელემენტების მარცხნიდან ფიქსირებულ ელემენტზე გამრავლება მარჯვენა შრეთა სიმრავლის თავის თავში ასახვაა. ასევე იქნება მარცხენა შრეთა სიმრავლის თავის თავში ასახვა ჯგუფის ელემენტების ფიქსირებულ ელემენტზე მარჯვნიდან გამრავლება. მაგრამ ეს არ უზრუნველყოფს გამრავლების ოპერაციის შრეთა სიმრავლეზე გადატანას.

ამრიგად თუ მარცხენა ∼ და მარჯვენა ∽ ექვივალენტობები ერთმანეთს ემთხვევა ეს ერთი და იგივე ექვივალენტობაა და აკმაყოფილებს ჯგუფის ოპერაციის პირობებს, ანუ შრეების სიმრავლეზე შემოდის ჯგუფის სტრუქტურა

ექვივალენტობათა ∼ და ∽ ტოლობა ექვივალენტურია ყველა ტოლობის H ∙ x = x ∙ H.

მარჯვენა შრეთა სიმრავლეზე გამრავლების ოპერაციის გადატანა ნიშნავს ყოველი წყვილისათვის x და y ტოლობას
(x ∙ H) ∙ (y ∙ H) = (x ∙ y) ∙ H
ეს ტოლობა უზრუნველყოფილია თუ ყოველი ელემენტ y-ისათვის
H ∙ y = y ∙ H
ანუ მარჯვენა და მარცხენა შრეთა სიმრავლე ერთი და იგივეა. ან სხვაგვარად, მარჯვენა და მარცხენა ექვივალენტობა ერთი და იგივეა. ამ შემთხვევაში ვიღებთ ფაქტორ ჯგუფს G / H.

ნათელია, რომ კომუტატურ ჯგუფში ყოველი ქვეჯგუფი ნორმალური გამყოფია.

ქვეჯგუფის ნორმალურობის პირობის სხვაგვარად ჩამოყალიბება შეიძლება. თუ H ∙ y = y ∙ H, გავამრავლოთ ტოლობა მარცხნიდან y--ზე. მივიღებთ
y- ∙ H ∙ y = H
ანუ H ინვარიანტული ქვესიმრავლეა ასახვისათვის x → y- ∙ x ∙ y. ამ ასახვას G-დან G-ში შინაგან ავტორმორფიზმს უწოდებენ.

ინგლისურად - inner automorphism
ფრანგულად - un automorphisme intérieur
გერმანულად - innere Automorphismen
იტალიურად - un automorfismo interno
ესპანურად - ?
რუსულად - внутренний автоморфизм

მაგალითი
S({a, b, c})-ს ნორმალური გამყოფია {1, (abc), (acb)}. დანარჩენი ქვეჯგუფები პირობას არ აკმაყოფილებს.
{1, (abc), (acb)}-ით ფაქტორ ჯგუფი ორელემენტიანი ჯგუფია

S({a, b, c}) / {1, (abc), (acb)} = {{1, (abc), (acb)}, {(bc), (ac), (ab)}}

თეორემა
შემდეგი დებულებები ექვივალენტურია:
- ქვეჯგუფი H ჯგუფ G-ის ნორმალური გამყოფია
- მარჯვენა და მარცხენა ექვივალენტობა ერთი და იგივეა
- ყოველ ელემენტ a-სათვის ასახვა x → a- ∙ x ∙ a ქვეჯგუფ H-ს თავის თავში გადაიტანს

მტკიცება
მეორიდან პირველი დამტკიცებულია
პირველიდან მეორე. პირობა "H არის G-ს ნორმალური გამყოფი" გავიგოთ როგორც ექვივალენტობის არსებობა, რომელიც იძლევა საშუალებას ფაქტორ სიმრავლეზე გამრავლების გადატანას და ამავე დროს ერთიანის შრეა H. პირველ რიგში დავამტკიცოთ რომ ამგვარი ექვივალენტობა ∾ ორივე ზემოდ აღწერილის ტოლფასია. ამ ექვივალენტობის გამრავლებასთან შეთანხმებულობა ნიშნავს, რომ
x ∾ y ⇒ x ∙ z ∾ y ∙ z
x ∾ y ⇒ z ∙ x ∾ z ∙ y
და ერთიანის შრე კი H. თუ h ∈ H ⇒ x, ანუ 1 ∾ h, ამიტომ x ∾ h ∙ x. თუ x ∾ h ∙ x, მაშინ x ∙ x- ∾ h ∙ x ∙ x-, ანუ 1 ∾ h. ეს ნიშნავს, რომ x-ის შრე არის H ∙ x. ასევე გვექნება, რომ x-ის შრე არის x ∙ H. თუ x ∾ y, მაშინ y = h ∙ x. საიდანაც
y ∙ x- = h ∙ x ∙ x- = h ∈ H
ეს კი მარჯვენა ექვივალენტობაა. ასევე ვაჩვენებთ მარცხენა ექვივალენტობასთან თანხვედრას. ასე რომ ყველა ეს ექვივალენტობა ერთი და იგივეა.
პირველიდან მესამე. თუ h ∈ H, მაშინ h ∙ x ∾ x. აქედან x ∙ h ∙ x- ∾ x ∙ x- = 1 და მაშასადამე x ∙ h ∙ x- ∈ H.
მესამიდან პირველი. დავუშვათ, რომ ყოველი x-სათვის სამართლიანია
h ∈ H ⇒ h → x ∙ h ∙ x- ∈ H
ანუ x ∙ h ∙ x- ∾ 1. აქედან x ∙ h ∾ x. თუ ყოველი x-სათვის სამართლიანია x ∙ h ∾ x, მაშინ x ∙ h ∙ x- ყოფილა H-ის ელემენტი.

მაგალითი
SX არის UX-ის ნორმალური გამყოფი. მართლაც. ვთქვათ f: X → X ურთიერთცალსახა ასახვაა. ვიმოქმედოთ ასახვა f- ∙ (x y) ∙ f-ით. თუ zf- = x, ეს კი (x y)-ით გადადის y-ში, საბოლოოდ z გადადის yf-ში. დანარჩენი ელემენტები ადგილზე დარჩება. ანუ მივიღეთ ტრანსპოზიცია (xf=z yf). რადგან SX-ს ტრანსპოზიციათა სიმრავლე წარმოქმნის, ორი ასახვა ექვივალენტურია, თუ მათი ანასახი ერთმანეთისაგან მხოლოდ სასრული რაოდენობა არგუმენტისათვის განსხვავდება.

მაგალითი
AX არის SX-ის ნორმალური გამყოფი. რადგან SX-ის ყოველი ელემენტი ტრანპოზიციათა ნამრავლია, საკმარისია ტრანპოზიციისათვის შევამოწმოთ ტოლობა
(x y) ∙ AX ∙ (x y) = AX
მაგრამ ეს ნათელია, თანამარავლთა რაოდენობის ლუწობა არ შეიცვალა. ფაქტორ ჯგუფი კი ორელემენტიანია, ანუ AX / SX იზომორფულია Z2-ის.