მათემატიკა

ველი

შეკრება და გამრავლება რიცხვთა სიმრავლის ცნობილი ოპერაციებია. მათი ძირითადი თვისებებია კომუტატურობა, ასოციურობა და დისტრიბუციულობა. რა გამომდინარეობს ამ თვისებებიდან? ეს არის ველთა თეორიის ძირითადი მიზანი. წრფივი ალგებრის საყრდენი ცნებაა ველი. ეს არის სიმრავლე, რომელშიც არსებობს რიცხვთა შეკრებისა და გამრავლების მსგავსი ოპერაციები. ამ ოპერაციების ძირითად თვისებებს აქსიომებად მივიღებთ.

განსაზღვრა
სიმრავლე V-ს და მასში განსაზღვრულ ორ ოპერაციას (შეკრება + და გამრავლება •) ეწოდება ველი თუ სრულდება პირობა:
1. თუ a, b და c ველი V-ს ელემენტებია, (a + b) • c = (a • c) + (b • c)
2. სიმრავლე V და შეკრება (+) კომუტატური
ჯგუფია.
3. სიმრავლე V ნულის გარდა და გამრავლება (•) კომუტატური ჯგუფია

ინგლისურად - field
ფრანგულად - un corps
გერმანულად - ein Körper
იტალიურად - un campo
ესპანურად - un cuerpo ან un campo
რუსულად - поле

რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლე ჩვეულებრივი ოპერაციებით არის ველის ერთ ერთი მაგალითი.

თეორემა
ველის ყოველი ელემენტისათვის a გვაქვს ტოლობა a • 0 = 0

მტკიცება
a = a • 1 = a • (1 + 0) = a • 1 + a • 0 = a + a • 0. დავუმატოთ ორივე მხარეს -a. მივიღებთ 0 = a • 0.

თეორემა
თუ ელემენტების a და b ნამრავლი უდრის ნულს, მაშინ ერთ ერთი მათგანი ნულია

მტკიცება
დავუშვათ a • b = 0 და a ≠ 0, მაშინ b = 1 • b = a- • a • b = a- • 0 = 0.

მივიღეთ რომ ველში ნულის გამყოფი მხოლოდ ნულია.

ველის ქვესიმრავლე ჩაკეტილი შეკრებისა და გამრავლების მიმართ, თუნდაც მასში იყოს ერთიანიც და ყოველი მისი ელემენტის მოპირდაპირეც აუცილებლად ველი არ იქნება. იგი მხოლოდ რგოლი იქნება, რაც ნიშნავს რომ სრულდება ყველა პირობა გარდა უკანასკნელისა, პირობა 9. მაგრამ ყოველი კომუტატური რგოლი ვერ იქნება ველის ნაწილი იგივე შეკრებითა და გამავლებით. ველში ჩადგმულ რგოლს დამატებითი თვისება აქვს. მასში ნულის გამყოფი მხოლოდ ნულია. ამ თვისების მატარებელ რგოლს მთელობის არეს უწოდებენ.

ყოველი მთელობის არე (მთელობის არედ ვგულიდხმობ კომუტატურ რგოლს ნულის გამყოფების გარეშე) ჩაიდგმება ველში. ვთქვათ A მთელობის არეა. განვიხილოთ მისი ელემენტების წყვილთა სიმრავლის ნაწილი, რომელიც ხასიათდება ერთადერთი პირობით {[x, y] | y ≠ 0}. შემოვიღოთ ამ სიმრავლეში ექვივალენტობა
[x, y] ~ [u, v] ⇔ x • v = y • u
მიღებული ფაქტორ სიმრავლე მასზე გადატანილი ოპერაციებით
[x, y] + [u, v] = [x • v + y • u, y • v]
[x, y] • [u, v] = [x • u, y • v]
ველი იქნება. მართლაც, დავიწყოთ ველის პირობებით 8 და 9. ერთიანია დიაგონალი {[u, u]}
[x, y] • [u, u] = [x • u, y • u]
[x, y]-სა და [x • u, y • u]-ს ექვივალენტობა ნათელია.
[x, y]-ის შებრუნებული იქნება [y, x]
პირობა 6 და 7, ნულია {[0, v]}
[x, y] + [0, v] = [x • v + y • 0, y • v] = [x • v, y • v]
ექვივალენტობა ნათელია
[x, y]-ის მოპირდაპირე იქნება [-x, y]
[x, y] + [-x, y] = [x • y + y • (-x), y • y] = [0, y • y]
პირობა 1 და 2 ნათელია.
პირობა 3 და 4
([x, y] + [x', y']) + [x'', y''] = [x • y' + y • x', y • y'] + [x'', y''] =
= [x • y' • y'' + y • x' • y'' + y • y' • x'', y • y' • y'']
[x, y] + ([x', y'] + [x'', y'']) = [x, y] + [x' • y'' + y' • x'', y' • y''] =
[x • y' • y'' + y • x' • y'' + y • y' • x'', y • y' • y'']

([x, y] • [x', y']) • [x'', y''] = [x • x', y • y'] • [x'', y''] = [x • x' • x'', y • y' • y'']
[x, y] • ([x', y'] • [x'', y'']) = = [x, y] • [x' • x'', y' • y''] = [x • x' • x'', y • y' • y'']
პირობა 5
([x, y] + [x', y']) • [x'', y''] = [x • y' + y • x', y • y'] • [x'', y''] = [x • y' • x'' + y • x' • x'', y • y' • y'']
[x, y] • [x'', y''] + [x', y'] • [x'', y''] = [x • x'', y • y''] + [x' • x'', y' • y''] =
= [x' • x'' • y' • y'' + y • y'' • x' • x'', y • y'' • y' • y''] = [x • y' • x'' + y • x' • x'', y • y' • y''] • [y'', y'']
ჩადგმა ნათელია, x-ს შეესაბამება [x • x, x]?

თუ ამ კონსტრუქციას გავიმეორებთ არა მთელობის არეზე არამედ ნებისმიერ კომუტატურ რგოლზე, ოღონდ მეორე კოორდინატი ნულის გამყოფი არ უნდა იყოს, ველს ვერ მივიღებთ. მივიღებთ კომუტატურ რგოლს ერთიანით, რომელშიც ყოველი ელემენტი ან შებრუნებადია ან ნულის გამყოფია.

მაგალითი
ნათელია რომ Zk ველია თუ k მარტივია.

მაგალითი
სიმრავლე {00, 10, 01, 11} ველია, თუ ნულია 00, ერთეული 10, შეკრება და გამრავლება შემდეგი:
10 + 10 = 00, 10 + 01 = 11, 10 + 11 = 01, 01 + 01 = 00, 01 + 11 = 10, 11 + 11 = 00
01 • 01 = 11, 01 • 11 = 10, 11 • 11 = 01

ველის მახასიათებელი

თუ ველის ერთიანის თავის თავთან ჯამებს განვიხილავთ მივიღებთ ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლის ველში ასახვას. ეს ასახვა შესაძლოა განსხვავებულ რიცხვებს განსხვავებულ ელემენტებში გადაიტანს. ამ შემთხვევაში ველის 0-ში არც ერთი ელემენტი არ გადადის. თუ რომელიმე ნატურალური რიცხვი n ნულში გადავიდა მაშინ გვექნება რომ n + 1 ისევ ერთიანში გადავიდა. ველის ერთიანში გადავა 1 და n + 1, რაც პირობას ეწინააღმდეგება. რადგან ყოველი ნატურალური რიცხვის ანასახი ნულისაგან განსხვავდება, შესაძლებელი იქნება რაციონალურ რიცხვთა ასახვა აღებულ ველში. ადვილი შესამოწმებელია რომ ეს ასახვაც ცალსახაა, განსხვავებული რაციონალური რიცხვი განსხვავებულში გადადის. მივიღეთ რაციონალურ რიცხვთა ველის ჩადგმას აღებულ ველში. ასეთ შემთხვევაში ამბობენ რომ ველის მახასიათებელია 0. ანუ 0 არის ის ერთადერთი რაციონალური რიცხვი რომლის გამრავლებაც ერთიანზე იძლევა ნულს.

განვიხილოთ სხვა შემთხვევა, ანუ ველის ელემენტში შესაძლოა რამდენიმე განსხვავებული რიცხვი გადადის. ავიღოთ ორი განსხვავებული ნატურალური რიცხვი რომელთა ანასახებიც ტოლია. ამ ნატურალურ რიცხვთა დადებითი სხვაობის ანასახი ნულის ტოლია, ანუ არსებობს რიცხვი ისეთი რომ ამ რაოდენობის ერთიანთა ჯამი ნულის ტოლია. ამგვარ რიცხვთა შორის ავირჩიოთ უმცირესი. ამ ნატურალურ რიცხვს ველის მახასიათებელს უწოდებენ. ეს რიცხვი აუცილებლად მარტივია. ის რომ შედგენილი იყოს არ იქნებოდა უმცირესი, რადგან ველში ნულის გამყოფები არ არის.

ამგვარად რაციონალურ რიცხვთა ველი უმცირესი უსასრულო ველია. სასრულ ველთა შორის კი უმცირესებია მარტივი რიცხვის მიმართ ნაშთებიZk ველი.

თუ ველის მახასიათებელია დადებითი რიცხვი k, მაშინ ველის ყოველი ელემენტისათვის სამართლიანია ტოლობა
k • x = x + . . . + x = 0
ამგვარ ველში არის უმცირესი სასრული, k ელემენტისაგან შემდგარი ქვეველი, ერთიანის თავის თავთან ჯამების ერთობლიობა. ამ ქვეველს ვუწოდოთ ძირეული, ან პრიმარული ველი. ნათელია ის რომელიღაც Zk-ს იზომორფულია. მაგალითად, ზემოთ აგებული ოთხელემენტიანი ველის მახასიათებელია 2.

ველის ჰომომორფიზმი

ვთქვათ მოცემულია ორი ველი V და W. განვიხილოთ ასახვა f რომელიც შეთანხმებულია შეკრებასთან, გამრავლებასთან, ნულს ნულში გადაიტანს და ერთიანს ერთიანში, ანუ ინახავს ველის სტრუქტურას

(a + b)f = af + bf
(a • b)f = af • bf
0f = 0 და 1f = 1
ჩვეულებრივ სტრუქტურის შემნახავ ასახვას ჰომომორფიზმს უწოდებენ.

აქედან
(-a)f + af = (-a + a)f = 0f = 0
და მაშასადამე (-a)f = -(af)
af • (a-)t = (a • a-)f = 1f = 1
და მაშასადამე (a-)f = (af)-

თუ ველი რომელშიც ავსახავთ განსხვავდება ნულოვანი ველისაგან, მაშინ ნულში მხოლოდ ნული გადადის. მართლაც, თუ a ≠ 0 და af = 0, მაშინ
1 = 1f = (a- • a)f = (a-)f • (af) = (a-)f • 0 = 0
xf = (x • 1)f = xf • 1f = xf • 0 = 0
რაც ნიშნავს, რომ ყველაფერი გადადის ნულში, ანუ ველი რომელშიც ავსახავთ ნულოვანი ველია.

ტრივიალური შემთხვევის გარდა ველთა ჰომომორფიზმი აუცილებლად მონომორფიზმია, ანუ ყოველ ელემენტს აქვს არა უმეტეს ერთი წინასახე, განსხვავებული ელემენტები განსხვავებულებში გადადის. თუ af = bf, მაშინ (a - b)f = af - bf = 0 და a - b = 0, ამიტომ a = b.

ყოველივე ზემოდ თქმულიდან გამომდინარეობს რომ თუ ორ არანულოვან ველს შორის ჰომომორფიზმი არსებობს მაშინ ორივეს მახასიათებელი ერთი და იგივეა.

განვიხილოთ ველის ველში ჩადგმა V ⊂ W. ამგვარ ვითარებას ველის გაფართოებას ვუწოდებთ, W არის ველი V-ს გაფართოება. ეს არ გამორიცხავს რომ არსებობს სხვა ჰომომორფიზმიც V → W. ანუ გაფართოება დამოკიდებულია თუ როგორ არის ჩადგმული ერთი ველი მეორეში.

მაგალითი
ზემოთ აგებულ ოთხელემენტიან ველში Z2-ის ჩადგმაა 0 → 00, 1 → 10.