მათემატიკა

გალუას თანადობა

გალუას თანადობის მიზანია ერთი სტრუქტურის ობიექტს შეუსაბამოს მეორე სტრუქტურის ობიექტი, რათა პირველი დაახასიათოს მეორის საშუალებით. ასეთივე იდეაა როდესაც კოორდინატების შემოტანით გეომეტრიულ ობიექტს ვუთანადებთ ალგებრულ განტოლებას, რათა გეომეტრიული ამოცანა ალგებრის საშუალებით გადავწყვიტოთ. ამგვარი მეთოდი ფართოდ გამოიყენება ალგებრულ ტოპოლოგიაში, რომლის შემდგომი განზოგადოებაა კატეგორიათა თეორიაც.

ინგლისურად - Galois connection
ფრანგულად - une correspondance de Galois
გერმანულად - die Galoisverbindung
იტალიურად - ?
ესპანურად - una conexión de Galois
რუსულად - соответствие Галуа

დალაგებული სიმრავლე და მორფიზმი

ამბობენ ორი სიმრავლის ელემენტთა შორის მოცემულია მიმართება, თუ გარკვეულია ამ სიმრავლეთა რომელი წყვილია ერთმანთთან მიმართებაში და რომელი არა. მიმართება წარმოგვიდგება როგორც სიმრავლეთა ნამრავლის ერთმანეთთან მიმართებაში მყოფ ელემნტთა წყვილების ქვესიმრავლე R ⊂ X × Y.

ინგლისურად - relation
ფრანგულად - la relation
გერმანულად - die Beziehung
იტალიურად - la relazione
ესპანურად - la relación
რუსულად - отношение

მაგალითი
თუ X-იც და Y-იც ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეა მეტობა მიმართებაა. 2 მიმართებაშია 5-თან და არ არის მიმართებაში 1-თან. თავის მხრივ 1 ყველა ნატურალურ რიცხვთან მიმართებაშია.

მაგალითი
თუ X-იც და Y-იც ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეა, გაყოფადობა მიმართების მაგალითია. 4 მიმართებაშია 2-თან, ანუ 4 იყოფა 2-ზე. 4 არ არის მიმართებაში 3-თან და არც ერთ ნატურალურ რიცხვთან 2-ის, 4-ის და 1-ის გარდა.

მაგალითი
X იყოს რაიმე სიმრავლე, ხოლო Y მის ქვესიმრავლეთა სიმრავლე. X-ის ელემენტი ეკუთვნის Y-ის ელემენტს, ანუ X-ის ქვესიმრავლეს, არის X-სა და Y-ს შორის მიმართება.

მაგალითი
განვიხილოთ ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე R და მრავალწევრთა სიმრავლე P. ამბობენ რომ რიცხვი r არის მრავალწევრ p(x)-ის ფესვი თუ მასში ჩასმული იძლევა ნულს, p(r) = 0. "მრავალწევრ p(x)-ის ფესვია r" არის მიმართება P × R-ში.

დალგებულ სიმრავლეს ვუწოდებთ სიმრავლეს მიმართებით ≤, რომელიც აკმაყოფილებს პირობებს
- x ≤ x ყოველი x-სათვის
- თუ x ≤ y და y ≤ z, მაშინ x ≤ z
- თუ x ≤ y და y ≤ x, მაშინ x = y
ჩვეულებრივ ხმარობენ ტერმინს "ნაწილობრივ დალაგებული", ხოლო დალაგებულს უწოდებენ სავსებით დალაგებულს, ანუ სიმრავლეს რომელშიც ყოველი ორი ელემენტისათვის ან x ≤ y ან y ≤ x.
ჩემი წარმოდეგენით
დალაგება ტოპოლოგიური სტრუქტურაა. დალგებული სიმრავლე T0-სივრცეა რომელშიც ყოველ წერტილს აქვს მინიმალური მიდამო, ან სხვაგვარად რომელიც ღიათა ყოველი თანაკვეთა ღიაა, ან ჩაკეტილთა ყოველი გაერთიანება ჩაკეტილია. პირველი რაც უნდა შევნიშნო ეს ორადობაა. რადგან ღიათა თანაკვეთა ღიაა შეგვიძლია იმავე სიმრავლეზე განვსაზღვროთ ტოპოლოგია რომელშიც ღიებს ვუწოდოთ ჩაკეტილი, ხოლო ჩაკეტილებს ღია. ეს იქნება ისევ ტოპოლოგიური სივრცე, ვუწოდოთ მას შეუღლებული, ან ორადული. ორადული ტოპოლოგიით წერტილი a-ს მიდამო იქნება ყველა იმ წერტილთა სიმრავლე რომელთა მიდამოშიც შედის a.

ინგლისურად - partially ordered set. შემოკლებით ხმარობენ poset
ფრანგულად - un ensemble partiellement ordonné
გერმანულად - die halbgeordneten Menge
იტალიურად - un insieme parzialmente ordinato
ესპანურად - un conjunto parcialmente ordenado
რუსულად - частично упорядоченное множество

მაგალითი
სამ პირველ მაგალითში განხილული მიმართებები დალაგებაა. პირველ მაგალითში ნატურალური რიცხვის მინიმალური მიდამოა მასზე არანეკლებ რიცხვთა სიმრავლე. მეორე მაგალითში რიცხვის მინიმალური მიდამოა მისი გამყოფების სიმრავლე. ან თუ ორადულ ტოპოლოგიას ვიგულისხმებთ რიცხვის ჯერადების სიმრავლე. მესამე მაგალითში ქვესიმრავლის მინიმალლური მიდამოა ყველა მის მომცველთა ქვესიმრავლეთა სიმრავლე, ან თუ ორადულ ტოპოლოგიას ვიგულისხმებთ ყველა მასაში შემავალ ქვესიმრავლეთა სიმრავლე.

მაგალითი
თუ X ტოპოლოგიური სივრცეა, მაშინ წინა მაგალითში შეგვიძლია გამოვყოთ ნაწილი, რომელიც მხოლოდ ღია სიმრავლეთა ერთობლიობა იქნება.

განსაზღვრება
ასახვას f: A → B ორ დალაგებულ სიმრავლეს შორის ვუწოდოთ მონოტონური თუ ის ინახავს დალაგებას, ანუ x ≤ y ⇒ xf ≤ yf

მონოტონურ ასახვას წერტილის მინიმალური მიდამო გადააქვს წერტილის ანასახის მინიმალურ მიდამოში. აქედან დასკვნა, მონოტონური ასახვა უწყვეტი ასახვაა. პირიქითაც, თუ ასახვა უწყვეტია წერტილის ანასახის მინიმალური მიდამოს წინასახე მოიცავს წერტილის მინიმალურ მიდამოს, ანუ უწყვეტი ასახვა მონოტონურია. სრული ექვივალენტობაა.
ასახვა უწყვეტია, ანუ მონოტონურია თუ ყოველი წერტილისათვის (Ma)f ⊂ M(af).

კონტრავარიანტული ასახვა იქნება შეუღლებული ტოპოლოგიით უწყვეტი ასახვა, ანუ ყოველი წერტილისათვის ჩართავა (Ma)g ⊂ F(ag).

მაგალითი
ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლის თავის თავში იგიური ასახვა იქნება ზემოთ განხილული ორი დალაგების მონოტონური ასახვა,
გაყოფით განმარტებული დალაგებიდან ჩვეულებრივი დალაგებისაკენ.

მონოტონურ ასახვას ასევე უწოდებენ კოვარიანტულ ასახვას, რადგან ის ინახავს მიმართულებას. გარდა მონოტონური ასახვისა სასარგებლოა ასახვის განხილვაც, რომელიც დალაგებას შეაბრუნებს
x ≤ y ⇒ xf ≥ yf
ამგვარ ასახვას უწოდებენ კონტრავარიანტულ ასახვას, ანუ მიმართულების შემბრუნებელ ასახვას.

კონტრავარიანტული ასახვის მაგივრად შეიძლება ერთ ერთ სიმრავლეში მიმართება შევაბრუნოთ და განვიხილოთ ამის შედეგად წარმოქმნილი კოვარიანტული ასახვა. ეს ორი მიდგომა სავსებით ექვივალენტურია, ერთი და იგივე შედეგს იძლევა.

მაგალითი
ქვესიმრავლეთა სიმრავლის თავის თავში ასახვა, რომელიც ქვესიმრავლეს მის დამატებას შეუსაბამებს კონტრავარიანტული ასახვის ბუნებრივი მაგალითია.

შეუღლებული ასახვები

შეუღლება, ანუ ორადობა მათემატიკის ერთ ერთი საინტერესო ილეთია. ეს ილეთი ალბათ პირველად გააზრებულად იხმარა ევარისტ გალუამ (Évariste Galois, 1811.10.25 - 1832.05.31). დღეს ამ ცნებას დალაგებულ სიმრავლეებისათვის ხმარობენ. მისი შესატყვისია ფუნქტორთა შეუღლებაც.

განსაზღვრება
დალაგებულ სიმრავლეთა მონოტონურ ასახვებს f: A → B, g: B → A ვუწოდებთ შეუღლებულს თუ სრულდება პირობა
a ≤ (af)g და (bg)f ≤ b

ინგლისურად - adjoint
ფრანგულად - adjoint
გერმანულად - adjungierter
იტალიურად - ?
ესპანურად - adjuntos
რუსულად - сопряжённые

თეორემა
თუ f: A → B, g: B → A შეუღლებული ასახვებია, მაშინ
((af)g)f = af და ((bg)f)g = bg

მტკიცება
რადგან a ≤ (af)g, მონოტონურობის გამო af ≥ ((af)g)f. მაგრამ თავის მხრივ af ≤ (af)g)f. აქედან ტოლობა ((af)g)f = af. ასევე მტკიცდება მეორე ტოლობაც.

თეორემა
თუ f: A → B, g: B → A შეუღლებული ასახვებია, მაშინ
a ≤ bg ⇔ af ≤ b

მტკიცება
a ≤ bg ⇒ af ≤ (bf)g ⇒ af ≤ (bf)g ≤ b ⇒ af ≤ b
af ≤ b ⇒ (ag)f ≤ bg ⇒ a ≤ (ag)f ≤ bg ⇒ a ≤ bg

ასევე სამართლიანია შებრუნებული

თეორემა
თუ ორ დალაგებულ სიმრავლეს შორის განმარტებულია ასახვები f: A → B და g: B → A პირობით: a ≤ bg ⇔ af ≤ b, მაშინ ეს ასახვები შეუღლებული ასახვებია

მტკიცება
ჯერ
af ≤ af ⇒ a ≤ (af)g
bg ≤ bg ⇒ (bg)f ≤ b
სამართლიანია მონოტონურობაც
a ≤ a' ⇒ a ≤ a' ≤ (a'f)g ⇒ a ≤ (a'f)g ⇒ af ≤ a'f
b ≤ b' ⇒ (bg)f ≤ b ≤ b' ⇒ (bg)f ≤ b' ⇒ bg ≤ b'g

გალუას თანადობა

ვთქვათ მოცემულია დალაგებული სიმრავლეების A, B შეუღლებული ასახვები f: A → B, g: B → A. თუ სიმრავლე B-ში დალაგებას შევაბრუნებთ იგივე ასახვები გახდება კონტრავარიანტული, ხოლო შეუღლების პირობა გამოიყურება შემდეგნაირად: a ≤ (af)g და b ≤ (bg)f.

ამგვარად წარმოდგენილ ვითარებას, ჩვეულებრივ, გალუას თანადობას უწოდებენ. გალუას თანადობა არის შეუღლებული ასახვების კონტრავარიანტული ანალოგი.

მაგალითი
ზემოთ მოტანილ მაგალითში განსაზღვრული ასახვა თავის თავის მიმართ გალუას თანადობაა.

მაგალითი
ვთქვათ მოცემულია ასახვა f: X → Y. სიმრავლე A იყოს X-ის ქვესიმრავლეთა სიმრავლე ჩადგმის დალაგებით, ხოლო სიმრავლე B იყოს Y-ის ქვესიმრავლეთა სიმრავლე იმავე დალაგებით. ასახვას f: A → B ელემენტი a ∈ A, ანუ X-ის ქვესიმრავლე, a ⊂ X, გადაჰქონდეს Y-ის ქვესიმრავლეში af ⊂ Y, a-ს ანასახი. ხოლო ასახვა g: B → A იყოს წინასახის აღება, ანუ bg = bf-. ორივე ეს ასახვა კოვარიანტული ასახვებია, ანუ დალაგებას ინახავს. ადვილი მისახვედრია, რომ ეს ასახვები შეუღლებულია. მეტიც, g ∘ f: B → B იგიური ასახვაა.
ამ ასახვათა კომპოზიციები დამატებასთან (მაგალითი) გალუას თანადობა იქნება.

სიმრავლეთა წყვილზე გალუას თანადობის წარმოშობა შესაძლოა სხვადასხვა საშუალებებით. ერთ ერთი ასეთი საშუალებაა მიმართება.

ვთქვათ სიმრავლეებს, X და Y შორის მოცემულია მიმართება, R ⊂ X × Y. ეს მიმართება აჩენს გალუას თანადობას X-ის ჩართვის მიმართ დალაგებულ ქვესიმრავლეთა სიმრავლე A-სა და Y-ის ჩართვის მიმართ დალაგებულ ქვესიმრავლეთა სიმრავლე B-ს შორის
f: A → B და g: B → A
თუ a არის A-ს ელემენტი, ანუ X-ის ქვესიმრავლე, a ⊂ X, მაშინ af იქნება Y-ის ქვესიმრავლე ყველა იმ ელემენტთა, რომელიც მიმართებაშია a-ს ყველა ელემენტთან: y ∈ fa ⇔ ∀x ∈ a (x, y) ∈ R
ასევე განიმარტება bg: x ∈ bg ⇔ ∀y ∈ b (x, y) ∈ R

თეორემა
აღწერილი ასახვები გალუას თანადობაა

მტკიცება
ასახვები კონტრავარიანტულია. მართლაც, თუ a ⊂ a' და y ∈ a'f, მაშინ ∀x ∈ a' (x, y) ∈ R და მათ შორის a-ს ყველა ელემენტისათვის. ასე რომ af ⊃ a'f. ასევე ასახვა g-სათვის.
თუ x ∈ a და y ∈ af, მაშინ (x, y) ∈ R, საიდანაც a ⊂ (ag)f. ანალოგიურად ასახვა g-სათვის.

სამართლიანია შეუღლებული ასახვების პირობის ანალოგიური

თეორემა
თუ ორ დალაგებულ სიმრავლეს შორის განმარტებულია ასახვები f: A → B და g: B → A პირობით: a ≤ bg ⇔ af ≥ b, მაშინ ეს გალუას თანადობაა

მტკიცება
ჯერ
af ≤ af ⇒ a ≤ (af)g
bg ≤ bg ⇒ b ≤ (bg)f
სამართლიანია მონოტონურობაც
a ≤ a' ⇒ a ≤ a' ≤ (a'f)g ⇒ a ≤ (a'f)g ⇒ af ≤ a'f
b ≤ b' ⇒ (bg)f ≤ b ≤ b' ⇒ (bg)f ≤ b' ⇒ bg ≤ b'g

გალუას თანადობა მესერზე

ვთქვათ მოცემულია გალუას თანადობა მესერებზე f: A → B, g: B → A. ეს ნიშნავს რომ A-შიც და B-შიც გვაქვს ოპერაციები გაერთიანება და თანაკვეთა. რადგან а ⋀ a' < а < а ⋁ а' და а ⋀ a' < а' < а ⋁ а' გვექნება

(a ⋀ a')f > af ⋀ a'f > af ⋁ a'f > (а ⋁ а')f
აქედან კი
(a ⋀ a')fg < (af ⋀ a'f)g < (af ⋁ a'f)g < (а ⋁ а')fg