მათემატიკა

გალუას თანადობა და ტოპოლოგია

დალგებული სიმრავლე T0-სივრცეა რომელშიც ყოველ წერტილს აქვს მინიმალური მიდამო, ან სხვაგვარად რომელიც ღიათა ყოველი თანაკვეთა ღიაა, ან ჩაკეტილთა ყოველი გაერთიანება ჩაკეტილია. ამ თავში მინდა გალუას თანადობა აღვწერო ტოპოლოგიურ ტერმინოლოგიაში. ტერმინში სივრცე მხოლოდ ამგვარ ტოპოლოგიურ სივრცეს ვიგულისხმებ. სივრცის წერტილი x-ის მინიმალურ მიდამოს აღვნიშნავ Ox-ით. პირველი რაც უნდა შევნიშნო ეს ორადობაა. რადგან ღიათა თანაკვეთა ღიაა შეგვიძლია იმავე სიმრავლეზე განვსაზღვროთ ტოპოლოგია რომელშიც ღიებს ვუწოდოთ ჩაკეტილი, ხოლო ჩაკეტილებს ღია. ეს იქნება ისევ ტოპოლოგიური სივრცე, ვუწოდოთ მას შეუღლებული, ან ორადული. ორადული ტოპოლოგიით წერტილ x-ის მიდამო იქნება Fx, ყველა იმ წერტილთა სიმრავლე რომლის ყოველ მიდამოში შედის x.

მაგალითი
ვთქვათ X ნებისმიერი ტოპოლოგიური სივრცეა. განვიხილოთ მისი ღია სიმრავლეთა ერთობლიობა U. შემოვიტანოთ U-ში ტოპოლოგია შემდეგნაირად: u-ს მინიმალური მიდამო იყოს მის მომცველ ღია სიმრავლეთა ერთობლიობა, ანუ v ∈ Ou ⇔ u ⊂ v. ორადული ტოპოლოგიით u-ს მინიმალური მიდამო იქნება Fu ∋ v ⇔ v ⊂ u.

მონოტონურ ასახვას წერტილის მინიმალური მიდამო გადააქვს წერტილის ანასახის მინიმალურ მიდამოში. აქედან დასკვნა, მონოტონური ასახვა უწყვეტი ასახვაა. პირიქითაც, თუ ასახვა უწყვეტია წერტილის ანასახის მინიმალური მიდამოს წინასახე მოიცავს წერტილის მინიმალურ მიდამოს, ანუ უწყვეტი ასახვა მონოტონურია. სრული ექვივალენტობაა. ასახვა უწყვეტია, ანუ მონოტონურია თუ ყოველი წერტილისათვის (Oa)f ⊂ O(af).

კონტრავარიანტული ასახვა იქნება შეუღლებული ტოპოლოგიით უწყვეტი ასახვა, ანუ ყოველი წერტილისათვის ჩართვა (Oa)g ⊂ F(ag). მარტივი

თეორემა
სივრცეთა კონტრავარიანტული ასახვები f: A → B, g: B → A ჰქმნიან გალუას თანადობას თუ სრულდება პირობა:
a(f ∘ g) ∈ Oa და b(g ∘ f) ∈ Ob

თუ f: A → B და g: B → A გალუას თანადობაა, მაშინ O(a(f ∘ g)) ⊂ Oa და, შესაბამისად, O(b(g ∘ f)) ⊂ Ob.