მათემატიკა

გრასმანიანის გეომეტრია

განვიხილოთ საკმაოდ დიდი განზომილების წრფივი სივრცე E ნამდვილ რიცხვთა ველის მიმართ. ავირჩიოთ მასზე მცირე განზომილება და განვიხილოთ ამ განზომილების ქვეესივრცეთა ერთობლიობა, გრასმანიანი G. თვით გრასმანიანი წარმოვიდგინოთ როგორც ფიზიკური სივრცე, რომელშიც ხდება ფიზიკური მოვლენები, ხოლო ძირითადი სივრცის ვექტორი როგორც მდგომარეობა სივრცის წერტილში, ანუ მის მომცველ ქვესივრცეში.

როგორც ვიცით გრასმანიანზე არსებობს წრფივ ფიბრაციათა ზუსტი მიმდევრობა.

0 → P → E × G → Q → 0
↘     ↓     ↙
G
გრასმანიანის სტანდარტული ფიბრაცია: გრასმანიანის წერტილი p-ს ფენა თვით ქვესივრცე p-ა
p ⊂ P
↓     ↓
p ∈ G
გრასმანიანის სტანდარტული ფიბრაცია
nbsp p ⊂ P ⊂ E × G → Q ⊃ E/p
nbsp ↓      ↘       ↓       ↙         ↓
E ⊃ p ∈           G               ∋ p ⊂ E

წრფივი სივრცე E-ს ნებისმიერი ვექტორი იძლება კვეთას სისტემაში E × G → G და ამ კვეთის ანასახს სისტემაში Q → G, ხოლო სისტემაში P → G გრასმანიანის ნაწილზე, ამ ვექტორის შემცველ წერტილთა სიმრავლეზე. ვექტორ a-ს შემaცველ წერტილთა გრასმანიანის ნაწილი აღვნიშნოთ Ga-თი, ხოლო მასზე ვექტორ a-თი განსაზღვრული კვეთაSa: Ga → P. გრასმანიანის წერტილ p-ს ანასახი იქნება a ∈ p, წერტილი P-ში. ამ წერტილის მხები წარმოგვიდგება როგორც ნამრავლი
Ta ∈ pP = p × Lin(p, E/p)
იმავე წერტილის მხები, ოღონდ უკვე სივრცე E × G-ში იქნება
T[a, p]P = E × Lin(p, E/p)
ხოლო როგორც სისტემა Q-ს წერტილის კი E / p × Lin(p, E/p)

თუ გვაქვს კვეთა გრასმანიანის ნაწილიზე s: U → E × G მაშინ ამ კვეთის მეშვეობით შეგვიძლია ავაგოთ იმავე ნაწილზე კვეთა Ts: U → Q:
თუ u ∈ U u(Ts) იყოს us-ის ანასახი ფიბრაციათა E × G → Q ასახვით.

us → u(Ts)
↘     ↙
u

თუ განვიხილავთ დიდი სივრცე E-ს გარე ნამრავლ ⋀ k-ს პროექციულ სივრცეს. მასში შეგვიძლია ჩავდგათ გრასმანიანიმი: ავიღოთ გრასმანიანის წერტილი p, E-ს k განზომილების ქვესივრცე. ავირჩიოთ მისი ბაზისი x1, x2, . . .,xk და ავსახოთ p E-ს მასზე დაჭიმულ ერთგანზომილებიან ქვესივრცეში, პროექციული სივრცის წერტილში. თუ დავუკვირდებით ბაზისის ცვლილება არ გამოიწვევს ანასახის ცვლილებას, რადგან ანასახი ვექტორები გარე ნამრავლში ერთმანეთის ჯერადია.

გავიხსენოთ სიმპლექტური ფორმის განზოგადოებაც
ω:TuP × TuP → Q
თუ v, w ∈ TuP, u ∈ p ∈ G და v = [x, f], w = [y, g],სადაც x,y ∈ p ∈ G, ხოლო f, g ∈ TpG = Lin(p,E/p)
მაშინ (v, w)ω = xg - yf ∈ E/p.

. შუალედურ გრასმანიანში თავისი გრაფიკით ჩაიდგმება GL(p)-ც. ქვესივრცე d, ანუ წერტილი შესაბამება GL(p)-ს იგიურ ასახვას, ხოლო Lin(d, d) მისი მხები და, მაშასადამე, ლის ალგებრა.

ფიბრაციები და სიმპლექტური სტრუქტურა
კანონიკური ჩადგმა Lin(p, E/p) ⊂ TxP იძლევა ქვესივრცეთა ველს P-ზე. ეს ქვესივრცეები ლაგრანჟის ქვესივრცეებია. ქვესივრცეთა განზომილება ბაზის განზომილების ტოლია. აქ უკვე საკითხი დგება ამ ველის ინტეგრებადობაზე, ანუ არსებობს თუ არა კვეთა რომლის მხებიც ეს ქვესივრცეებია. ამ კითხვას ლოკალური პასუხი აქვს.

ავირჩიოთ S-ის ქვესივრცე q, რომელიც გამოდგება G-ის ზოგიერთი წერტილის დამატებათ. ყველა ამ წერტილთა ქვესიმრავლე აღვნიშნოთ Gq-თი, ანუ p ∈ Gq ⇔ p ∩ q = 0. სივრცე S-ის ვექტორი s, რომელიც არ ეკუთვნის q-ს, განსაზღვრავს საჭირო კვეთას შემდეგნაირად: თუ p ∈ Gq, კვეთის მნიშვნელობა ამ წერტილზე იყოს p ∩ (s + q). ვექტორი s-ითა განსაზღვრული კვეთა აღვნიშნოთ ლურჯად s: Gq → P.
ფიზიკა და გრასმანიანი
ფიბრაცია
ფენაF ⊂ T ტოტალური სივრცე
    ↓     ↓
    x ∈ B
ბაზა
ბაზა - ფიზიკური სივრცე, მოვლენის განვითრების ადგილი
ფენა - წერტილში შესაძლო მდგომარეობათა სიმრავლე კომპოზიცია ქვედა შემდეგ ზედა (პროექცია) იგიურია
გრასმანიანის სტანდარტული ფიბრაცია
p ⊂ P ⊂ E × G → Q ⊃ E/p
↓      ↘       ↓       ↙         ↓
p ∈           G               ∋ p
წრფივი ფიბრაცია
T ⊂ P
↓     ↓
B ⊂ G
გრასმანიანის მხები
გრასმანიანის წერტილის, ქვესივრცე p-ს სივრცე E-ში მონომორფიზმთა სიმრავლე
Mon(p, E)
GL(P) ⊂ Mon(p, E) → G

ფიბრაციის მხებთა შესაბამისი ზუსტი მიმდევრობა
0 → TaF = TaGL(P) → TmMon(p, E) → TpG → 0
0 → Lin(p, p) → Lin(p, E) → TpG → 0
0 → Lin(p, p) → Lin(p, E) → Lin(p, E / p) → 0

დასკვნა:
TpG = Lin(p, E/p)
გრასმანიანის სტანდარტული ფიბრაციის მხები
TxP = p × Lin(p, E/p)
ამაზე უკვე ორადწრფივი სიმპლექტური ფორმა მნიშვნელობებით E/p-ში. იზოტროპული ქვესივრცეები და ლაგრანჟისაც.
თუ ფიბრაცია იმგვარად არის ჩადგმული გრასმანიანის სტანდარტულ ფიბრაციაში რომ მის განსხვავებულ წერტილთა თანაკვეთა ნულია, მაშინ შესაძლოა ის არის მარაოს ნაწილი და მასზე კიდევ არსებობს დამატებითი სტრუქტურაც.
მარაოს მხები
მარაოზე სტანდარტული ფიბრაციის ამოკვეთა არის
E → M
რადგან ტოტალური სივრცე იქნება E = ფენათა გაერთიანება. აქედან
0 → p = TxF = p → TxT = E → TpM → 0
ანუ
0 → p →E → TpM → 0
აქედან
TpM = E/p
უცნაური კვეთა
ყოველ აფინურ სივრცეში არჩეული წერტილი
au ∈ a