მათემატიკა

ჯგუფის მოქმედება

ავიღოთ სიმრავლე X-ის თავის თავში ურთიერთცალსახა ასახვათა ჯგუფი SX. თუ მოცემულია სიმრავლე A და მისი ასახვა SX-ში, A → SX ვიტყვით რომ სიმრავლე A მოქმედებს სიმრავლე X-ზე, X × A → X. მოქმედების შედეგი ელემენტების უბრალო მიდგმით აღვნიშნოთ, [x, a] → xa. X-სა და A-ს ნებისმიერი წყვილისათვის x და a განისაზღვრება მოქმედების შედეგი xa.

ინგლისურად - action of a group
ფრანგულად - une action d'un groupe
გერმანულად - einer Gruppenoperation
იტალიურად - un'azione di gruppo
ესპანურად - Una acción de un grupo
რუსულად - Действие группы

უბრალო მაგალითი
თუ A-დ ავიღებთ თვით SX-ს გვექნება მოქმედების მაგალითი. SX-ის ნებისმიეირი ქვესიმრავლე A იქნება მოქმედების მაგალითი. ფაქტიურად ყველა მოქმედება დაიყვანება ამ მაგალითზე. თუ X სასრული სიმრავლეა SX-იც სასრული იქნება. ეს ჯგუფი ჩვეულებრივ სიმეტრიულ ჯგუფად მოიხსენიება.

ვთქვათ გვაქვს A-ს მოქმედება X-ზე, ანუ A ⊂ SX. თუ ავიღებთ X-ის ნებისმიერ ელემენტ x-ს და ვიმოქმედებთ მასზე A-ს ყველა ელემენტით მივიღებთ X-ის ქვესიმრავლე xA-ს. ამ ქვესიმრავლეს ჩვეულებრივ x-ის ორბიტს უწოდებენ.

ინგლისურად - orbit
ფრანგულად - une orbite
გერმანულად - die Bahn ან den Orbit
იტალიურად - un orbite
ესპანურად - una órbita
რუსულად - орбита

განვიხილოთ განსაკუთრებული მოქმედება, A ⊂ SX პირობებით:
- იგიური ანასახშია. აღვნიშნოთ ის e-თი.
- ნებისმიერი წყვილისათვის x, y არსებობს ერთადერთი m, ისეთი რომ xm = y
X-ის წერტილისათვის a → xa ურთიერთ ცალსახა ასახვაა A-დან X-ზე. ყოველი წერტილის ორბიტა მთლიანად X-ია.
X-ის ნებისმიერი წერტილი x მოგვცემს A-ში გამრავლების შემოტანის საშუალებას:
a • b ის ერთადერთია A-დან რომლისათვისაც x(a • b) = (xa)b. კომპოზიციას ემსგავსება, ოღონდ მხოლოდ ერთ ელემენტზე.
გასაგებია, e • a = а, რადგან x(e • a) = (xe)а = xa. ასევე x(a • e) = (xa)e = xa.
X-ის ყოველ წერტილს თავისებური გამრავლება შემოაქვს. ეს გამრავლებები ერთი და იგივეა თუ A ჯგუფ SX-ის ქვეჯგუფია.

ავიღოთ სიმრავლე X-ის თავის თავში ურთიერთცალსახა ასახვათა ჯგუფი UX. თუ მოცემულია რაიმე ჯგუფი G და მისი ჰომომორფიზმი UX-ში, f: G → UX ამბობენ რომ ჯგუფი G მოქმედებს სიმრავლე X-ზე. სიმრავლე X-სა და ჯგუფ G-ს ელემენტთა ნებისმიერი წყვილისათვის x და g განისაზღვრება მოქმედების შედეგი xg = x(gf).

ინგლისურად - group action
ფრანგულად - une action d'un groupe
გერმანულად - eine Gruppenoperation
იტალიურად - un'azione di gruppo
ესპანურად - una acción de un grupo
რუსულად - действие группы

ჰომომორფიზმობა ნიშნავს რომ ოპერაციას G-ში შეესაბამება UX-ში კომპოზიცია. გვექნება
x(g • h) = x((g • h)f) = x(gf ∘ hf) = (x(gf))(hf) = (xg)h

განსაზღვრა
მოქმედების ბირთვი ვუწოდოთ ქვეჯგუფს, რომლის ელემენტებიც X-ის ყველა ელემენტზე ტრივიალურად მოქმედებს, ანუ მოქმედების ჰომომორფიზმის G → UX ბირთვი.

თეორემა
ჯგუფის მოქმედების ბირთვი ჯგუფის ნორმალური გამყოფია

მტკიცება
ჰომომორფიზმის ბირთვი ნორმალური გამყოფია.

მაგალითი
განვიხილოთ შემთხვევა X = {a, b, c} და მასზე მოქმედი ჯგუფი SX. მოქმედების შედეგი იქნება
a(a b c) = b
b(a b c) = c
c(a b c) = a
a(a c) = c
c(a c) = a

მაგალითი
თუ მოცემულია ჯგუფი G მისი ყოველი ელემენტი g შეგვიძლია განვიხილოთ როგორც თვით G-ის ურთიერთ ცალსახა ასახვა g თავის თავში
x → xg = x • g
მივიღეთ ასახვა G → SG, გალურჯება g → g. ეს ასახვა ჩადგმაა, რადგან განსხვავებულ ელემენტებს განსხვავებული ანასახი შეესაბამება. G-ს ელემენტების შესაბამის ასახვებს, ერთიანი სხვადასხვაში გადააქვთ, 1g = 1 • g = g.

მაგალითი
ჯგუფი G თავის თავზე მოქმედების სხვა მაგალითი იქნება შემდეგი. G-ის ელემენტ g-ს მოქმედება განისაზღროს ასახვით
x → xg = g- • x • g
ეს ასახვა ავტომორფიზმია და მას შიდა ავტომორფიზმს უწოდებენ.
ეს მოქმედება საინტერესო და აზრიანია არაკომუტატური ჯგუფისათვის. აბელის ჯგუფისათვის ის უინტერესოა რადგან არც არსებობს, ყველა იგიურია. არაკომუტატურ შემთხვევაში მისი ბირთვი არის ჯგუფის ყოველ ელემენტთან გადაადგილებადი ელემენტების ქვეჯგუფი.

მაგალითი
Z6-ის მოქმედება ექვს ელემენტიან სიმრავლეზე, ჩადგმა Z6 ⊂ S6:
0 → 1, იგიური ასახვა
1 → (1 2 3 4 5 6)
2 → (1 3 5)(2 4 6)
3 → (1 4)(2 5)(3 6)
4 → (1 5 3)(2 6 4)
5 → (1 6 5 4 3 2)

მაგალითი
საინტერესოა ასევე S3-ის ჩადგმა S6-ში, რომელიც არის US3. ამისათვის შემოვიღოთ აღნიშვნები:
a - 1 იგიური, b - (2 3), c - (1 3), d - (1 2), e - (1 2 3), f - (1 3 2)
ჩადგმა განისაზღვრება ასახვით
1 → 1, იგიური
(2 3) → (a b)(c e)(d f)
(1 3) → (a c)(b f)(d e)
(1 2) → (a d)(b e)(c f)
(1 2 3) → (a e f)(b d c)
(1 3 2) → (a f e)(b c d)

მაგალითი
ავიღოთ ნებისმიერი სიმრავლე და მისი თავის თავზე k ჯერადი ნამრავლი Xk. განვიხილოთ ჯგუფი Sk, სიმრავლე {1, . . ., k}-ის გადანაცვლებათა ჯგუფი. Sk მოქმედებს Xk-ზე კოორდინატების შესაბამისი გადანაცვლებით, i-ური კოორდინატი გადადის კოორდინატად ადგილზე, რომელშიც გადანაცვლებას გადააქვს i. გასაგებია, რომ ნამრავლის დიაგონალის ელემენტი ყოველი გადანაცვლებით ადგილზე რჩება, რადგან მისი კოორდინატები ერთი და იგივეა.
თუ ავიღებთ სიმეტრიულ ჯგუფ S3-ს, გვექნება
(x, y, z)1 = (x, y, z)
(x, y, z)(2 3) = (x, z, y)
(x, y, z)(1 3) = (z, y, x)
(x, y, z)(1 2) = (y, x, z)
(x, y, z)(1 2 3) = (z, x, y)
(x, y, z)(1 3 2) = (y, z, x)

ორბიტი

მოქმედებასთან დაკავშირებულია უძრავი წერტილის, უძრავი ქვესიმრავლისა და მინიმალური უძრავი ქვესიმრავლის ცნებები.

განსაზღვრა
X-ის ქვესიმრავლე A-ს ვუწოდოთ ინვარიანტული ქვესიმრავლე G-ს მოქმედების მიმართ თუ მისი ყოველი ელემენტის ანასახი ისევ A-შია
g ∈ G, x ∈ A ⇒ xg ∈ A
მინიმალურ ინვარიანტულ ქვესიმრავლეს უწოდებენ G-ის მოქმედების ორბიტს

ინგლისურად - orbit
ფრანგულად - une orbite
გერმანულად - die Bahn ან den Orbit
იტალიურად - un orbite
ესპანურად - una órbita
რუსულად - орбита

ყოველი ორბიტი G-ს ფაქტორ სიმრავლეა. ანუ, ორბიტის ელემენტის არჩევით მყარდება სურექციული ასახვა G-დან ორბიტზე. ორბიტში დავაფიქსიროთ წერტილი, x. ჯგუფის ელემენტ g-ს შევუსაბამოთ xg, მივიღებთ ასახვას G-დან ორბიტზე, g → xg. ჯგუფ G-დან გამოიყოფა ქვესიმრავლე რომელიც x-ს ადგილზე ტოვებს, Kx. ნათელია, რომ Kx ოპერაციის მიმართ ჩაკეტილია, ერთეულსაც შეიცავს და ყოველი თავისი ელემენტის შებრუნებულსაც, ანუ ეს ქვესიმრავლე G-ს ქვეჯგუფია. G-ის ანასახი სრულად აღწერს ორბიტს, ანუ ყოველი ორბიტი ურთიერთ ცალსახა თანადობაშია G-ის Kx-ით ფაქტორ სიმრავლესთან.

თუ Kx-ში მხოლოდ ერთი ელემენტია ორბიტი სრული ყოფილა. ამგვარი ორბიტი აფინური სივრცის ანალოგია. თვით ჯგუფისაგან მხოლოდ ელემენტის ფიქსაციით განსხვავდება. ეს მაქსიმალური სიდიდის ორბიტი იქნება.

თუ ორბიტზე სხვა ელემენტს ავირჩევთ მივიღებთ სხვა ექვივალენტობას, მაგრამ ფაქტორ სიმრავლე ისევ ორბიტის ტოლი იქნება. ვთქვათ მეორე არჩეული წერტილია xg. რადგან xu = x ყოველი u-სათვის Kx-დან, გვექნება
(xg)(g- • u • g) = x(g • g- • u • g) = x(u • g) = (xu)g = xg
ანუ g- • u • g ∈ K(xg).
პირიქითაც. ვთქვათ v ∈ K(xg), ანუ (xg)v = xg.
x(g • v • g-) = (((xg)v)g- = (xg)g- = x(g • g-) = x
რაც ნიშნავს, რომ g • v • g-Kx. მაგრამ v = g- • (g • v • g-) • g. მივიღეთ, რომ K(xg) = g-Kx • g.

ასახვა u → g- • u • g არის სწორედ ის ასახვა, რომელიც განსაზღვრავს ორბიტის სხვა და სხვა წარმოდგენას როგორც ჯგუფის ფაქტორ სიმრავლე.

ქვეჯგუფ H-საგან მიღებულ ქვეჯგუფს g- • H • g, ჩვეულებრივ, H-ის შეუღლებულს უწოდებენ.

ორბიტის ყოველ წერტილს შეესაბამება ქვეჯგუფი ჯგუფი G-დან. ეს ქვეჯგუფები შეუღლებული ქვეჯგუფებია და ყოველი მათგანის მიმართ ფაქტორ სიმრავლე ურთიერთ ცალსახა თანადობაშია ორბიტთან. აქედან

თეორემა
თუ ჯგუფი სასრულია ყოველ ორბიტში ელემენტების რაოდენობა ჰყოფს ჯგუფის ელემენტთა რაოდენობას

მტკიცება
ლაგრანჟის თეორემის შედეგია.

ჯგუფის მოქმედება თავის ნორმალურ ქვეჯგუფზე
ვთქვათ მოცემულია ჯგუფი G და მისი ნორმალური ქვეჯგუფი N. ეს ნიშნავს, რომ N ყოველი შიდა ავტომორფიზმისათვის ინვარიანტული სიმრავლეა, ანუ G-ს ელემენტები მოქმედებენ N-ზე
g ∈ G, x ∈ N, x → xg = g- • x • g ∈ N
ამ ვითარებას რომ ეწოდოს G-ს მოქმედება N-ზე საჭიროა მოქმედების შეთანხმება კომპოზიციასთან. ესეც ადვილი შესამოწმებელია
(xg)h = h- • (g- • x • g) • h = (h- • g-) • x • (g • h) = (g • h)- • x • (g • h) = x(g • h)
აქვე განვიხილოთ N-ის მოქმედება G-ზე მარცხნიდან გამრავლებით
n ∈ N, x ∈ G, x → n • x
ამ მოქმედების მიმართ ყოველი შრე ორბიტია. ასე რომ ფაქტორ ჯგუფი შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ როგორც ორბიტთა სიმრავლე.

მაგალითი
ავიღოთ სიმრავლე X3-ზე მოქმედი სიმეტრიული ჯგუფი S3 ეს მოქმედება ჰქმნის სამი ტიპის ორბიტს. ერთ წევრიანების
{(x, x, x)}
სამ წევრიანების
{(x, x, y), (x, y, x), (y, x, x)} და ექვს წევრიანების
{(x, y, z), (x, z, y), (y, x, z), (y, z, x), (z, x, y), (z, y, x)}
(x, x, y)-ს ადგილზე ტოვებს გადანაცვლება (1 2). ორბიტი, სიმრავლე {(x, x, y), (x, y, x), (y, x, x)} წარმოგვიდგება როგორც ფაქტორ სიმრავლე S3 / {1, (1 2)}. თუ საწყისად ავიღებთ წერტილ (x, y, x)-ს, მაშინ ორბიტი წარმოგვიდგება როგორც S3 / {1, (1 3)}, საწყისი წერტილი (y, x, x)-სათვის როგორც S3 / {1, (2 3)}. პირველი ტიპის ორბიტი ამ მოქმედების უძრავი წერტილია. თუ წერტილ (x, y, z)-ს განსხვავებული კოორდინატები აქვს მაშინ მისი შესაბამისი ორბიტი სრულია, უდრის S3-ს.
არ არსებობს ორბიტი S3 / A3-ის შესაბამისი.
სრული ორბიტი იშლება ორ ქვეორბიტად {(x, y, z), (y, z, x), (z, x, y)} და {(x, z, y), (y, x, z), (z. y, x)}. ან სამ ქვეორბიტად
{(x, y, z), (x, z, y)}, {(y, x, z), (y, z, x)} და {(z. y, x), (z, x, y)}.

ჯგუფის მოქმედება წრფივ სივრცეზე

ერთ ერთი საინტერესო და გავრცელებული თემაა ჯგუფის მოქმედება წრფივ სივრცეზე. ანუ ჯგუფის ჰომომორფიზმი წრფივი სივრცის იზომორფიზმთა ჯგუფში. ამ თემას ჯგუფის წარმოდგენას (წარდგენას) უწოდებენ.

ინგლისურად - group representation
ფრანგულად - la representation de groupe
გერმანულად - die Gruppendarstellung
იტალიურად - le rappresentazioni dei gruppi
ესპანურად - la representación de grupo
რუსულად - представление группы

განსაკუთრებით გავრცელებული და საინტერესოა სასრული ჯგუფის წარმოდგენათა თეორია. შემდგომში ვგულისხმობ რომ მოცემულია ჯგუფი G, წრფივი სივრცე E-ს ავტომორფიზმთა ჯგუფის ქვეჯგუფი.

მაგალითი
ვთქვათ V ⊂ W
ველთა გაფართოებაა. ველი W არის V-წრფივი სივრცე. ავტომორფიზმთა ჯგუფში გამოვყოთ V-ავტომორფიზმებს რომელიც W-ში გამრავლებასთან არის შეთანხმებული. ამ შეთანხმების შედეგად V-ს ელემენტები ადგილზე რჩება. მივიღებთ ქვეჯგუფ G-ს, რომელსაც გალუას ჯგუფს უწოდებენ. ამის განზოგადოება იქნება ალგებრის V-ავტომორფიზმთა ჯგუფის გამრავლებასთან შეთანხმებულ ავტომორფიზმთა ქვეჯგუფი.

მაგალითი
კიდევ უფრო ზოგადია მარაოს ჯგუფი. ვთქვათ მოცემულია წრფივი სივრცე E და მასში მარაო M. სივრცე E-ს ავტომორფიზმთა ჯგუფიდან გამოვყოთ ქვეჯგუფი, რომლის ელემენტებისათვის მარაოში შემავალი ყოველი ქვესივრცე ინვარიანტული ქვესივრცეა.

მაგალითი
მოქმედების საინტერესო მაგალითია სასრულ განზომილებიანი წრფივი სივრცის ავტომორფიზმთა ჯგუფის მოქმედება მისივე რაიმე წრფივ სივრცეში მონომორფიზმთა სივრცეზე. ვთქვათ p არის k განზომილების წრფივი სივრცე, ხოლო E მეტი განზომილების, n ასევე წრფივი სივრცე. Mon იყოს p-დან E-ში მონომორფიზმთა სიმრავლე. წრფივ სივრცე E-ზე მოქმედებს p-ს ავტომორფიზმთა ჯგუფი GL(p): თუ m: p → E მონომორფიზმია, ხოლო u ავტომორფიზმი GL(p)-დან u ∘ m-იც მონომორფიზმი იქნება. ყველა ორბიტი სრულია და მათი სიმრავლე გრასმანიანია, G. ასახვა, პროექცია Mon → G, u → Im u. ნამდვილ რიცხვთა ველის შემთხვევაში ფიბრაციაა.
E-ს ნებისმიერი ავტომორფიზმი იწვევს ორბიტთა სიმრავლე G-ს ტრანსფორმაციას. მხოლოდ ჰომოთეტია არის ამ სიმრავლის იგიური ასახვა. E-ში ნებისმიერი მარაო M არის გრასმანიანის ქვესივრცე. E-ს ავტომორფიზმთა სიმრავლე რომელიც მარაოს მარაოში ასახავს აღვნიშნოთ AM-ით, მისი ქვეჯგუფი რომელიც მარაოს იგიურად ასახავს BM-ით. გვექნება V ⊂ BM ⊂ AM ⊂ GL(E), ჰომოთეტია ველი V-ს E-ზე მოქმედებაა.