მათემატიკა

გრასმანიანი

მარტივი ობიექტის მარტივ ქვეობიექტთა სიმრავლე, ჩვეულებრივ, საკმაოდ საინტერესო ბუნებრივი სტრუქტურის მატარებელია. მაგალითისათვის სიმრავლის ქვესიმრავლეთა სიმრავლე ბულის ალგებრაა. ამ ნაწილში აღვწერთ ბუნებრივ სრუქტურას წრფივი სივრცის ფიქსირებული განზომილების ქვესივრცეთა სიმრავლეს.

განსაზღვრა
წრფივი სივრცის ფიქსირებული განზომილების ქვესივრცეთა ერთობლიობას გრასმანიანს უწოდებენ

დარქმეულია ჰერმან გრასმანის (Hermann Günther Graßmann, 1809.04.15 – 1877.09.26) პატივსაცემად. თვით მისი 1844 წელს გამოცემული ნაშრომია Die Lineale Ausdehnungslehre – Ein neuer Zweig der Mathematik

ინგლისურად - grassmannian
ფრანგულად - la grassmannienne
გერმანულად - die Graßmann-Mannigfaltigkeit
იტალიურად - la grassmanniana
ესპანურად - el grasmaniano
რუსულად - грассманиан

ვთქვათ მოცემულია ველი V-ს მიმართ წრფივი სივრცე E. განვიხილოთ მის ქვესივრცეთა სიმრავლის ერთი და იმავე განზომილების მქონე ქვესივრცეთა ნაწილი. ამგვარ ნაწილს აღვნიშნავთ Gk(E), ან უბრალოდ G როდესაც ეს გაუგებრობას არ გამოიწვევს. ველად ძირითადად ნამდვილ რიცხვთა ველი გვექნება. ცნებათა დიდი ნაწილი ალგებრული ბუნებისაა და ნებისმიერი ველის შემთხვევაშიც ჩამოყალიბდებოდა, მაგრამ ამ თავში ყურადღება მინდა გავამახვილოთ მხებზეც და ინტეგრებაზეც.

რადგან გრასმანიანის წერტილი არის წრფივი ქვესივრცე ამიტომ ის უკვე არის წრფივ სივრცეთა სისტემა. მაშასადამე გვაქვს ასახვა P → G, სადაც P იგულისხმება არა გადამკვეთ სიმრავლეთა გაერთიანებად P = U g (იგულისხმება რომ გაერთიანებაში შემავალი სიმრავლეები ერთანეთს არ ჰკვეთენ), წერტილი g-ის წინასახე, ანუ ფენა არის თვით g, როგორც წრფივი სივრცე. ამ სისტემის ერთ ერთი კვეთა იქნება გრასმანიანის ყოველ წერტილს შევუსაბამოთ მისივე ნული. ამ კვეთით თვით G ჩაიდგმება P-ში.

თუ ძირითადი სივრცე არის E, ხოლო გრასმანიან G-ს წერტილი p, მაშინ p არის E-ს ქვესივრცე და მასზე ფენაც წრფივ სივრცეთა სისტემაში. ასე რომ წრფივ სივრცეთა სტანდარტული სისტემა გრასმანიანზე P → G არის ტრივიალური სისტემის G × E → G ქვესისტემა.

თვით ძირითადი სივრცის ყოველ ქვესიმრავლე X-ს შეესაბამება G-ის ქვესიმრავლე GX, X-ის მომცველ ქვესივრცეთა სიმრავლე, გრასმანიანის წერტილი g ∈ Ga თუ X ⊂ g. თუ X-ში მხოლოდ ერთი ვექტორია გვექნება კვეთაც Gx → P, g → x ∈ g ⊂ P. ნათელია, რომ G0 = G. თუ x ≠ 0, მაშინ ეს ვითარება შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ როგორც ქვესივრცე xV-ს როგორც ღერძის გარშემო ქვესივრცეთა (გრასმანიანის წერტილთა) ერთობლიობა. სამართლიანია

თეორემა
თუ Y ⊂ X, მაშინ GX ⊂ GY, ანუ ასახვა G კონტრავარიანტულია.

მტკიცება

ასევე ნათელია

თეორემა
G(∪ Ai) = ∩ (GAi)

ეს უკანასკნელი თეორემა არის გრასმანიანზე ტოპოლოგიის შემოტანის საფუძველი: ჩაკეტილი სიმრავლეები GA სიმრავლეებია

G-ს საპირისპირო ასახვა H იქნება: თუ X ⊂ G, მაშინ HX იყოს X-ში შემავალ ქვესივრცეთა თანაკვეთა. ნათელია რომ HGA-ში შედის A-ს მომცველი მინიმალური ქვესივრცე და მაშასადამე A ⊂ GHA. ასევე X ⊂ GHX. გვაქვს გალუას თანადობა. სიმრავლე GHA იქნება A-ს ჩაკეტვა. გამოდის GH არის ჩაკეტვის ოპერაცია.

ვთქვათ მოცემულია წრფივი სივრცე E, გრასმანიანი G და მისი წერტილი p, ანუ E-ს წრფივი ქვესივრცე. ავირჩიოთ პროექციის E → E / p შებრუნებული ასახვა a: E / p → E, გვექნება: შრე s ∈ E / p ⇒ sa ∈ s ⊂ E. ადვილი დასანახია, რომ ამგვარ შებრუნებულთა სიმრავლე იქნება Lin(E/p, E)-ს აფინური ქვესივრცე A ⊂ Lin(E/p, E), წრფივი ქვესივრცე Lin(E/p, p)-ს მიმართ, რაც ნიშნავს რომ A-ს ყოველი ორი ელემენტის სხვაობა იქნება წრფივი ასახვა ფაქტორ სივრცე E/p-დან p-ში.

წრფივი ასახვა a ∈ A ⊂ Lin(E/p, E) იძლევა საშუალებას სივრცე E წარმოვადგინოთ როგორც ნამრავლი p × E/p, წყვილ [x, s]-ს p × E/p-დან შევუსაბამოთ E-ს ვექტორი x + sa. რადგან a სპეციფიური ასახვაა, პირობით sa ∈ s, და x ∈ p გვექნება x + sa ∈ s. აგებული ასახვა p × E/p → E იზომორფიზმია.

A-ს ყოველი ელემენტი იძლევა საშუალებას ჩავდგათ Lin(p, E/p) გრასმანიანში: თუ u ∈ Lin(p, E/p), შევქმნათ კომპოზიცია u ∘ a და u-ს შევუსაბამოთ ამ კომპოზიციის გრაფიკი, წრფივი სივრცე E-ს წრფივი ქვესივრცე a(p, u) = {x + (xu)a | x ∈ p}. წრფივი ასახვა a-თი გამოწვეული ასახვის Lin(p, E/p)-დან გრასმანიანში, u → a(p, u) ანასახი, გრასმანიანის ქვესიმრავლე აღვნიშნოთ Ap-თი, a(p, u) ∈ Ap. თვით ძირითადი წრფივი სივრცე E წარმოგვიდგება როგორც Ap-ში შემავალ ქვესივრცეთა გაერთიანებას დამატებული a-ს ანასახი Im a-ს ვექტორები
E = Im a ∪ (∪ X), სადაც X ∈ Ap ↔ Lin(p, E/p)

ნული Lin(p, E/p)-დან გადადის p-ში. აღწერილი ასახვის ანასახი მივიჩნიოთ p-ს საბაზო მიდამოდ, Ap. ხოლო p-ს მიდამოდ ვაღიაროთ სასრული რაოდენობა საბაზო მიდამოთა თანაკვეთა. გრასმანიანზე მივიღებთ ტოპოლოგიას. მივიღეთ პროექციის E → E / p შებრუნებულ ასახვათა სასრული რაოდენობა ai განსაზღვრავს p-ს მიდამოს ∩ Aip. ნამდვილ ან კომპლექსურ ველის შემთხვევაში ტოპოლოგია უფრო ფაქიზიც უნდა განვიხილოთ E / p-დან გადმოტანილი მიდამოების მეშვეობით.

რადგან Lin(p, E / p) წრფივი სივრცეა და აღწერილი ასახვა ინექციაა, წრფივი სივრცე Lin(p, E / p) შეგვიძლია მივიჩნიოთ გრასმანიანი G-ს მხებად წერტილში p. ნამდვილ რიცხვთა ველის შემთხვევაში ეს მართლაც ასეა.

თეორემა
ნამდვილ რიცხვთა ველის მიმართ გრასმანინის მხები წერტილში p არის p-დან E / p-ში წრფივ ასახვათა სივრცის კანონიკურად იზომორფული, TpG = Lin(p, E / p)

მტკიცება
კანონიკურად აქ ნიშნავს თავისთავად განსაზღვრული, არჩევანის გარეშე, ბუნებრივად არსებული. განვიხილოთ გრასმანიანის წერტილის, ქვესივრცე p-ს სივრცე E-ში მონომორფიზმთა სიმრავლე და მისი ასახვა გრასმანიანში Mon(p, E) → G, მონომორფიზმი f გადადის ქვესივრცეში Im f. ეს ასახვა ფიბრაციაა. Mon(p, E)-ზე მოქმედებს ჯგუფი GL(p), ქვესივრცე p-ს ავტომორფიზმთა ჯგუფი. G ამ მოქმედების
ორბიტთა სიმრავლეა, მოქმედების შედეგად მიღებული ფაქტორ სივრცე. ფენა, გასაგებია, დიფეომორფულია თვით ჯგუფი GL(p)-ს. განვიხილოთ სათანადო მხები სივრცეების ზუსტი მიმდევრობა. თავის ნებისმიერ წერტილში ფენის მხები არის Lin(p, p), ხოლო Mon(p, E)-ს მხები Lin(p, E). გვაქვს ზუსტი მიმდევრობა
0 → Lin(p, p) → Lin(p, E) → TpG → 0
ზუსტი მიმდევრობაა აგრეთვე
0 → Lin(p, p) → Lin(p, E) → Lin(p, E / p) → 0
აქედან მივიღეთ კანონიკური იზომორფიზმი TpG → Lin(p, E / p).

თუ გავიხსენებთ პროექციის E → E / p შებრუნებულ ასახვის საშუალებით აგებულ ასახვას Lin(p, E / p) → G ყოველი შებრუნებული ასახვისათვით მივიღებთ გრასმანიანის წერტილ p-ში მხების ჩადგმას გრასმანიანში წერტილი p-ს მიდამოს სახით, TpG → G.

აგებული ასახვის TpG → G დიფერენციალი TpG-ის ნულში იქნება იგიური ასახვა TpG → TpG.

პროექციის E → E / p შებრუნებული ასახვის a: E / p → E ანასახი Im a არის სივრცე E / p-ს იზომორფული. წრფივი სივრცე E-ს ყოველი ელემენტი x აისახება მის მომცველ შრეში x + p და ასახვა a-თი დაბრუნდება E-ში იმავე შრის ელემენტად (x + p)a, შრის x + p თანაკვეთა Iм а-სთან. თვით ვექტორი x იქნება Im a-ს ელემენტ (x + p)a-სა და p-ს ელემენტ x - (x + p)a-ს ჯამი.

გრასმანიანის სტანდარტული ფიბრაცია
ზემოთ აღწერილი გვაქვს წრფივ სივრცეთა სისტემა P → G. ეს სისტემა არის ტრივიალური სისტემის, ნამრავლის E × G → G (ინდექსთა სივრცე გრასმანიანი G-ა, ყოველ ინდექსს ერთი და იგივე სივრცე E შეესაბამება) ქვესისტემა. განვიხილოთ მისი ფაქტორ სისტემაც Q → G, რომლის ფენა p-ზე ფაქტორ სივრცე E / p-ა. გვაქვს წრფივ სისტემათა ზუსტი მიმდევრობა
0 → P → E × G → Q → 0
↘     ↓     ↙
G
ნამდვილ რიცხვთა ველის შემთხვევაში წრფივ ფიბრაციათა ზუსტი მიმდევრობა.

P-ს ელემენტები იგივეა რაც ძირითადი სივრცის, E-ს, ოღონდ ყოველი ვექტორი გამეორებულია იმდენჯერ რამდენი ქვესივრცის წევრიცაა. ასე რომ არსებობს ასახვა E-ზე, ყოველი ვექტორი თავისივე თავში. რაც შეეხება Q-ს სიმრავლურად ეს არის ერთი და იმავე განზომილების ყველა აფინური ქვესივრცის ერთობლიობა. გრასმანიანი მისი ნაწილიცაა და ეპიმორფული ანასახიც, ყოველ აფინურ ქვესივრცეს შეესაბამება წრფივი ქვესივრცე, მისი პარალელური. ასე რომ ზემოდ აღწერილი ზუსტი მიმდევრობა ძალიან ბუნებრივია.

განვიხილოთ ასახვა P → G. ავიღოთ ფენა p-ს წერტილი x ∈ p ⊂ P (ველად ვგულისხმობ ნამდვილ რიცხვთა ველს) და მხებთა შესაბამისი წრფივი ასახვა TxP → TpG. ეს ასახვა ეპიმორფიზმია. ასახვა P → E × G ინექციაა და მხებთა შესაბამისი წრფივი ასახვა TxP → E × TpG = E × Lin(p, E/p) მონომორფიზმია. ამ ჩართვის მიხედვით TxP-ს ყოველი ვექტორი არის [u, f], სადაც u ∈ p, ხოლო f ∈ TpG = Lin(p, E/p), ანუ f: p → E/p. მივიღეთ წრფივი ასახვა TxP-დან Lin(p, E/p)-ში, ჩართვისა და პროექციის კომპოზიცია.

რადგან TxP-ს ყოველი ვექტორი წარმოგვიდგება როგორც წრფივ სივრცეთა ნამრავლი p × Lin(p, E/p)-ს ელემენტი შეგვიძლია განვმარტოთ სიმპლექტური სტრუქტურა ორად წრფივი ასახვით s: TxP × TxP → E/p.
a, b ∈ TmP და a → [u, f], b → [v, g]
(a, b)s = ug - vf ∈ E / p
ამ ორად წრფივ ასახვისათვის ვიხმაროთ სახელად სიმპლექტური ფორმა. ეს არ არის ჩვეულებრივი სიმპლექტური ფორმა რადგან ანასახი ველის მაგივრად წრფივ სივრცეშია, მაგრამ მისი ბევრი თვისება მაინც გააჩნია.

განვიხილოთ ნამრავლ p × Lin(p, E/p)-ში ეგრეთწოდებული იზოტროპული ქვესივრცე, ანუ ისეთი ქვესივრცე რომლის ყოველ ორ ვექტორს შორის სიპლექტური ფორმა ნულის ტოლია. მაქსიმალურ იზოტროპულ ქვესივრცეს ლაგრანჟის (Joseph Louis comte de Lagrange, იტალიურად Giuseppe Ludovico De la Grange Tournier 1736 - 1813) ქვესივრცედ მოიხსენიებენ. ნათელია, რომ უკიდურესი შემთხვევაა თვით p და Lin(p, E/p).

ვთქვათ L ლაგრანჟის ქვესივრცეა, A მისი პროექცია p-ში, A ⊂ p, ხოლო B სივრცე L-ის პროექცია Lin(p, E/p)-ში, B ⊂ Lin(p, E/p). გასაგებია, L ⊂ A × B. ქვესივრცე A-ს ნებისმიერი ელემენტი a-სათვის შემოვიღოთ აღნიშვნა aL ⊂ B, b ∈ aL ⇔ [a, b] ∈ L. ანალოგიურად a ∈ Lb ⇔ [a, b] ∈ L.
ნებისმიერი a-სათვის A-დან aL არის აფინური ქვესივრცე 0L-ის მიმართ, ანუ B / 0L-ის ელემენტი. ასევეა Lb ∈ A / L0.

-

-

-

-

-

⊂ p × Lin(p, E/p)

- თუ u ∉ p, ანუ u = z + (zf)a, მაშინ zf = 0, ანუ. მაგრამ ეს მხოლოდ ნაწილია.

ავირჩიოთ პროექციის E → E/p შებრუნებული ასახვა a: E/p → E. ამ შემთხვევაში წრფივი სივრცე TmP-ს ყოველი ვექტორი წარმოგვიდგება წყვილის სახით [u + va, f], სადაც u ∈ p, v ∈ E/p, ხოლო f ∈ TpG, ანუ წრფივი ასახვა f: p → E/p. ერთ ერთი ტრაექტორია, რომელსაც ვექტორი [u + va, f] მხებად აქვს იქნება
R ∋ r → [x + ur + var, {(z, zfr) | z ∈ p}] ∈ E × G
ეს ტრაექტორია რომ P-ს ეკუთვნოდეს საჭიროა ვექტორი [x + ur, vr] იყოს {[z, zfr] | z ∈ p}-ში, ანუ (x + ur)fr = vr. აქედან xf + (uf)r = v. ეს კი ნიშნავს რომ (uf)r = 0, ანუ uf = 0. გავიხსენოთ რომ f: p → E/p, ანუ u ∈ p.
დასკვნა P-ს ნებისმიერი წერტილის, a, მხები ვექტორი TaP = p × Lin(p, E / p).

ავიღოთ სივრცე E × G-ს ნებისმიერი ელემენტი, [a, p] და განვიხილოთ მისი და მისი ანასახების მხებ სივრცეთა დიაგრამა
T[a, p]E × G → Ta+pQ → 0
↓         ↙
TpG = Lin(p, E/p)
გასაგებია, რომ T[a, p]E × G = E × Lin(p, E/p). ავიღოთ მისი ელემენტი [u, f], u ∈ E და f: p → E/p. დავუშვათ რომ ის გადადის Ta+pQ-ს ნულში. თუ ავირჩევთ p-ს დამატებით ქვესივრცეს, A, მაშინ ერთ ერთი ტრაექტორია რომლის მხებიც იქნება [u, f] არის r → [a + ur, {x + xgr | x ∈ p}], სადაც xg ∈ A და xf = xg + p. ამ ტრაექტორიის ანასახი მუდმივია, ეს კი ნიშნავს რომ u ∈ p და {x + xg | x ∈ p} ⊂ p, ანუ f = 0. აქედან მიმდევრობა
0 → p → E × Lin(p, E/p) → Ta+pQ → 0
ზუსტია და Ta+pQ = E/p × Lin(p, E/p). ეს ყველაფერი ნიშნავს, რომ გრასმანიანის წერტილ p-ს თავზე ფენების (სივრცეებში E × G და Q ) ყოველი წერტილების (სათანადოდ a და a+p) მხებ სივრცეთა ზუსტი მიმდევრობა კანონიკურად, ანუ ბუნებრივად, არჩევანის გარეშე, იზომორფულია ზუსტი მიმდევრობის
0 → p → E × Lin(p, E/p) → E/p × Lin(p, E/p) → 0

წრფივი სივრცე E-ს ნებისმიერი ვეტორი, a, იძლება კვეთას წრფივ სივრცეთა სისტემაში E × G → G და ამ კვეთის ანასახს სისტემაში Q → G. მისი ანასახი სისტემაში Q → G იქნება კვეთა, რომელიც უდრის ნულს წერტილზე p თუ a ∈ p. გრასმანიანის ეს ნაწილი, ანუ ვექტორ a-ს შემცველ გრასმანიანის წერტილთა სიმრავლე აღვნიშნოთ Sa-თი. ვექტორი a განსაზღვრავს კვეთას a: Sa → P. თუ ვიგულისხმებთ რომ ველად ნამდვილი რიცხვებია და წრფივ სივრცე E-ში შემოვიტანთ სკალარულ ნამრავლს, მაშინ კვეთა a-ს გავრცობა მოხერხდება შემდეგნაირად: გრასმანიანის წერტილ p-ს შევუსაბამებთ მის ვექტორს რომელიც ყველაზე ახლოსაა a-სთან. ფუნქციას ქვესივრცე p-ზე x → <x - a, x - a> აქვს მინიმუმი ვექტორში pa ∈ p.

შუალედური გრასმანიანი
ერთ ერთი საინტერესო გრასმანიანია სივრცის განზომილების ნახევრის ტოლი განზომილების ქვესივრცეთა ერთობლიობა. ამ ვითარებისათვის გამოვიყენებ ტერმინს შუალედური გრასმანიანი.

ვთქვათ G შუალედური გრასმანიანია წრფივ სივრცე E-ში და p მისი წერტილი. ამ ვითარებაში E / p თვით p-ს იზომორფულია. ამ იზომორფიზმის არჩევით TpG = Lin(p, E/p) გახდება Lin(p, p) და, მაშასადამე, სტანდარტული ლის ალგებრა. p-ს დამატება q-ც გრასმანიანის წერტილია. რადგან ეს დამატება p-ს იზომორფულია, შეგვიძლია, ზოგადობის დაკარგვის გარეშე, ვიგულისხმოთ რომ საქმე გვაქვს გრასმანიანთან წრფივ სივრცე p × p-ში. წერტილებს p × 0 და 0 × p პოლუსები ვუწოდოთ. გრასმანიანის ყოველი ორი წერტილი, რომელთაც როგორც ქვესივრცეები მხოლოდ ნულოვანი თანაკვეთა აქვთ, შეგვიძლია პოლუსებად წარმოვიდგინოთ და თვით გრასმანიანი ვიგულისხმოთ როგორც მათი ჯამის ქვესივრცეთა გრასმანიანი.

.

.

.

.

შუალედურ გრასმანიანში თავისი გრაფიკით ჩაიდგმება GL(p)-ც. ქვესივრცე d, ანუ წერტილი შესაბამება GL(p)-ს იგიურ ასახვას, ხოლო Lin(d, d) მისი მხები და, მაშასადამე, ლის ალგებრა.

ფიბრაციები და სიმპლექტური სტრუქტურა
გრასმანიაზე არსებობს ბუნებრივი ფიბრაციები. განვიხილოთ ნამრავლი S × G და მისი პროექცია G-ზე, S × G → G. ამ ფიბრაციის ქვეფიბრაცია იქნება P → G, რომლის ფენა გრასმანიან G-ის წერტილ p-ზე იყოს თვით p, ხოლო ფიბრაცია Q → G იყოს ფაქტორ ფიბრაცია, ანუ G-ის წერტილ p-ზე ფენა იქნება S/p. გვექნება ფიბრაციათა ზუსტი მიმდევრობა
0 → P → S × G → Q → 0
↘ . . ↓ . . ↙
G

რადგან P ⊂ S × G, ამიტომ P-ს წერტილი x-ისათვის მხებ სივრცეთა ჩადგმა, TxP ⊂ S × Lin(p, S/p). გამოდის, რომ
TxP = p × Lin(p, S/p)
ამგვარ სივრცეზე არსებობს
სიმპლექტური სტრუქუტრა [(x, f), (y, g)] = gx - fy. კანონიკური ჩადგმა Lin(p, S/p) ⊂ TxP იძლევა ქვესივრცეთა ველს P-ზე. ეს ქვესივრცეები ლაგრანჟის ქვესივრცეებია. ქვესივრცეთა განზომილება ბაზის განზომილების ტოლია. აქ უკვე საკითხი დგება ამ ველის ინტეგრებადობაზე, ანუ არსებობს თუ არა კვეთა რომლის მხებიც ეს ქვესივრცეებია. ამ კითხვას ლოკალური პასუხი აქვს.

ავირჩიოთ S-ის ქვესივრცე q, რომელიც გამოდგება G-ის ზოგიერთი წერტილის დამატებათ. ყველა ამ წერტილთა ქვესიმრავლე აღვნიშნოთ Gq-თი, ანუ p ∈ Gq ⇔ p ∩ q = 0. სივრცე S-ის ვექტორი s, რომელიც არ ეკუთვნის q-ს, განსაზღვრავს საჭირო კვეთას შემდეგნაირად: თუ p ∈ Gq, კვეთის მნიშვნელობა ამ წერტილზე იყოს p ∩ (s + q). ვექტორი s-ითა განსაზღვრული კვეთა აღვნიშნოთ ლურჯად s: Gq → P.