მათემატიკა

ჯგუფის გაფართოება

ჯგუფი X-ის ჯგუფ G-ზე ეპიმორფიზმი დავინახოთ როგორც G-ს გაფართოება. G-ს ყოველი ელემენტის წინა სახე ერთი და იმავე რაოდენობის ელემენტებისაგან შესდგება, ხოლო ერთეულის წინასახე X-ის ქვეჯგუფია, K. ეს ჯგუფი K მოქმედებს სიმრავლე X-ზე ორგვარად, ჯგუფის მოქმედება მარცხნიდან, x → k • x და მარჯვნიდან x → x • k. რადგან K ნორმალური გამყოფია, ამიტომ ყოველი შრე, ანუ G-ს ერთი ელემენტის წინასახე, არის K-ს ორბიტი ორივე მოქმედების მიმართ.

ინგლისურად - group extension
ფრანგულად - une extension de groupe
გერმანულად - ?
იტალიურად - ?
ესპანურად - ?
რუსულად - расширение группы

სასარგებლოა ეს ვითარება დავინახოთ როგორც ფიბრაცია. ჯგუფი G-ის ყოველ ელემენტ g-ს შეესაბამება მოქმედების სრული ორბიტი, g • K, ელემენტ g-ს წინასახე, ფენა g-ზე. გაფართოება X ამ ორბიტათა გაერთიანებაა, X = ∪ g • K. ჯგუფი K არის G-ს ერთეულის ფენა, 1 • K = K. ჯგუფი X-ის ყოველი ელემენტი a განსაზღვრავს X-ის შიდა მოქმედებას, შიდა ავტომორფიზმს, x → a- • x • a. რადგან K ნორმალური გამყოფია ის ინვარიანტულია ამ მოქმედების მიმართ. გვაქვს X-ის მოქმედება K-ზე ავტომორფიზმებით, ჰომომორფიზმი X → Aut K. ამ ჰომომორფიზმის ბირთვში შევა ის ელემენტი რომელიც გადაადგილებადია K-ს ყველა ელემენტთან.

ავირჩიოთ ყოველ ფენაში თითო ელემენტი gs ∈ g • K. ბუნებრივია, 1s იყოს 1. ამგვარ ასახვას G-დან X-ში, რომლის კომპოზიცია ეპიმორფიზმთან იგიურია, ჩვეულებრივ, კვეთას უწოდებენ. ეს კვეთა არ არის ჰომომორფიზმი, მაგრამ განსაზღვრავს ურთიერთ ცალსახა თანადობას X-სა და G × K-ს შორის, [g, k]-ს შეესაბამება gs • k. კვეთა s წინა აბზაცში მოტანილ ჰომომორფიზმთან კომპოზიციით იძლევა ჯგუფი G-ს მოქმედებას K-ზე, g • k = gs- • gs • k. ყოველი მოქმედება ავტომორფიზმია, მაგრამ ასახვა G → Aut K, საერთოდ, ჰომომორფიზმი არ არის.

ასახვა s არ არის ჰომომორფიზმი, (g • u)s ≠ gs • hs. საჭირო შესწორება ხდება ასახვით c: G × G → K, ანუ ტოლობით gs • hs = (g • h)s • (g, h)c. რადგან 1s = 1, გვექნება (g, 1)c = 1 და (1, g)c = 1.

რადგან ასახვა c: G × G → K არის ასახვა s-ის შემასწორებელი, ბუნებრივია, ტოლობაც
(kg)h = (g, h)c- • k(g • h) • (g, h)c
მაინც შევამოწმოთ
(kg)h = hs- • gs- • k • gs • hs = (gs • hs)- • k • (gs • hs) =
= ((g • h)s • (g, h)c)- • k • ((g • h)s • (g, h)c) =
= (g, h)c- • (g • h)s- • k • (g • h)s • (g, h)c =
= (g, h)c- • k(g • h) • (g, h)c
აი სწორედ ესაა სრულფასოვანი მოქმედებიდან გადახრა. მართალია G-ს ელემენტთა მოქმედების კომპოზიცია არ უდრის მათი ნამრავლის მოქმედებას, მაგრამ უდრის ნამრავლის მოქმედებას შემასწორებელი მოქმედებით, (g, h)c.

G-ს K-ზე მოქმედებისა და მისი შესწორება c-ს კიდევ ერთი თვისებაა
(g, g-)cg = (g-, g)c
მართლაც, რადგან 1 = 1s = (g • g-)s
(g, g-)cg = gs- • (g, g-)c • gs = gs- • 1 • (g, g-)c • gs = gs- • (g • g-)s • (g, g-)c • gs = gs- • gs • g-s • gs = g-s • gs = (g- • g)s • (g-, g)c = (g-, g)c

G-ს K-ზე, ასე ვთქვათ, მოქმედებისა და მისი კორექცია c-ს კიდევ ერთი თვისება ასოციურობას უკავშირდება. რადგან (us • vs) • ws = us • (vs • ws), ამიტომ
us • vs • ws = (u • v)s • (u, v)c • ws = (u • v)s • ws • ws- • (u, v)c • ws = (u • v • w)s • (u • v, w)c • (u, v)cw
მეორეს მხრივ
us • vs • ws = us • (v • w)s • (v, w)c = (u • v • w)s • (u, v • w)c • (v, w)c
მივიღეთ ტოლობა
(u • v, w)c • (u, v)cw = (u, v • w)c • (v, w)c

X-სა და G × K-ს ურთიერთ შესაბამისობის გათვალისწინებით [g, k] • [h, m]-ის შესაბამისი უნდა იყოს
gs • k • hs • m = gs • hs • hs- • k • hs • m = (g • h)s • (g • h)c • kh • m
რაც [g • h, (g • h)c • kh • m]-ის შესაბამისია. ასე რომ G × K-ში გვექნება ოპერაცია
[g, k] • [h, m] = [g • h, (g • h)c • kh • m]

გაფართოების აგება

ვთქვათ მოცემულია ჯგუფი G-ს ასახვა ჯგუფ Aut K-ში (აბერაციული მოქმედება) და ასახვა c: G × G → K. ამ მონაცემებით შეგვიძლია განვსაზღვროთ ოპერაცია ნამრავლზე G × K წინა პარაგრაფის ანალოგიურად
[g, k] • [h, m] = [g • h, (g • h)c • kh • m]
გვექნება ასახვათა მიმდევრობაც
1 → K → X → G → 1
ნათელია, პროექცია G × K → G ოპერაციას ინახავს. ჩადგამა k → [1, k] შეინახავს ოპერაციას თუ 1-ის შესაბამისი ავტომორფიზმი იგიური იქნება, ხოლო ასახვა c-ს ექნება თვისება (g, 1)c = 1 და (1, g)c = 1. აღწერილმა ოპერაციამ რომ ჯგუფის აქსიომები დააკმაყოფილოს მოქმედებას და ასახვა c-ს წინა პარაგრაფში მოტანილი თვისებები უნდა ჰქონდეს. ვიგულისხმოთ, რომ მოქმედება და ასახვა ამ პირობებს აკმაყოფილებს
- G-ს ერთიანის მოქმედება იგიური ასახვაა
- (g, 1)c = 1 და (1, h)c = 1
- (kg)h = (g, h)c- • k(g • h) • (g, h)c
- (g, g-)cg = (g-, g)c
- (u • v, w)c • (u, v)cw = (u, v • w)c • (v, w)c

G-ის ყოველი ელემენტის წინასახე უნდა იყოს K-ს მიმართ შრე. გამრავლების პირველ კოორდინატს თუ დავუკვირდებით ეს მართლაც ასეა.

(1, 1) ერთეულია. მართლაც
[g, k] • [1, 1] = [g • 1, (g, 1)c • k1 • 1] = [g, k]
[1, 1] • [g, k] = [1 • g, (1, g)c • 1g • k] = [g, k]

ოპერაციის ასოციურობა
( [u, k] • [v, m] ) • [w, n] = [u • v, (u, v)c • kv • m] • [w, n] =
= [u • v • w, (u • v, w)c • (u, v)cw • (kv)w • mw • n]
[u, k] • ( [v, m] • [w, n] ) = [u, k] • [v • w, (v, w)c • mw • n] =
= [u • v • w, (u, v • w)c • k(v • w) • (v, w)c • mw • n]
საჭიროა მხოლოდ შემოწმდეს ტოლობა
(u • v, w)c • (u, v)cw • (kv)w = (u, v • w)c • k(v • w) • (v, w)c

(u, v • w)c • k(v • w) • (v, w)c =
= (u, v • w)c • (v, w)c • (v, w)c- • k(v • w) • (v, w)c =
= (u, v • w)c • (v, w)c • (kv)w = (u • v, w)c • (u, v)cw • (kv)w

შებრუნებულის დასაწერად მოსაძებნია მხოლოდ m ტოლობიდან
[1, 1] = [g, k] • [g-, m] = [1, (g, g-)c • k(g-) • m]
აქედან m = ((g, g-)c • k(g-))- = k-g- • (g, g-)c
შევამოწმოთ
[g-, k-g- • (g, g-)c] • [g, k] = [1, (g-, g)c • (k-g-)g • (g, g-)cg • k] =
= [1, (g-, g)c • (g-, g)c- • k-(g- • g) • (g-, g)c • (g, g-)cg • k] =
= [1, k- • (g-, g)c • (g, g-)cg • k]

გაფართოებათა სიმრავლე

ვთქვათ მოცემულია ორი გაფართოება, ორი ეპიმორფიზმი a: X → G და b: Y → G. მათ შორის მორფიზმად გავიგოთ ჰომომორფიზმი f: X → Y თუ ის შეთანხმებულია ეპიმორფიზმებთან, ანუ f ∘ b = a. მივიღეთ კატეგორია G, ობიექტია ეპიმორფიზმი G-ზე, ხოლო მორფიზმი მათთან შეთანხმებული ჰომომორფიზმი. ყოველ ეპიმორფიზმს აქვს ბირთვი, ხოლო მორფიზმი იწვევს ბირთვთა ჰომომორფიზმს. შედეგად მივიღეთ ფუნქტორი K აგებული კატეგორიიდან ჯგუფთა კატეგორიაში. გვაქვს ზუსტ მიმდევრობათა კომუტატური დიაგრამაც

1 → Ka → X → G → 1
↓        ↓       ∥
1 → Kb → Y → G → 1

გასაგები და ნათელია, თუ X → Y იზომორფიზმია, მაშინ Ka → Kb ასახვაც იზომორფიმია და პირიქითაც. რა პირობით შეიძლება ჰომომორფიზმის Ka → Kb გაგრძელება X-დან ჰომომორფიზმამდე?
ვთ1ვათ გვაქვს ორი გაფართოება a: იღოX → G და b: Y → G. ავაგოთ ნამრავლი X × Y და გამოვყოთ მასში ქვესიმრავლე X წყილებისა რომელთა შემადგენლები ერთი და იმავე ელემენტში გადადიან