მათემატიკა

ჯგუფი

აღიწერება ალგებრული ოპერაცია სიმრავლეზე, რომლის თვისებაა ასოციურობა. თუ ამას დავუმატებთ ერთიანის არსებობას და ყოველი ელემენტისათვის შებრუნებულის არსებობასაც, მივიღებთ მათემატიკაში ერთ ერთ ძირითად სტრუქტურას, რომელსაც ჯგუფს უწოდებენ. აქვეა ამ ოპერაციასთან დაკავშირებული ცნებებიც.

ინგლისურად - group
ფრანგულად - le groupe
გერმანულად - die Grouppe
იტალიურად - il gruppo
ესპანურად - el grupo
რუსულად - группа

განსაზღვრა
ჯგუფი ვუწოდოთ სიმრავლე G-ს მასში განსაზღვრული ოპერაციით •, რომელიც აკმაყოფილებს პირობებს:
- (a • b) • c = a • (b • c)
- არსებობს ელემენტი 1, ისეთი რომ ყოველი a-სათვის a • 1 = a და 1 • a = a
- ყოველი a-სათვის არსებობს ელემენტი а, ისეთი რომ a • а = 1
- ყოველი a-სათვის არსებობს ელემენტი а, ისეთი რომ a • а = 1

თუ სრულდება დამატებითი პირობა a • b = b • a ყოველი წყვილისათვის (კომუტატურობა), მაშინ ეწოდება კომუტატური ჯგუფი ან აბელის ჯგუფი. Niels Henrik Abel (1802.08.05 – 1829.04.06)

თეორემა
a = а

მტკიცება
a = a • 1 = a • a • а = 1 • а = а

თეორემა
ელემენტთა ყოველი წყვილისათვის a და b განტოლებას a • x = b აქვს ერთადერთი ამონახსენი
ელემენტთა ყოველი წყვილისათვის a და b განტოლებას x • a = b აქვს ერთადერთი ამონახსენი

მტკიცება
თუ c ამონახსენია, მაშინ c = 1 • c = a • a • c = a- • b. ასევე მეორესათვისაც c = c • 1 = c • a • a = b • a.

მაგალითი
განვიხილოთ სიმრავლე X-ის თავის თავში ასახვათა სიმრავლე MX. ამ სიმრავლეში ოპერაცია განვმარტოთ როგორც კომპოზიცია. თუ f და g ასახვებია, მაშინ f • g იყოს ასახვა, რომელიც გულისხმობს ჯერ შესრულებული f და შემდეგ g
x(f • g) = (xf)g
გასაგებია, რომ ეს ოპერაცია ასოციურია, ანუ სრულედება პირველი პირობა (f • g) • h = f • (g • h). არსებობს ერთეულიც, იგიური ასახვა. მაგრამ ყოველი ელემენტისათვის არ არსებობს შებრუნებული.
თუ ამ სიმრავლიდან გამოვყობთ იმ ასახვებს რომელთაც აქვთ შებრუნებული, მივიღებთ ჯგუფს SX. ეს ქვესიმრავლე ურთიერთ ცალსახა ასახვათა ერთობლიობაა.

მაგალითი
SX-იდან გამოვყოთ ისეთი ასახვები, რომელნიც თითქმის ყველა ელემენტს თავის თავში ასახავს. გამოთქმა "თითქმის ყველა" გავიგოთ როგორც ყველა სასრულის გარდა. ამ ელემენტთა სიმრავლე აღვნიშნოთ FX-ით. ასახვა f ∈ FX ნიშნავს რომ სიმრავლე {x ∈ X, რომელთათვისაც xf ≠ x} სასრულია. ამ ქვესიმრავლეს მოვიხსენიებ როგორც f-ის საყრდენი, თუმცა გავრცელებულია ასახვა f-ის მატარებლის ტერმინი, Sup f ⊂ X. ადვილი შესამოწმებელია, რომ FX ჯგუფია.
გასაგებია, რომ თუ X სასრულია, FX = SX.

ავიღოთ FX-ის ელემენტი f. ავირჩიოთ Sup f-დან ელემენტი a. სიმრავლეში {a, af, af2, . . .} განსხვავებულ ელემენტთა რაოდენობა სასრულია, ანუ თვით სიმრავლე სასრულია. ელემენტი afk, იყოს ის პირველი ელემენტი, რომელიც ერთ ერთ წინას უდრის. გვექნება afk = 1, ანუ იგიურ ასახვას 1-ს, sup 1 = ∅. მართლაც, თუ ეს ასე არ არის, მაშინ afk = afn, სადაც n < k. აქედან გამოდის რომ afk-1 = afn-1, მაშასადამე k არ ყოფილა პირველი ასეთი ელემენტი. ასახვა f-ის ეს ნაწილი, კომპონენტი ასე ჩავწეროთ (a af af2 . . . afk-1).
თუ არსებობს კიდევ ერთი ელემენტი, რომელიც ეკუთვნის Sup f-ს და არ შედის სიმრავლეში {a, af, af2, . . .}-ს, ავაგებთ კიდევ ერთ დამატებით ციკლს (b bf bf2 . . .)-ს. თუ რომელიმე bfm უდრის afn-ს, მაშინ ტოლობაზე bfm = afn ვმოქმედებთ f-ით სანამ მარცხენა მხარეს არ მივიღებთ b-ს. გვექნება b = af i. გამოდის რომ არ აგვირჩევია b სიმრავლე {a, af, af2, . . .}-ს გარედან. გავაგრძელოთ ეს პროცესი ამოწურვამდე. რადგან Sup f სასრულია ეს პროცესი დასრულდება. შედეგად მივიღებთ ასახვა f-ის ჩაწერის საშუალებას ციკლების კომპოზიციად. თვით ციკლი არის ასახვა რომელიც a-ს გადაიტანს af-ში, af-ს af2-ში და ასე შემდეგ. რადგან ციკლების სიმრავლეები არ თანაიკვეთება, მაშინ ციკლები, როგორც ასახვები კომუტირებენ. მათი კომპოზიციით მიღებული ასახვა თავდაპირველი ასახვაა
f = (a af af2 . . .)(b bf bf2 . . .) . . .

მაგალითი
თუ X = {a, b}, მაშინ ერთადერთი იგიურისაგან განსხვავებული ასახვა ასე ჩაიწერება (a b).
ჯგუფ S(a, b, c)-ს ელემენტებია 1, (a b), (a c), (b c), (a b c) და (a c b).

მაგალითი
ჯგუფ S(a, b, c, d)-ში შემდეგი ელემენტებია
1, (a b), (a c), (a d), (b c), (b d), (c d)
(a b)(c d), (a c)(b d), (a d)(b c)
(b c d), (b d c), (a c d), (a d c), (a b d), (a d b), (a b c), (a c b)
(a b c d), (a b d c), (a c b d), (a c d b), (a d b c), (a d c b)
ბოლოს ერთი ტექნიკური შენიშვნა. ყოველი ციკლი (a1 a2 . . . ak) შეიძლება ტრანსპოზიციათა, ანუ ელემენტთა წყვილის კომპოზიციად წარმოვადგინოთ
(a1 a2)(a1 a3) . . . (a1 ak)

აქ უკვე მათი თანმიმდევრობის შეცვლა არ შეიძლება, რადგან ეს ტრანსპოზიციები არ კომუტირებენ. გამოდის რომ FX-ის ყოველი ასახვა ტრანსპოზიციათა კომპოზიციაა.
ტრასპოზიციათა კომპოზიციას შემდეგი თვისებები აქვს, იგულისხმება რომ ოთხივე a, b, c, d ერთმანეთისაგან განსხვავებული ელემენტია:
(a b)(c d) = (c d)(a b)
(a b)(a c) = (a c)(b c)
(a b)(a b) = 1

მაგალითი
თუ X-ში ხუთი ელემენტია, FX-ში უკვე 120 ელემენტია და მათი ჩამოწერა გაჭირდება. მოვიტანთ მხოლოდ ელემენტთა აღწერას და რაოდენობებს.
იგიური ასახვა - 1
ტრანსპოზიციები, ანუ (a b) ტიპის ელემენტი - 10
ასახვა რომელიც მხოლოდ სამ ელემენტს ცვლის, ანუ (a b c) = (a b)(a c) ტიპის ელემენტი - 20
ოთხელემენტიანი ასახვა, (a b)(c d) ტიპის - 15
ოთხელემენტიანი ასახვა, (a b c d) = (a b)(a c)(a d) ტიპის - 30
ხუთელემენტიანი ასახვა, (a b c)(d e) = (a b)(a c)(d e) ტიპის - 20
ხუთელემენტიანი ასახვა, (a b c d e) = (a b)(a c)(a d)(a e) ტიპის - 24

მაგალითი
სასრული ჯგუფის მაგალითს იძლევა ნატურალ რიცხვთა ფიქსირებულ რიცხვზე გაყოფის ნაშთების სიმრავლე შეკრების ოპერაციით. მათ ჩვეულებრივ Zk-თი აღნიშნავენ და ციკლურ ჯგუფს უწოდებენ.
Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}. ოპერაცია აღვნიშნოთ ⊕-ით.
2 ⊕ 3 = 0, ხოლო 3 ⊕ 4 = 2.

მაგალითი
ვთქვათ X რაიმე სიმრავლეა. ქვესიმრავლეთა სიმრავლეში განვმარტოთ შეკრების ოპერაცია შემდეგნაირად: თუ a და b ქვეისმრავლეებია, მაშინ a + b იყოს ქვესიმრავლე a ∪ b \ a ∩ b. ადვილი შესამოწმებელია, რომ ჯგუფის აქსიომები სრულდება. ამ ჯგუფის წარმოდგენა შეიძლება სხვაგვარადაც, როგორც X-ის Z2-ში ასახვათა ერთობლიობა: ყოველ ქვესიმრავლეს შეესაბამება ასახვა, რომელიც ამ სიმრავლის ელემენტებს გადაიტანს 1-ში, დანარჩენს კი 0-ში.

ქვეჯგუფი

ქვესიმრავლეს უწოდებენ ქვეჯგუფს თუ მასში ჩატარებადია ყველა ძირითადი ოპერაცია.

განსაზღვრა
ჯგუფის ელემენტთა ქვესიმრავლეს ჩაკეტილს გამრავლებისა და შებრუნების მიმართ ქვეჯგუფს უწოდებენ

ინგლისურად - subgroup
ფრანგულად - le sous-groupe
გერმანულად - die Untergrouppe
იტალიურად - il sottogruppo
ესპანურად - el subgrupo
რუსულად - подгруппа

მაგალითი
ჯგუფის ყოველი ელემენტი წარმოშობს ამ ელემენტის მომცველ უმცირეს ქვეჯგუფს. ამ ქვეჯგუფის ელემენტებია ერთეული, ამ ელემენტის და მისი შებრუნებულის თავის თავზე მოქმედებათა შედეგი, ანუ
{. . ., a−3, a−2, a, 0. a, a2, a3, . . .}
ეს ქვეჯგუფი შეიძლება სასრული გამოვიდეს. ამ შემთხვევაში ქვეჯგუფში შემავალ ელემენტთა რაოდენობას ამ ელემენტის რიგს უწოდებენ.

უმცირესი ნატურალური რიცხვი, n რომლისთვისაც xn = 1 იქნება x-ის რიგი და აღინიშნება ord x-ით. თუ ასეთი ნატურალური არ არსებობს უმცირესი ყოფილა 0, ამიტომ ამგვარი ელემენტის რიგი ნულია.

ინგლისურად - order
ფრანგულად - un ordre
გერმანულად - der Ordnung
იტალიურად -
ესპანურად - el orden
რუსულად - порядок

მაგალითი
S(a, b, c)-ს ქვეჯგუფებია
S(b, c) = {1, (b c)}, S(a, c) = {1, (a c)}, S(a, b) = {1, (a b)}
და
{1, (a b c), (a c b)}

მაგალითი
S(a, b, c, d)-ს ქვეჯგუფებია
S(b, c, d), S(a, c, d), S(a, b, d), S(a, b, c) და მათი ქვეჯგუფები
ასევე
{1, (a b)(c d)}, {1, (a c)(b d)}, {1, (a d)(b c)}
და ამ სამის მომცველი უდიდესი ქვეჯგუფი
{1, (a b)(c d), (a c)(b d), (a d)(b c), (a b c), (a c b), (a b d), (a d b), (a c d), (a d c), (b c d), (b d c)}

მაგალითი
Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}-ს ქვეჯგუფებია {0, 3} და {0, 2, 4}

მაგალითი
ჯგუფ FX-ში გამოვყოთ ელემენტები, რომელთა ტრანსპოზიციათა ნამრავლის სახით წარმოდგენას თანამამრავლების ლუწი რაოდენობა სჭირდება. აღვნიშნოთ ეს სიმრავლე AX-ით. ნათელია, AX არის ჯგუფი FX-ის ქვეჯგუფი. თვით FX არის SX-ის ქვეჯგუფი.

მაგალითი
ყოველი ჯგუფი შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ როგორც SX-ის ქვეჯგუფი. ვთქვათ G ჯგუფია. განვიხილოთ ასახვა G → SG, ელემენტ g-ს შევუსაბამოთ ასახვა მასზე გამრავლება, x → x • g. ნათელია რომ ეს ასახვა ურთიერთცალსახაა, განსხვავებულ ელემენტებს განსხვავებული ასახვები შეესაბამება. მართლაც, თუ g ≠ h, მაშინ პირველის შესაბამისი ასახვა 1-ს გადაიტანს g-ში, მეორის შესაბამისი h-ში.
თუ G სასრულია, მაშინ SG = FG. ასე რომ ყველა სასრული ჯგუფი სიმეტრიული ჯგუფის ქვეჯგუფია.
მაგალითად Z5 ჩაიდგმება SZ5-ში
0 → იგიური
1 → (0 1 2 3 4 5)
2 → (0 2 4)(1 3 5)
3 → (0 3)(1 4)(2 5)
4 → (0 4 2)(1 5 3)
5 → (0 5 4 3 2 1)

ჯგუფის ფაქტორიზაცია

ექვივალენტობის მიხედვით სიმრავლის ქვესიმრავლეებად დაშლა ახალი ობიექტის შექმნის ერთ ერთი შესაძლებლობაა.

ინგლისურად - factorisation (ბრიტანეთში) ან factorization (შეერთებულ შტატებში) ან factoring
ფრანგულად - la factorisation
გერმანულად - eine Faktorisierung
იტალიურად - la fattorizzazione
ესპანურად - la factorizacion
რუსულად - факторизация

მიმართებას უწოდებენ ექვივალენტობას თუ ის რეფლექსური, სიმეტრიული და ტრანზიტულია. ექვივალენტობა სიმრავლეს არაგადამკვეთ შრეებად ჰყოფს. ერთ შრეში შედის ერთმანეთის ექვივალენტური ელემენტები.

განსაზღვრა
ვთქვათ G ჯგუფია და მასში მოცემულია ექვივალენტობა ∼. ვიტყვით რომ ექვივალენტობა ∼ შეთანხმებულია ჯგუფის ოპერაციასთან თუ

x ∼ y ⇒ x ∙ z ∼ y ∙ z
x ∼ y ⇒ z ∙ x ∼ z ∙ y

თეორემა
თუ ექვივალენტობა ოპერაციასთან შეთანხმებულია, მაშინ ექვივალენტურ ელემენტთა სიმრავლეზე, შრეთა სიმრავლეზე გადადის ოპერაცია და შრეთა სიმრავლე ჯგუფი ხდება

მტკიცება
რადგან ექვივალენტობა შეთანხმებულია ოპერაციასთან ორი შრე ცალსახად განმარტავს ნამრავლ შრეს, ანუ ოპერაცია შრეების სიმრავლეზე ცალსახად განიმარტება. აქსიომების ჭეშმარიტება ნათელია.

თეორემა
x ∼ y ⇒ x ∙ y ∼ 1

მტკიცება
x ∼ y ⇒ x ∙ y ∼ y ∙ y = 1

თეორემა
x ∼ y ⇒ x ∼ y

მტკიცება
x ∼ y ⇒ x ∙ y ∼ 1 ⇒ x ∙ x ∙ y ∼ x ⇒ y ∼ x ⇒ x ∼ y

თეორემა
თუ ექვივალენტობა ოპერაციასთან შეთანხმებულია, მაშინ ერთიანის შრე ქვეჯგუფია

მტკიცება
ნათელია

განსაზღვრა
თუ ჯგუფ G-ში ექვივალენტობა ოპერაციასთან შეთანხმებულია და H ერთიანის შრეა, შრეთა სიმრავლეს G-ის ფაქტორ ჯგუფს ვუწოდებთ და აღვნიშნავთ G/H

თუ h ∈ H, ანუ h ∼ 1, მაშინ ყოველი ელემენტ x-ისათვის

h ∙ x ∼ 1 ∙ x = x
აქედან თუ y ∙ x ∈ H, მაშინ x ∼ y. მართლაც, რადგან y ∙ x ∼ 1
y = y ∙ x ∙ x ∼ 1 ∙ x ∼ x
და პირიქითაც, თუ x ∼ y, მაშინ
x ∼ y ⇒ 1 = x ∙ x ∼ y ∙ x ⇒ y ∙ x ∈ H
საიდანაც
y = y ∙ x ∙ x
გამოვიდა, რომ x-ის შრე არის H ∙ x. ასევე დამტკიცდება, რომ x-ის შრე არის x ∙ H, ანუ H ∙ x = x ∙ H. დავამტკიცეთ

თეორემა
თუ ექვივალენტობა ოპერაციასთან შეთანხმებულია ყოველი ელემენტის ექვივალენტობის შრე არის ამ ელემენტის ერთიანის შრეზე ნამრავლი. ოპერაციასთან შეთანხმებულ ექვივალენტობას ერთიანის შრე განსაზღვრავს.

ექვივალენტობის კლასს მასში შემავალი ელემენტის შრეს ვუწოდებ.

ოპერაციასთან შეთანხმებულ ექვივალენტობას ერთიანის შრე განსაზღვრავს, ეს შრე ქვეჯგუფია, მაგრამ ქვეჯგუფით განსაზღრული ექვივალენტობა, სამწუხაროდ, ყოველთვის არ არის ოპერაციასთან შეთანხმებული.

ვთქვათ G ჯგუფია და H მისი ქვეჯგუფი. ქვეჯგუფი H განსაზღვრავს ჯგუფ G-ში არაკომუტატურობის შემთხვევაში ორ განსხვავბულ ექვივალენტობას:

x ∼ y ⇔ ∃h ∈ H y = x ∙ h
x ∽ y ⇔ ∃h ∈ H y = h ∙ x
ანუ
x ∼ y ⇔ y ∙ H = x ∙ H
x ∽ y ⇔ H ∙ y = H ∙ x
დავარქვათ მათ სათანადოთ მარჯვენა და მარცხენა ექვივალენტობა.

რეფლექსურობა ნათელია, x = x ∙ 1
მიმართება სიმეტრიულია:
თუ x ∼ y, ანუ არსებობს H-ის ელემენტი h რომლისათვის გვაქვს ტოლობა y = x ∙ h
გავამრავლოთ ეს ტოლობა h-ზე მარჯვნიდან, გვექნება y ∙ h = x. ეს კი ნიშნავს, რომ y ∼ x
მიმართება ტრანზიტულია:
თუ x ∼ y და y ∼ z, მაშინ ∃h ∈ H y = x ∙ h და ∃h' ∈ H z = y ∙ h'.
აქედან z = y ∙ h' = (x ∙ h) ∙ h' = x ∙ (h ∙ h') ასევე შემოწმდება მარცხენა ექვივალენტობაც.

ელემენტ x-ის მარცხენა ექვივალენტობის შრე აღიწერება როგორც სიმრავლე {h ∙ x}, სადაც h გაირბენს H-ის ყველა ელემენტს, ანუ სიმრავლე H ∙ x. ასევე მარჯვენა ექვივალენტობისათვის x-ის შრე იქნება x ∙ H.

გვექნება ურთიერთ ცალსახა ასახვები H → H ∙ x და H → x ∙ H. ეს ნიშნავს, რომ ყოველ შრეში იმდენივე ელემენტია რაც ქვეჯგუფში. აქედან

თეორემა
სასრულ ჯგუფში ქვეჯგუფის ელემენტთა რაოდენობა ჯგუფის ელემენტთა რაოდენობის გამყოფია

ამ თეორემას ლაგრანჟის (Joseph Louis comte de Lagrange, იტალიურად Giuseppe Ludovico De la Grange Tournier, 1736.01.25 - 1813.04.10) თეორემის სახელით იცნობენ.

რადგან სასრულ ჯგუფში ყოველი ელემენტი ჰქმნის ქვეჯგუფს, ამ ელემენტის ხარისხების სიმრავლის რაოდენობაც ჯგუფის ელემენტთა რაოდენობის გამყოფია. ლაგრანჟის თეორემის შედეგია

თეორემა
სასრული ჯგუფის ყოველი ელემენტის რიგი ჯგუფის ელემენტთა რაოდენობის გამყოფია

აქედან მარტივი დასკვნა. თუ ჯგუფის ელემენტთა რაოდენობა მარტივი რიცხვია, მას ქვეჯგუფი არა აქვს.

ზემოთ განსაზღვრული ორივე ექვივალენტობისათვის ნათელია, რომ ერთიანის შრე ქვეჯგუფია, მაგრამ შრეთა სიმრავლეზე ოპერაცია ყოველთვის ვერ გადადის.

მაგალითი
S(a, b, c)-ში ავიღოთ ქვეჯგუფი {1, (ab)}. ამ ქვეჯგუფით შექმნილი მარცხენა შრეებია

{1, (ab)}, {(ac), (abc)}, {(bc), (acb)}
(ac) ∼ (abc) და (ac)(bc) = (abc), ხოლო (abc)(bc) = (acb). ეს ორი ნამრავლი კი ექვივალენტური არ არის.

იმისათვის რომ ქვეჯგუფით შექმნილ ექვივალენტობის შრეთა სიმრავლეზე ოპერაცია გადავიდეს საჭიროა პირობა:
- G-ის ყოველი ელემენტ x-ისათვის სამრთლიანია ტოლობა H ∙ x = x ∙ H.

განსაზღვრა
ამ პირობის მატარებელ ქვეჯგუფს ნორმალურ გამყოფს უწოდებენ

ინგლისურად - normal subgroup
ფრანგულად - un sous-groupe normal ან sous-groupe distingué ან sous-groupe invariant
გერმანულად - ein Normalteiler ან eine normale Untergruppe
იტალიურად - un sottogruppo normale
ესპანურად - un subgrupo normal ან subgrupo distinguido
რუსულად - нормальная подгруппа ან инвариантная подгруппа

თუ მარჯვენა ექვივალენტურ წყვილს რომელიმე ელემენტზე მარცხნიდან გავამრავლებთ, მივიღებთ ისევ მარჯვენა ექვივალენტურ წყვილს. მართლაც

x ∼ y ⇔ ∃h ∈ H y = x ∙ h ⇒ ∃h ∈ H (z ∙ y) = (z ∙ x) ∙ h ⇒ (z ∙ x) ∼ (z ∙ y)
ასეთივე მსჯელობით
x ∽ y ⇒ (x ∙ z) ∼ (y ∙ z)
მივიღეთ, რომ ჯგუფის ელემენტების მარცხნიდან ფიქსირებულ ელემენტზე გამრავლება მარჯვენა შრეთა სიმრავლის თავის თავში ასახვაა. ასევე იქნება მარცხენა შრეთა სიმრავლის თავის თავში ასახვა ჯგუფის ელემენტების ფიქსირებულ ელემენტზე მარჯვნიდან გამრავლება. მაგრამ ეს არ უზრუნველყოფს გამრავლების ოპერაციის შრეთა სიმრავლეზე გადატანას.

ამრიგად თუ მარცხენა ∼ და მარჯვენა ∽ ექვივალენტობები ერთმანეთს ემთხვევა ეს ერთი და იგივე ექვივალენტობაა და აკმაყოფილებს ჯგუფის ოპერაციის პირობებს, ანუ შრეების სიმრავლეზე შემოდის ჯგუფის სტრუქტურა

ექვივალენტობათა ∼ და ∽ ტოლობა ექვივალენტურია ყველა ტოლობის H ∙ x = x ∙ H.

მარჯვენა შრეთა სიმრავლეზე გამრავლების ოპერაციის გადატანა ნიშნავს ყოველი წყვილისათვის x და y ტოლობას
(x ∙ H) ∙ (y ∙ H) = (x ∙ y) ∙ H
ეს ტოლობა უზრუნველყოფილია თუ ყოველი ელემენტ y-ისათვის
H ∙ y = y ∙ H
ანუ მარჯვენა და მარცხენა შრეთა სიმრავლე ერთი და იგივეა. ან სხვაგვარად, მარჯვენა და მარცხენა ექვივალენტობა ერთი და იგივეა. ამ შემთხვევაში ვიღებთ ფაქტორ ჯგუფს G / H.

ნათელია, რომ კომუტატურ ჯგუფში ყოველი ქვეჯგუფი ნორმალური გამყოფია.

ქვეჯგუფის ნორმალურობის პირობის სხვაგვარად ჩამოყალიბება შეიძლება. თუ H ∙ y = y ∙ H, გავამრავლოთ ტოლობა მარცხნიდან y-ზე. მივიღებთ
y ∙ H ∙ y = H
ანუ H ინვარიანტული ქვესიმრავლეა ასახვისათვის x → y- ∙ x ∙ y. ამ ასახვას G-დან G-ში შინაგან ავტორმორფიზმს უწოდებენ.

ინგლისურად - inner automorphism
ფრანგულად - un automorphisme intérieur
გერმანულად - innere Automorphismen
იტალიურად - un automorfismo interno
ესპანურად - ?
რუსულად - внутренний автоморфизм

მაგალითი
S({a, b, c})-ს ნორმალური გამყოფია {1, (abc), (acb)}. დანარჩენი ქვეჯგუფები პირობას არ აკმაყოფილებს.
{1, (abc), (acb)}-ით ფაქტორ ჯგუფი ორელემენტიანი ჯგუფია

S({a, b, c}) / {1, (abc), (acb)} = {{1, (abc), (acb)}, {(bc), (ac), (ab)}}

თეორემა
შემდეგი დებულებები ექვივალენტურია:
- ქვეჯგუფი H ჯგუფ G-ის ნორმალური გამყოფია
- მარჯვენა და მარცხენა ექვივალენტობა ერთი და იგივეა
- ყოველ ელემენტ a-სათვის ასახვა x → a ∙ x ∙ a ქვეჯგუფ H-ს თავის თავში გადაიტანს

მტკიცება
მეორიდან პირველი დამტკიცებულია
პირველიდან მეორე. პირობა "H არის G-ს ნორმალური გამყოფი" გავიგოთ როგორც ექვივალენტობის არსებობა, რომელიც იძლევა საშუალებას ფაქტორ სიმრავლეზე გამრავლების გადატანას და ამავე დროს ერთიანის შრეა H. პირველ რიგში დავამტკიცოთ რომ ამგვარი ექვივალენტობა ∾ ორივე ზემოდ აღწერილის ტოლფასია. ამ ექვივალენტობის გამრავლებასთან შეთანხმებულობა ნიშნავს, რომ
x ∾ y ⇒ x ∙ z ∾ y ∙ z
x ∾ y ⇒ z ∙ x ∾ z ∙ y
და ერთიანის შრე კი H. თუ h ∈ H ⇒ x, ანუ 1 ∾ h, ამიტომ x ∾ h ∙ x. თუ x ∾ h ∙ x, მაშინ x ∙ x ∾ h ∙ x ∙ x, ანუ 1 ∾ h. ეს ნიშნავს, რომ x-ის შრე არის H ∙ x. ასევე გვექნება, რომ x-ის შრე არის x ∙ H. თუ x ∾ y, მაშინ y = h ∙ x. საიდანაც
y ∙ x = h ∙ x ∙ x = h ∈ H
ეს კი მარჯვენა ექვივალენტობაა. ასევე ვაჩვენებთ მარცხენა ექვივალენტობასთან თანხვედრას. ასე რომ ყველა ეს ექვივალენტობა ერთი და იგივეა.
პირველიდან მესამე. თუ h ∈ H, მაშინ h ∙ x ∾ x. აქედან x ∙ h ∙ x- ∾ x ∙ x = 1 და მაშასადამე x ∙ h ∙ x ∈ H.
მესამიდან პირველი. დავუშვათ, რომ ყოველი x-სათვის სამართლიანია
h ∈ H ⇒ h → x ∙ h ∙ x ∈ H
ანუ x ∙ h ∙ x ∾ 1. აქედან x ∙ h ∾ x. თუ ყოველი x-სათვის სამართლიანია x ∙ h ∾ x, მაშინ x ∙ h ∙ x ყოფილა H-ის ელემენტი.

მაგალითი
FX არის SX-ის ნორმალური გამყოფი. მართლაც. ვთქვათ, f ∈ SX, ანუ f: X → X ურთიერთცალსახა ასახვაა. უნდა ვაჩვენოთ რომ f ∙ FX = FX ∙ f, ანუ f ∙ FX ∙ f = FX. ავიღოთ X-ის ნებისმიერი ელემენტი x და ვიმოქმედოთ მასზე ასახვით f ∙ (u v) ∙ f−. უნდა მივიღოთ x- ზე კომპოზიციით ნამოქმედარი.

თუ xf = u, მაშინ x → xf = u → v → vf = x(uf vf)
თუ xf = v , მაშინ x → xf = v → u → uf = x(uf vf)
თუ xf ≠ u & xf ≠ v, მაშინ x → xf → xf → x = = x(uf vf) = x
. მივიღეთ რომ f ∙ (u v) ∙ f− = (uf vf)
ანუ ტრანსპოზოცია შიდა ავტომორფიზმით ტრანსპოზიციაში გადადის.

მაგალითი
AX არის SX-ის ნორმალური გამყოფი. რადგან SX-ის ყოველი ელემენტი ტრანპოზიციათა ნამრავლია, საკმარისია ტრანპოზიციისათვის შევამოწმოთ ტოლობა
(x y) ∙ AX ∙ (x y) = AX
მაგრამ ეს ნათელია, თანამარავლთა რაოდენობის ლუწობა არ შეიცვალა. ფაქტორ ჯგუფი კი ორელემენტიანია, ანუ AX / SX იზომორფულია Z2-ის.