მათემატიკა

ჰომომორფიზმი

ყოველგვარ სტრუქტურათა შესწავლისას მნიშვნელოვანია ობიექტებს შორის სტრუქტურის შემნახველ ასახვათა განხილვა. ერთი და იგივე სტრუქტურის მატარებელ ობიექტთა და მათ შორის სტრუქტურის შემნახველ ასახვათა მორფიზმთა ერთობლიობა ჰქმნის კატეგორიას. სტრუქტურის ბევრი მახასიათებელი შესაძლოა მხოლოდ ამ კატეგორიის თვისებებით გამოიყოს. ამჯერად ჯგუფთა კატეგორიის მორფიზმებზე გვექნება საუბარი.

ანასახის აღსანიშნავად ფრჩხილებს არ ვიხმარ თუ ეს გაუგებრობას არ გამოიწვევს, ამით ჩანაწერი გამარტივდება.

განსაზღვრა
ორ ჯგუფს შორის ასახვას ჰომომორფიზმს უწოდებენ, თუ ის ოპერაციას ინახავს

(x • y)f = xf • yf

ინგლისურად - homomorphism
ფრანგულად - un homomorphisme
გერმანულად - ein Homomorphismus
იტალიურად - un omomorfismo
ესპანურად - un homomorfismo
რუსულად - гомоморфизм

თეორემა
თუ f: G → H ჰომომორფიზმია, მაშინ 1f = 1 და (xf)- = (x-)f

მტკიცება
1f = (1 ∙ 1)f = 1f ∙ 1f, აქედან 1f = 1. ამის გამოყენებით
(x-)f ∙ xf = (x- ∙ x)f = 1f = 1

თეორემა
ჰომომორფიზმთა კომპოზიცია ჰომომორფიზმია

მტკიცება
ნათელია

ყოველ ჰომომორფიზმს f: G → H უკავშირდება ორი ქვესიმრავლე, ბირთვი Ker f და ანასახი Im f

x ∈ Ker f ⊂ G ⇔ xf = 1
y ∈ Im f ⊂ H ⇔ ∃ x ∈ G xf = y

ადვილი სანახავია, რომ ორივე სათანადო ჯგუფის ქვეჯგუფია.

განსაზღვრა
თუ Ker f = 1, ჰომომორფიზმს მონომორფიზმს უწოდებენ. თუ Im f = H, ჰომომორფიზმს ეპიმორფიზმს უწოდებენ.

ნათელია, რომ ჩადგმა მონომორფიზმია, ხოლო ფაქტორ ჯგუფზე ასახვა ეპიმორფიზმი. ადვილი სანახავია, რომ მონომორფიზმი განსხვავებულებს განსხვავებულებში გადაიტანს. ურთიერთცალსახა ჰომომორფიზმს იზომორფიზს უწოდებენ. იზომორფიზმი მონომორფიზმიცაა და ეპიმორფიზმიც.

ადვილი დასანახია, რომ Ker f ნორმალური გამყოფია და Im f არის ფაქტორ ჯგუფ G / ker f-ის იზომორფული.

ინგლისურად - monomorphism, epimorphism, isomorphism
ფრანგულად - un monomorphisme, un épimorphisme, un isomorphisme
გერმანულად - ein Monomorphismus, ein Epimorphismus, ein Isomorphismus
იტალიურად - un monomorfismo, un epimorfismo, un isomorfismo
ესპანურად - un monomorfismo, un epimorfismo, un isomorfismo
რუსულად - мономорфизм, епиморфизм, изоморфизм

ციკლური ჯგუფები

მაგალითი
ასახვა Z3Z6, რომელიც 1-ს გადაიტანს 2-ში, ხოლო 2-ს 4-ში მონომორფიზმია.

მაგალითი
ასახვა Z6Z2, რომელიც 0-ს, 2-ს და 4-ს გადაიტანს 0-ში, ხოლო 1-ს, 3-ს და 5-ს 1-ში ეპიმორფიზმია.
0 → Z3Z6Z2 → 0
ჰომომორფიზმთა ეს მიმდევრობა ზუსტია.

განსაზღვრა
ჰომომორფიზმთა მიმდევრობას ზუსტს უწოდებენ თუ მონაწილე ჰომომორფიზმის ანასახი მომდევნო ჰომომორფიზმის ბირთვია.

მაგალითი
ზუსტია მიმდევრობაც
0 → Z2Z6Z3 → 0
ასახვა Z2Z6:
0 → 0
1 → 3
ასახვა Z6Z3:
0, 3 → 0
1, 4 → 1
2, 5 → 2

მაგალითი
ნებისმიერი სიმრავლე X-ის შემთხვევაში ასევე ზუსტია მიმდევრობა
0 → AX → SX → Z2 → 0

მაგალითი
ასევე ნებისმიერი სიმრავლე X-ის შემთხვევაში ასახვა Z2SX

0 → 1
1 → (a b)
მონომორფიზმია.
მონომორფიზმია აგრეთვე ასახვაც Z3SX, თუ a, b და c ერთმანეთისაგან განსხვავებული ელემენტებია
0 → 1
1 → (a b)(a c)
2 → (a c)(a b)

მაგალითი
ვთქვათ a1, a2, . . ., a2k განსხვავებული ელემენტებია, მაშინ ელემენტ (a1 a2)(a3 a4) . . . (a2k-1 a2k)-ს რიგი იქნება 2. მართლაც
(a1 a2)(a3 a4) . . . (a2k-1 a2k) ∙ (a1 a2)(a3 a4) . . . (a2k-1 a2k) =
= (a1 a2)(a1 a2)(a3 a4)(a3 a4) . . . (a2k-1 a2k)(a2k-1 a2k) = 1 ∙ 1 ∙ . . . ∙ 1 = 1

თეორემა
თუ a1, a2, . . ., ak განსხვავებული ელემენტებია, მაშინ ციკლური ელემენტი (a1 a2 . . . ak)-ს რიგი იქნება k

მტკიცება
გასაგებია, რომ (a1 a2 . . . ak)k = 1. თუ n < k, მაშინ (a1 a2 . . . ak)n როგორც ასახვა ელემენტ a1-ს გადაიტანს an+1-ში, ანუ (a1 a2 . . . ak)n როგორც ასახვა არ არის იგიური.

თუ X-ში k ცალი ელემენტია, მაშინ შემოვიღოთ აღნიშვნა Ak = AX, ხოლო Sk = SX.

მაგალითი
S3 = {1, (b c), (a c), (a b), (a b c), (a c b)} შეიძლება ჰომომორფიზმით ავსახოთ Z2-ში
1, (a b c), (a c b) → 0
(b c), (a c), (a b) → 1
A3 იზომორფულია Z3-ის. მიმდევრობა
0 → Z3 → S3Z2 → 0
ზუსტია

მაგალითი
S4-ში 24 ელემენტია
1
(a b), (a c), (a d), (b c), (b d), (c d)
(a b)(c d), (a c)(b d), (a d)(b c)
(b c d), (b d c), (a c d), (a d c), (a b d), (a d b), (a b c), (a c b)
(a b c d), (a b dc), (ac b d), (a c d b), (a d b c), (adcb)
A4-ში 12 ელემენტია
1
(a b)(c d), (a c)(b d), (a d)(b c)
(b c d), (b d c), (a c d), (a d c), (a b d), (a d b), (a b c), (a c b)
თუ A4-ს ავსახავთ 0-ში, დანარჩენს კი 1-ში, მივიღებთ ჰომომორფიზმს S4Z2.

მაგალითი
ვთქვათ k = m ∙ n. მიმდევრობა
0 → ZmZkZn → 0
ზუსტია. ასახვა ZkZn ელემენტ 1-ს გადაიტანს 1-ში, ხოლო ასახვა ZmZk ელემენტ 1-ს გადაიტანს n-ში.

ჯგუფთა კატეგორია

განვიხილოთ კატეგორია რომლის ობიექტია ჯგუფი ხოლო მორფიზმი ჯგუფთა ჰომომორფიზმი. თვით სიმრავლეში Mor(A, B) შესაძლებელია ოპერაციის შემოტანა
f, g ∈ Mor(A, B) და x ∈ A x(f ∙ g) = xf ∙ xg
განვიხილოთ სიმრავლური ასახვა f*: x → (xf)-. ნამრავლ (x ∙ y)-ს f* გადაიტანს (x ∙ y)f* = ((x ∙ y)f)- = (xf ∙ yf)- = (yf)- ∙ (xf)- = yf* ∙ xf*, როგორც ვხედავთ შეაბრუნებს. ასე რომ f* მორფიზმი იქნება თუ B კომუტატური ჯგუფია. ამ შემთხვევაში Mor(A, B) ჯგუფია.

აბელის, კომუტატურ ჯგუფთა კატეგორია ჯგუფთა კატეგორისს ქვეკატეგორია, ერთ ერთი ყველაზე სრულყოფილი კატეგორიაა. სრულყოფილი იმ თვალსაზრისით რომ მასში ბევრი სასარგებლო ოპერაციაა და მათ ძლიერი თვისებები აქვთ. ამ კატეგორიის მორფიზმთა ერთობლიობა Mor(A, B) თვით ამავე კატეგორიის ობიექტია.

აბელის ჯგუფთა კატეგორიაში არსებობს ობიექტი, მთელ რიცხვთა ჯგუფი Z, რომელიც უზრუნველყოფს იზომორფიზმს A ↔ Mor(Z, A). გვაქვს ფუნქტორი: ობიექ A-ს შეესაბამება Mor(Z, A). ეს ფუნქტორი კოვარიანტული ფუნქტორია, რომელიც გარკვეული აზრით აიგივებს ობიექტებს მორფიზმებთან, ყოველი ობიექტი შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ როგორც მორფიზმთა ერთობლიობა.

პროექციული და ინექციული

აბელის, ანუ კომუტატურ ჯფუთა კატეგორიაში განსაკუთრებული ობიექტებია. მთელ რიცხვთა სიმრავლე, Z ჯგუფია და მეტიც ის კომუტატური რგოლია. ყველა დანარჩენი ჯგუფი კი Z-მოდული, მთელი რიცხვის ჯგუფის ელემენტზე მოქმედება განისაზღვრება მისი ან მისი შებრუნებულის შეკრებით, xn = x + . . . + x ან (-x) + . . . + (-x), სადაც შესაკრებთა რაოდენობა |n|-ის ტოლია. აქვე გავიხსენოთ ელემენტის რიგი და რომ x(ord x) = 0.
Z-ის ერთ ერთი მნიშვნელოვანი თვისებაა თავისუფლება, ანუ ნებისმიერი ჯგუფის, X ნებისმიერ ელემენტზე, x ერთიანის ასახვა გრძელდება მთელ Z-ზე. ჯგუფის ნებისმიერი ელემნტი x-ისათვის გვექნება ზუსტი მიმდერობაც
0 → (ord x)ZZ → X
ამ თვისების მატარებელია ნებისმიერი სიმრავლე S-ით შექმნილი თავისუფალი ჯგუფი F(S, Z), სასრულ საყრდენიანი ასახვები სიმრავლე S-დან Z-ში. თვისება, ნებისმიერ ჯგუფში S-ის ნებისმიერი ასახვის ჰომომორფიზმამდე გაგრძელების შესაძლებლობის, არის F(S, Z)-ის ძირითადი თვისება. ამ თვისებას თავისუფლება ჰქვია, F(S, Z) თავისუფალი ჯგუფია.
ეს უკანასკნელი თვისება იძლევა შესაძლებლობას ფაქტორ ჯგუფზე ნებისმიერი ჰომომორფიზმი აიწიოს მთელ ჯგუფზე ჰომომორფიზმამდე, რადგან სიმრავლე S-ის აწევა მარტივია, მისი ელემენტების ნებისმიერ წინასახეზე ასახვით. გვაქვს

თეორემა
თუ f: X → Y ეპიმორფიმია, მაშინ ნებისმიერი ჰომომორფიზმისათვის, u თავისუფალი ჯგუფი F(S, Z)-დან Y-ში არსებობს ჰომომორფიზმი v: F(S, Z) → Y ისეთი რომ u = v ∘ f

კატეგორიაში ამ თვისების მატარებელ ობიექტს პროექციულ ობიექტს უწოდებენ.

ორადული თვისების მატარებელია რაციონალურ რიცხვთა ჯგუფის ფაქტორ ჯგუფი მთელ რიცხვთა ქვეჯგუფის მიმართ, Q / Z. ეს უკვე შედეგია თვისების: Q-ს ნებისმიერი ელემენტის ნებისმიერ ნატურალურ რიცხვზე გაყოფა შეიძლება. ეს უკანასკნელი კი უზრუნველყოფს რომ ჯგუფ Q / Z-ში ნებისმიერი რიგის ელემენტი არსებობს, გარდა ნულოვანის.

თეორემა
ნებისმიერი კომუტატური ჯგუფის ქვეჯგუფის ჰომომორფიზმი ჯგუფ Q / Z-ში ვრცელდება მთელი ჯგუფის ჰომომორფიზმამდე

მტკიცება
ვთქვათ X არის კომუტატური ჯგუფი Y-ის ქვეჯგუფი და f ჰომომორფიზმი X-დან Q / Z-ში. ავიღოთ ელემენტი y რომელიც არ შედის X-ში. k იყოს ის უმცირესი ნატურალური რიცხვი, რომლის yk ეკუთვნის X-ს. ავსახოთ y Q / Z-ის ელემენტ (yk)f / k-ში და სათანადოდ მისი ჯერადებიც. თუ ასეთი არ არსებობს და ord y = 0, მაშინ y ავსახოთ Q / Z-ის ნებისმიერ ელემენტში და სათანადოდ მისი ჯერადები yn → 0. თუ ord y ≠ 0, მაშინ y ავსახოთ რიცხვში 1 / ord y + Z და სათანადოდ მისი ჯერადებიც. ამგვარად მივიღეთ f-ის გაფართოება ქვეჯგუფზე X + yZ.
განვიხილოთ f-ის ყველა გაფართოებათა სიმრავლე. ეს სიმრავლე დალაგებული სიმრავლეა. ნებისმიერი გაფართოება თუ ის მთელ Y-ზე არ არის აღწერილი პროცედურით გაფართოებადია. ნებისმიერი ჯაჭვის გაერთიანებაც გაფართოებაა. ასე რომ მაქსიმალური გაფართოების საყრდენი არის X, ანუ საძიებელი. აქ უკვე ცორნის ლემა გვეხმარება.

თეორემაში აღწერილი თვისების მატარებელ ობიექტს ინექციურ ობიექტს უწოდებენ. რადგან ჰომომორფიზმი ნებისმიერი ჯგუფიდან Map(S, Q / Z)-ში განისაზღვრება S-ის ყოველი ელემენტის შესაბამის პროექციასთან (s: Map(S, Q / Z) → Q / Z) კომპოზიციებით, ვასკვნით რომ Map(S, Q / Z)-იც ინექციული ჯგუფია.