მათემატიკა

ჰოპფის ფიბრაცია

იმისათვის რომ ჰოპფის ცნობილი ფიბრაციები დავინახოთ მარაოს ცნების მეშვეობით, საჭიროა განვიხილოთ შემთხვევა როდესაც მარაო სფეროს ჰომეომორფულია. განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც მარაოში შემავალ ქვესივრცეთა განზომილება მთელი სივრცის განზომილების ნახევარია. ამ ვითარებაში ვიხმართ ტერმინს შუალედური მარაო.

ვთქვათ E არის წრფივი სივრცე ნამდვილ რიცხვთა ველის მიმართ და M მასში შუალედური მარაო. ავიღოთ ამ მარაოს ორი ნებისმიერი წერტილი p და q. რადგან მათი თანაკვეთა ნულია, ხოლო განზომილებათა ჯამი მთელი სივრცის განზომილების ტოლი, გვექნება p × q = E. ეს ვითარება აღწერილია, მაგრამ აქ გავიმეორებ:

გავიხსენოთ გრასმანიანის წერტილის წარმოდგენა როგორც წრფივი ასახვის გრაფიკი. შუალედური მარაოს შემთხვევაში ეს ასახვები დამატებით, ნულის გარდა, ყველა იზომორფიზმია. ორი წერტილი, p და q, განსაკუთრებული წერტილებია. p-ს შესაბამისი ასახვა ნულია, ხოლო q-ს ასახვა არც შეესაბამება. ეს წერტილები მოვიხსენიოთ როგორც პოლუსები. მაშასადამე გვაქვს Lin(p, q)-ს ქვესიმრავლე, A რომელშიც ყველა ასახვა იზომორფიზმია და რომელიც ჩაიდგმება მარაოში და დაფარავს მას პოლუსების, p და q, გამოკლებით. Lin(p, q)-ს ქვესიმრავლე A რომ მარაოს წარმოადგენდეს საჭიროა:
- ყოველი არანულოვანი წყვილისათვის x ∈ p, y ∈ q არსებობს და ერთადერთი m ∈ A ისეთი რომ mx = y
თვით მარაოს ქვესივრცე m წარმოგვიდგება როგორც m-ის გრაფიკი, ანუ m = {[x, mx]}.

შუალედური მარაოს წარმოდგენა შეგვიძლია შევქმნათ თუ გავიხსენებთ რომ წრფივი სივრცის შეუღლებული სივრცე p* მისივე იზომორფულია. თუ q-ს გავაიგივებთ p*-სთან, შუალედური მარაოს პოლუსებისაგან განსხვავებული წერტილი წარმოგვიდგება როგორც იზომორფიზმი m: p → p*. ეს კი წარმოქმნის ორად წრფივი ფორმას p-ზე, [x, y] → x(ym). ანუ შუალედური მარაოს პოლუსებისაგან განსვავებულ ნაწილს შეესაბამება ორად წრფივ ფორმათა სიმრავლე B თვისებებით:
- ყოველი არანულოვანი წყვილისათვის x ∈ p, u ∈ p* არსებობს ერთადერთი m ∈ B ისეთი რომ m(x, . . .) = u
მარაოს პოლუსებისაგან განსვავებული წერტილი წარმოგვიდგება როგორც ქვესივრცე m = {[x, m(x, . . . )]}

შემდეგი წარმოდგენისათვის ავირჩიოთ მარაოდან კიდევ ერთი p და q-საგან განსხვავებული წერტილი, ქვესივრცე d. ამ წერტილს, როგორც მარაოს ყველა წევრს, შეესაბამება p-დან q-ში იზომორფიზმი, d. გავაიგივოთ p-სთან q ამ იზომორფიზმით. ანუ ვითარება წარმოვიდგინოთ როგორც მარაო p × p-ში, რომლის ელემენტებია p × 0, 0 × p და d = {(x, x) | x ∈ p}. თვით მარაო წარმოგვიდგება როგორც წრფივი სივრცე p-ს ავტომორფიზმთა სიმრავლე C ⊂ GL(p), რომელშიც შედის იგიური ასახვა. ეს სიმრავლე აკმაყოფილებს პირობას:
- ყოველი არანულოვანი წყვილისათვის x, y ∈ p არსებობს და ერთადერთი m ∈ C ისეთი რომ mx = y
მარაოს პოლუსებისაგან განსვავებული წერტილი წარმოგვიდგება როგორც ქვესივრცე m = {[x, mx]}

ავიღოთ შუალედური მარაოს იზომორფიზმებით წარმოდგენა, ანუ მარაო p × q-ში. თვით p და q-ც მარაოს წევრებია, p = p × 0, ხოლო q = 0 × q. წრფივი სივრცის ყოველ არანულოვან ვექტორ [x, u]-ს შეესაბამება მარაოს ერთადერთი წევრი რომელსაც ის ეკუთვნის. აღვნიშნოთ ეს წევრი xy-ით. [x, u] ∈ m ჩანაწერთა შორის ჭეშმარიტი იქნება[x, u] ∈ xu. ასევე ჭეშმარიტია ჩანაწერები [x, 0] ∈ p, [0, u] ∈ q და [0, 0] ∈ m, ეს უკანასკნელი ყოველი m-სათვის. ამ ყველაფერში გამოყენებადია ფაქტი რომ მიმართებაში [x, u] ∈ m ყოველი ორი ცალსახად განსაზღვრავს მესამეს, გარდა შემთხვევისა როდესაც ორივე ვექტორი ნულის ტოლია.
თუ [x, u] ∈ m, მაშინ m = xu, u = mx, x = m-u.

მარაოს ნაწილი პოლუსების გამოკლებით აღვნიშნოთ M*-ით. ყოველი წერტილი m ∈ M* განსაზღვრავს ურთიერთ ცალსახა თანადობას p-სა და q-ს შორის m. ასევე p-ს ნულისაგან განსხვავებული ვექტორი x განსაზღვრავს ინექციას q-დან M-ში, u → xu, რომელიც არ ფარავს მხოლოდ თვით q-ს. ასევე q-ს ნულისაგან განსხვავებული ვექტორი u განსაზღვრავს ინექციას p-დან M-ში, x → xu, რომელიც არ ფარავს მხოლოდ თვით p-ს. ყოველი ამ ასახვით შეგვიძლია მარაოში გადავიტანოთ წრფივი სტრუქტურა. ეს სტრუქტურა, ბუნებრივია, დამოკიდებულია განმსაზღვრელი ვექტორის არჩევანზე. შუალედური მარაო წარმოგვიდგა როგორც წრფივი სივრცე დამატებული ერთი წერტილით, პოლუსით q. ნულს შეესაბამება მეორე პოლუსი, p.

შუალედური მარაო ვიგულისხმოთ წარმოდგენილად როგორც წრფივი სივრცე p × p-ს ქვესივრცეთა სიმრავლე. p-ში ავირჩიოთ ნულისაგან განსხვავებული ვექტროი e, რომელიც შემდგომში იქნება ერთეულის ანალოგი. M*-ის ყოველი წერტილისათვის m გვაქვს შესაბამისი ავტომორფიზმი m: p → p და შესაბამისი ვექტორი p-ში m, ისეთი რომ [e, m = me] ∈ m.
ასევე წრფივი სივრცე p-ს ყოველი ნულისაგან განსხვავებული ვექტორი x-სათვის გვაქვს შესაბამისი წერტილი მარაოდან x, ისეთი რომ [e, x] ∈ x და მისი შესაბამისი ავტომორფიზმი x, რომლისათვისაც xe = x, [y, xy] ∈ x.

ეს უკანასკნელი მიმართება [y, xy] ∈ x ფაქტიურად განსაზღვრავს ოპერაციას p-ში, [x, y] → xy. ამ ოპერაციას აქვს თვისებები:
- ტოლობაში xy = z ყოველი ორი, თუ არც ერთი მათგანი ნული არ არის, ცალსახად განსაზღვრავს მესამეს
- x(y + z) = xy + xz და x(αy) = α(xy), x0 = 0, რადგან x-ის შესაბამისი ასახვა x ავტომორფიზმია
- xe = x, მოქმედების განსაზღვრის თანახმად [e, x] და [e, xe] მარაოს ერთი და იმავე ელემენტშია
- ex = x, რადგან [x, ex] მარაოს იმავე ელემენტშია რაშიც [e, e], იმავე ელემენტშია [x, x]-იც
- დამატებით ვიგულისხმოთ 0y = 0, რაც იმავე სქემაში ჩაითრევს მარაოს ელემენტ p × 0-საც

პირიქითაც, თუ წრფივ სივრცე p-ზე მოცემულია ოპერაცია ზემო აბზაცში მოტანილი თვისებებით, ავაგებთ შუალედურ მარაოს სივრცეში p × p. მარაოს შექმნის p-ს არანულოვანი ელემენტების შესაბამისი ქვესივრცეები, x-ს შეესაბამება ქვესივრცე x = {[y, xy] | y ∈ p}.

შუალედური მარაო წრფივ სივრცეში ნამდვილ რიცხვთა ველის მიმართ
წინა პარაგრაფში გაკეთებული
შენიშვნიდან გამომდინარეობს რომ თუ ველი ნამდვილ რიცხვთა ველია შუალედური მარაო სფეროა. ასევე ნათქვამია, რომ თუ გვაქვს დაქვემდებარებული მარაო გვექნება მარაოთა ასახვა, რაც ნამდვილ რიცხვთა ველის შემთხვევაში ფიბრაცია იქნება, ფენა კი ისევ მარაო იქნება. განსაკუთრებულ ინტერესს იწვევს შუალედური მარაოსა და მის მიმართ დაქვემდებარებული პროექციული სივრცის შემთხვევა P → M. ეს არის სწორედაც ჰოპფის ფიბრაცია. აქ ბაზური სივრცე პროექციული სივრცეა, ხოლო ფენა მარაოს წერტილ m-ზე m-ის პროექციული სივრცე. თუ მარაოს განზომილება არის k, მაშინ ძირითადი სივრცის განზომილება იქნება 2k, ტოტალური სივრცის, ანუ ძირითადი სივრცის პროექციული სივრცის განზომილება იქნება 2k - 1, ხოლო ფენის, როგორც მარაოში შემავალი k განზომილების წრფივი სივრცის პროექციული სივრცე, განზომილება იქნება k - 1. გავითვალისწინოთ ასევე სფეროს პროექციულ სივრცეზე ორმაგი გადაფარვაც. საბოლოოდ მივიღებთ

S2k-1 → Sk ფენა Sk-1
↓             ||            ↓  
P2k-1 → M ფენა Pk-1

ამ დიაგრამის ზედა სტრიქონი ჰოპფის ცნობილი ფიბრაციაა.

შეკითხვა: რომელი k-სათვის არის შესაძლებელი ეს ვითარება?

შუალედური მარაოს გალუას ჯგუფი
ვთქვათ M მარაოა წრფივ სივრცე p × p-ში და p × 0, 0 × p და {[x, x]} მისი წერტილებია. ასევე ვიგულისხმოთ რომ არჩეული გვაქვს ნულისაგან განსხვავებული ვექტორი e ∈ p. განვიხილოთ წრფივი სივრცე p-ს ავტომორფიზმთა ჯგუფი GL(p). ამ ჯგუფის ავტომორფიზმი a გავავრცელოთ p × p-ზე, a[x, u] = [ax, au]. რა პირობას უნდა აკმაყოფილებდეს ავტომორფიზმი რომ მარაოს არ ცვლიდეს? გავიხსენოთ მარაოს მეშვეობით განსაზღვრული ოპერაცია.

თეორემა
p-ს ავტომორფიზმი გადატანილი p × p-ზე არ ცვლის მარაოს მაშინ და მხოლოდ მაშინ თუ ის ინახავს გამრავლებას

მტკიცება
ვთქვათ a ინახავს გამრავლებას, მაშინ
a[x, ux] = [ax, a(ux)] = [ax, (au)(ax)]
ეს კი ნიშნავს რომ მარაოდან u-ს შესაბამისი ქვესივრცე გადავიდა au-ს შესაბამის ქვესივრცეში. ვთქვათ, პირიქით u-ს შესაბამისი ქვესივრცე გადადის au-ს შესაბამის ქვესივრცეში, ანუ {[x, ux]} → {[y, (au)y}. ეს ნიშნავს რომ [ax, a(ux)] = [ax, (au)(ax)]. ეს კი a(ux) = (au)(ax).

ნათელია, რომ ამგვარ ავტომორფიზმთა ისევ ამგვარია და იგიურიც ამგვარია, ანუ ეს სიმრავლე ავტომორფიზმთა ქვეჯგუფია.

განსაზღვრება
p-ს ავტომორფიზმებით გამოწვეულ მარაოს ასახვათა ჯგუფს ვუწოდოთ მარაოს გალუას ჯგუფი.

ეს სახელი გამართლებულია ველის გაფართოებით გამოწვეული მარაოს შემთხვევით. ამ შემთხვევაში ეს სიმრავლე სწორედაც კლასიკური გალუას ჯგუფია.