მათემატიკა

ზღვარი, ზღვრული ობიექტი

ზღვრული ობიექტის ცნება სხვადასხვა ვითარებაში ჩდება. ეს შეიძლება იყოს საზღვარზე მდებარე წერტილი, ან წერტილთა მიდევრობით განსაზღვრული წერტილი, ან სიმრავლეთა სისტემით აგრბული ზღვრული ობიექტი.

განსაზღვრა
დალაგებულ სიმრავლეს ვუწოდებთ მიმართულს თუ ყოველი ორი წერტილის მინიმალურ მიდამოთა თანაკვეთა ცარიელი არ არის.

მაგალითი
ტოპოლოგიურ სივრცეში წერტილი მიდამოთა სიმრავლე მიმართული სისტემაა.

მაგალითი
ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლე მიმართული სისტემაა.

განსაზღვრა
მიმართული სისტემიდან ტოპოლოგიურ სივრცეში ასახვის ზღვარი არის წერტილი რომლის ყოველი მიდამოს წინასახე წერტილთან ერთად მოიცავს ამ წერტილის მინიმიმალურ მიდამოსაც.

შემოვიღოთ აღნიშვნაც. თუ M მიმართული დალაგებული სიმრავლეა, f მისი ასახვახვა ტოპოლოგიურ სივრცე T-ში და წერტილი a მისი ზღვარი, მაშინ lim f = a. დალაგებულ სიმრავლე M-ს დავუმატოთ ერთი წერტილი, l და ჩავთვალოთ ის შემავალი ყოველ ღია სიმრავლეში და, რასაკვირველია, ყოველი წერტილის მინიმალურ სიმრავლეში. l-ის მინიმალურ სიმრავლედ ვაღიაროთ მხოლოდ მისგან შემდგარი ერთელემენტიანი სიმრავლე. ამ პირობებში თუ lf-ად ჩავთვლით a-ს, მაშინ ეს გაფართოებული ასახვა იქნება უწყვეტი წერტილ a-ში.

ვთქვათ მოცემულია მიმართული სიმრავლე M, მის ყოველ ელემენტს შეესაბამება სიმრავლე Sx, x ∈ M, ხოლო თუ y შედის x-ის მინიმალურ მიდამოში, ანუ x < y, მოცემულია ასახვა Sx → Sy. ასახვათა ეს სისტემა ტრანზიტულია, ანუ თუ x < y < z, მაშინ
Sx → Sz = Sx → Sy → Sz
თუ M-ს კატეგორიად დავინახავთ, შეგვიძლია ვთქვათ რომ S არის ფუნქტორი M-დან სიმრავლეთა კატეგორიაში. განვიხილოთ ამგვარ ფუნქტორთა კატეგორია, აღვნიშნოთ ის M-თი. გასაგებია რომ სიმრავლეთა კატეგორია შეგვიძლია განვიხილოთ ამ კატეგორიის ქვეკატეგორიად, M-ის ყოველ ელემენტ x-ს შევუსაბამებთ ერთი და იმავე სიმრავლეს, ასახვებად იგიურ ასახვას. სიმრავლე A-ს შესაბამისი მუდმივი ფუნქტორი აღვნიშნოთ იმავე ასოთი A.

თეორემა
მიმართული დალაგებული სიმრავლიდან სიმრავლეთა კატეგორიაში ფუნქტორისათვის არსებობს შეუღლება

მტკიცებამდე განვმარტოთ რას ნიშნავს ეს თეორემა. თეორემა ამბობს რომ ყოველი ფუნქტორი S-სათვის არსებობს სიმრავლე Lim S რომელიც იქნება უნივერსალური შემდეგი გაგებით:
- იარსებებს ასახვათა სისტემა Sx → Lim S, სადაც x ∈ M, პირობით: თუ x < y, მაშინ
Sx → Lim S = Sx → Sy → Lim S
- ასახვათა ყოველი სისტემისათვის Sx → A, პირობით: თუ x < y, მაშინ
Sx → A = Sx → Sy → A
არსებობს ერთადერთი ასახვა Lim S → A ისეთი რომ
Sx → A = Sx → Lim S → A
ყველაფერი ეს მოკლედ ნიშნავს რომ ადგილი აქვს ტოლობას
Mor(S, A) = Mor(Lim S, A)
მუდმივი ფუნქტორი სიმრავლეთა კატეგორიიდან M-ში არის ფუნქტორ Lim-ის მარჯვენა შეუღლებული

მტკიცება
რადგან M მიმართული დალაგებული სიმრავლეა, ანუ ტოპოლოგიური სივრცე გადავიტანოთ ეს ტოპოლოგია, ან დალაგება გაერთიანებაზე ∪ Sx. ელემენტი u ∈ Sx ელემენტზე v ∈ Sy წინაა, ანუ u < v, თუ ასახვას Sx → Sy ელემენტი u გადააქვს ელემენტ v-ში. მივიღეთ უწყვეტი ასახვა f: ∪ Sx → M. მიმართული სიმრავლე M-ის ყოველ ღია სიმრავლე X-ს შევუსაბამოთ ამ ასახვის კვეთათა სიმრავლე, Γ(X, f). გავაერთიანოთ ყველა ეს სიმრავლე და შემოვიღოთ მასში ექვივალენტობა: ორი კვეთა Γ(X, f)-დან და Γ(Y, f)-დან ექვივქლენტურია თუ არსებობს ღია სიმრავლე Z ისეთი რომ Z ⊂ X ∩ Y და ამ კვეთათა ანასახები Γ(Z, f)-ში ტოლია. ფაქტორ სიმრავლე ამ ექვივალენტობით იქნება საჭირო სიმრავლე Lim S.