მათემატიკა

წრფივი სივრცით აგებული კატეგორია

წრფივი სივრცე E- ს შევუსაბამოდ კატეგორია E, რომლის ობიექტი იყოს E-ს წრფივი ქვესივრცე, ხოლო მორფიზმი მათ შორის წრფივი ასახვა. E-ს ობიექტთა სიმრავლე გრასმანიანია. ამ კატეგლრიაში წრფივი ოპერატორი f: E → E გამოყოფს ინვარიანტული ქვესისივრცეებისა და f-ით ინდუცირებული ასახვების ქვეკატეგორიას, IE.

განსაზღვრა
ადიციური კატეგორიის ქვეკატეგორიას ვუწოდოთ წრფივი ქვეკატეგორია თუ ქვეკატეგორიის მორფიზმთა ნებისმიერი წრფივი კომბინაცია ისევ ქვეკატეგორიის მორფიზმია.

მაგალითი
თუ X მრავალნაირობაა და S სასრული განზომილების ნამდვილი წრფივი სივრცე, მაშინ ნამრავლის პროექცია X × S → X წრფივი ფიბრაციაა. ამ ფიბრაციას ტრივიალურ ფიბრაციად მოვიხსენიებ.

წრფივი ფიბრაციის ანალოგია უფრო ზოგადი შემთხვევა, როდესაც განიხილავენ წრფივ სივრცეთა პარამეტრიზებულ სისტემას. წრფივი ფიბრაცია არის შემთხვევა როდესაც პარამეტრთა სიმრავლე მრავალნაირობაა. ანლოგიური განხილულია მაგალითებში.

მაგალითი
ალბათ ყველაზე მარტივი შემთხვევაა სასრული განზომილების სივრცის ეპიმორფიზმი და მისი შებრუნებული წრფივი ასახვა, რომელიც მას ნამრავლად გადააქცევს. ეს არის ლოკალიზაციის მოდელიც. განსაზღვრებაში მოტანილი ჰომეომორფიზმი შეიძლება ამ ფიბრაციის ნულის მიდამოსთან ჰომეომორფიზმად ვიგულისხმოთ.

განსაზღვრების პირობაში ნახსენები წრფივი ასახვა იზომორფიზმია. ამას ასახვის ჰომეომორფობა უზრუნველყოფს ურთიერთცალსახობით. აქედანვე გამომდინარეობს რომ ყოველი ფენა ერთი და იმავე განზომილებისაა. ტოტალური სივრცის განზომილება კი ბაზისა და ფენის განზომილებათა ჯამია.

მაგალითი
გაცილებით შინაარსიანი მაგალითია წრფივი ფიბრაცია გრასმანიანზე ნამდვილ რიცხვთა ველის მიმართ. გრასმანიანის წერტილია წრფივი სივრცის გარკვეული ქვესივრცე. თუ ამავე ქვესივრცეს ვიგულისხმებთ ფენად მათი გაერთიანება და გრასმანიანზე პროექცია იქნება წრფივი ფიბრაცია. ეს ფიბრაცია უნივერსალურ ფიბრაციადაც არის აღიარებული და ცნობილი, რადგან ფიბრაციისათვის მოიძებნება უნივერსალური ფიბრაცია რომელშიც ის ჩაიდგმება. უფრო დაწვრილებით ქვემოთ.

განსაზღვრა
წრფივ ფიბრაციათა p: E*X და q: F → Y შორის მორფიზმად ვაღიაროთ უწყვეტი ასახვა f: E → F, რომელიც იწვევს ბაზათა უწყვეტ და ყოველი ფენის წრფივ ასახვებს

ამგვარად მივიღეთ წრფივ ფიბრაციათა კატეგორია F.

მაგალითი
მრავალნაირობის მხები ფიბრაცია წრფივი ფიბრაციაა. თუ f: M → E მრავალნაირობის დიფერენცირებადი ასახვაა წრფივ სივრცეში, მაშინ მისი წარმოებული ასახვა, ანუ წყვილი თვით ასახვა და მისი დიფერენციალი

TM → E × E
↓           ↓
M   →   E
წრფივ ფიბრაციათა კატეგორია F-ის მორფიზმია. თუ u ∈ TxM, მაშინ ზედა ჰორიზონტალური u-ს გადაიტანს u(xf')-ში. წარმოებული ასახვა f' არის მორფიზმი M → Mor(TM, E×E).

წრფივ ფიბრაციათა კატეგორია
მოცემულ ტოპოლოგიურ სივრცეზე სასრულ განზომილებიან წრფივ ფიბრაციათა კატეგორიაში განვმარტოთ ოპერაციები. ფიბრაციათა ჯამი იქნება ფენათა ჯამით აგებული ფიბრაცია. p: E → X და q: F → X ფიბრაციათა ჯამი, p+q, იქნება E + F → X, სადაც E + F ⊂ E × F არის ერთი და იმავე წერტილში გადასულთა წყვილების სიმრავლე. ასევე იქნება Lin(p, q) და p × q, რომელთა ფენაა ფენათა წრფივ ასახვათა სივრცე და ფენათა ტენზორული ნამრავლი
p+q: E + F → X, Lin(p, q): Lin(E, F) → X, p×q: E + F → X, p⊗q: E ⊗ F → X
x(p+q)- = xp-×xq-, xLin(p, q)- = Lin(xp-, xq-), x(p×q)- = xp-⊗xq-
გავიხსენოთ გრასმანიანზე წრფივ ფიბრაციათა ზუსტი მიმდევრობა
0 → P → E × G → Q → 0
↘     ↓     ↙
G
ასევე გავიხსენოთ რომ გრასმანიანის მხები მისივე წერტილში m არის Lin(m, E/m), ანუ გრასმანიანის მხები ფიბრაცია არის Lin(p, q). გვაქვს შემდეგი ბუნებრივი, კანონიკური ასახვა წრფივ ფიბრაციებს შორის p + TG → q
x ∈ m, u ∈ TmG (u: m → E/m), [x, u] → xu
ეს ასახვა ფიბრაციათა მორფიზმი არ არის რადგან ფენაზე ორად წრფივი ასახვაა. მისი შესაბამისი ასახვა კი უკვე მორფიზმია
p × TG → q, ფენაზე m ⊗ Lin(m, E/m) → E/m

შესაბამისობა სიმრავლე X-ს F(X, V) ფუნქტორია სიმრავლეთა კატეგორიიდან წრფივ სივრცეთა კატეგორიაში, მისი შეუღლებული ფუნქტორი იქნება მივიწყების ფუნქტორი (სტრუქტურის დროებით არ განხილვა). მართლაც, Map(X, E) = Lin(F(X, V), E). ბუნებრივია ეს ფუნქტორი X-ის ქვესიმრავლეთა სტრუქტურას გადაიტანს F(X, V)-ს ქვესივრცეთა სტრუქტურაში. ქვესივრცეთა სერრუქტურას შეესაბამება წრფივად დამოუკიდებელ ქვესიმრავლეთა ერთობლიობა. განვიხილოთ E-ს სასრულ ქვესიმრავლეთა ერთობლიობა S. თუ A არის F(X, V)-ს ქვესივრცე მაშინ BA იყოს ყველა ის ქვესიმრავლე რომელიც გადადის A-ში. BA დალაგებული სიმრავლეა. ყოველი მისი მინიმალური ელემენტი A-ს ბაზისია.