მათემატიკა

წრფივი სივრცე

წრფივი ალგებრა და თვით ალგებრა, უნდა ვიგულისხმოთ, იწყება ალ ჰორეზმიდან, რომელსაც უთარგმნია ინდური მათემატიკური ტექსტი და თავისებურად განუმარტავს მათემატიკაზე ბერძნების წარმოდგენა. თვით სიტყვა ალგებრის ქართული შესატყვისია ჯიბრი, ანუ ანგარიშიანობა, საიდანაც შეჯიბრიც.
შემდგომი ნაბიჯი გადადგა რენე დეკარტმა (René Descartes, 1596.03.31 - 1650.02.11), რომელმაც კოორდინატთა სისტემის შემოღებით გეომეტრიული ამოცანა დაუკავშირა ალგებრულ განტოლებას.
სიტყვა დეტერმინანტი მათემატიკურ ტერმინად 1693 წელს პირველად იხმარა ლეიბნიცმაო (Gottfried Wilhelm von Leibniz, 1646.07.01 – 1716.11.14). ამის შედეგად 1750 წელს გაჩდა წრფივი სისტემის ამონახსნის მოძებნის კრამერის (Gabriel Cramer, (1704.07.31 – 1752.01.04) წესი. ეს წესი გააუჯომბესა გაუსმა (Johann Carl Friedrich Gauß, 1777.04.30 – 1855.02.23), გამოიყენა რა გაუსის ელიმინაცია.
სრულიად თანამედროვე შეხედულება, რასაც დღეს წრფივი ალგებრის სახელით ვიცნობთ, გაჩენილა 1844 წელს ჰერმან გრასმანის (Hermann Günther Graßmann, 1809.04.15 – 1877.09.26) ნაშრომის "Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik" შედეგად.
თურმე არსებობს წიგნი დასახელებით "Linear Algebra" გამოცემული 1882 წელს პაშას (Hüseyin Tevfik Pasha, 1832-1901) მიერ.
წრფივი სივრცის ლოგიკურად სრულად გამართული თანამედროვე განსაზღვრა 1888 წელს პეანოს (Giuseppe Peano, 1858.08.27 – 1932.04.20) შემოუტანია.

განსაზღვრა
სიმრავლეს E მასში განსაზღვრულ ოპერაციებით (შეკრება და ველის ელემენტის მოქმედება E-ზე) ეწოდება წრფივი სივრცე (ან ვექტორული სივრცე) V ველის მიმართ, თუ დაკმაყოფილებულია მოთხოვნები:
1. შეკრების მიმართ E კომუტატური (აბელის) ჯგუფია
ყოველი x და y-სათვის E-დან და a და b-სათვის V-დან:
2. (xa)b = x(a • b)
3. x(a + b) = (xa) + (xb)
4. (x + y)a = (xa) + (ya)
5. 0a = 0, ორივე ნული ვექტორია
6. x0 = 0, მარცხენა 0 ველის ნულია, მარჯვენა ვექტორი
7. x1 = x, სადაც 1 ველის ერთიანია

ინგლისურად - linear space, vector space
ფრანგულად - un espace linéaire, un espace vectoriel
გერმანულად - ein linearer Raum, ein Vektorraum
იტალიურად - uno spazio lineare, uno spazio vettoriale
ესპანურად - un espacio , un espacio vectorial
რუსულად - линейное пространство, векторное пространство

წრფივი სივრცის ელემენტს, ჩვეულებრივ, ვექტორს უწოდებენ.

თეორემა
თუ x ვექტორია მაშინ x(-a) = -xa

მტკიცება
0 = x0 = x(a + (-a)) = xa + x(-a), აქედან დასკვნა x(-a) = -xa.

თეორემა
თუ xa = 0, მაშინ ან x = 0 ან a = 0

მტკიცება
თუ a ≠ 0 და xa = 0, გვექნება x = x1 = x(a • a-) = (xa)a- = 0a- = 0.

თვით ველი წრფივი სივრცის ერთ ერთი მაგალითია იმავე ოპერაციების მიმართ რაც ველშია განსაზღვრული.

მაგალითი
ველის გაფართოება V ⊂ W წრფივი სივრცის მაგალითია. W-ში არსებული ოპერაციების მიმართ W წრფივი სივრცეა V-ს მიმართ.
რაციონალ რიცხვთა ველი ნამდვილ რიცხვთა ველის ქვეველია, ეს უკანასკნელი კომპლექსურ რიცხვთა ველის ქვეველი, Q ⊂ R ⊂ C. ნამდვილ რიცხვთა ველი Q-წრფივი სივრცეა, ხოლო კომპლექსურ რიცხვთა ველი Q-წრფივი სივრცეც და R-წრფივი სივრცეც.
აქვე შევნიშნოთ, რომ თუ V ⊂ W და E არის წრფივი სივრცე W-ს მიმართ, მაშინ ის ავტომატურად არის წრფივი სივრცე V-ს მიმართაც.

მაგალითი
გასაგებია რომ Z2 × Z2 წრფივი სივრცეა Z2-ის მიმართ. ასევე წრფივი სივრცეა ოთხელემენტიანი
ველი როგორც Z2-ის გაფართოება.

მაგალითი
ნებისმიერი სიმრავლე X-ის ასახვები ველში V ჰქმნის წრფივ სივრცეს MX = Map(X, V). ასახვაც მარჯვნიდან ვწეროთ x → xf. ორი f და g ასახვის ჯამი იყოს ანასახების ჯამი, x(f + g) = xf + xg, ხოლო ველის ელემენტის მოქმედება ასახვაზე ვექტორის ანასახზე მოქმედების ტოლი, x(fv) = (xf)v. ადვილი შესამოწმებელია, რომ მივიღეთ წრფივი სივრცე.
თვით სიმრავლე X განვიხილოთ ჩადგმული სივრცე MX-ში: თუ x ∈ X, განვიხილოთ x როგორც ასახვა, რომელიც თვით x-ს შეუსაბამებს ველის ერთიანს, ხოლო ყველა დანარჩენს ნულს, ამის აღსანიშნავად გამოვიყენოთ სიმბოლური გალურჯება
xx = 1 და თუ y ≠ x მაშინ yx = 0
სივრცე MX-ის ყოველი ელემენტი a: X → V და X-ის ყოველი ელემენტი x განსაზღვრავს ველი V-ს ელემენტს xa. თუ ჩვენ გავამრავლებთ ველის ელემენტ xa-ს ასახვა x-ზე მივიღებთ ასახვას x(xa): X → V, რომელიც x-ს გადაიტანს xa-ში, ხოლო X-ის დანარჩენ ელემენტებს ნულში. ასახვა a შეგვიძლია ასეც ჩავწეროთ a = ∑ x(xa), იგულისხმება რომ ჯამში მონაწილეობს სიმრავლე X-ის ყველა ელემენტი.

კლასიკური მაგალითი
წრფივი სივრცის მაგალითია ველის ელემენტთა n-ეულების სიმრავლე Vn. თუ ავიღებთ სიმრავლე X-ად სიმრავლე {1, 2, . . ., n}-ს, მაშინ Vn = MX. ჩვეულებრივ მის ვექტორს, ანუ ასახვას X → V წარმოადგენენ როგორც (a1, a2, . . ., an). ოპერაციები ასე შეიძლება ჩაიწეროს
(a1, a2, . . .) + (b1, b2, . . .) = (a1 + b1, a2 + b2, . . .)
(a1, a2, . . .)v = (a1 • v, a2 • v, . . .)

მაგალითი
ფორმალურ მწკრივთა სიმრავლე წრფივი სივრცის კიდევ ერთი მაგალითია. სიმრავლე X-ად ავიღოთ 0 და ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლე. წრფივი სივრცე MX იქნება ფორმალურ მწკრივთა წრფივი სივრცე. თუ გვინდა მისი კლასიკური აღწერით წარმოდგენა ავირჩიოთ რაიმე სიმბოლო, ვთქვათ t, და სიმრავლე X-ს შევუსაბამოთ t-ს ხარისხები {t0 = 1, t1 = t, t2, . . .}. MX-ის ყოველი ვექტორი a, ანუ ასახვა X-დან V-ში შეიძლება ჩავწეროთ შემდეგი სახითაც a0 + a1t + a2t2 + . . . = ∑aktk, სადაც a0 = 0a, a1 = 1a, a2 = 2a, . . . ველი V-ს ელემენტებია.

ყოველივე ზემოდ აღწერილი უნდა დავინახოთ როგორც წრფივი სივრცის მოცემის სხვადასხვა ფორმა. ამ ფორმებს შორის ბუნებრივი შესაბამისობაა. საქმეში უნდა გამოვიყენოთ ის ფორმა, რომელიც განსახილველ საკითხთან ყველაზე უფრო მორგებულია.

ქვესივრცე

წრფივი სივრცის ქვესიმრავლე თუ სივრცეში განსაზღვრული ოპერაციების მიმართ ჩაკეტილია, მაშინ იგი თვით იქნება წრფივი სივრცე. ამგვარ ქვესიმრავლეს ქვესივრცეს უწოდებენ.

მხოლოდ ნული ერთერთი ქვესივრცეა, ერთადერთი, რომელიც ერთი ვექტორისაგან შესდგება. თვით სივრცეც ფორმალურად თავის თავის ქვესივრცეა. შემდგომში საკუთრივ ქვესივრცედ ამ ქვესივრცეებს არ ვიგულისხმებთ.

მაგალითი
ყოველი ვექტორი x განსაზღვრავს ქვესივრცეს xV-ს, რომელშიც ვგულისხმობთ სიმრავლე {xv}-ს, სადაც v-ში იგულისხმება ველი V-ს ყველა ელემენტი ან ნებისმიერი ელემენტი.

მაგალითი
ერთ ერთ მაგალითში აგებული წრფივი
სივრცე MX-ის ქვესივრცეს მივიღებთ თუ გამოვყობთ ასახვებს, რომელთა მნიშვნელობები მხოლოდ სასრულ რაოდენობა არგუმენტზეა ნულიაგან განსხვავებული, თითქმის ყველგან ნულია. ეს ქვესიმრავლე აღვნიშნოთ F(X, V)-თი ან თუ ეს გაუგებრობას არ გამოიწვევს FX-ით. თუ თვით სიმრავლე X სასრულია, მაშინ, რასაკვირველია, FX = MB.

მაგალითი
პოლინომთა სიმრავლე
ფორმალურ მწკრივთა წრფივი სივრცის ქვესივრცის კიდევ ერთი მაგალითია. წრფივი სივრცე F(X, V), სადაც X = 0 ∪ N იქნება მრავალწევრთა წრფივი სივრცე V[t]. მისი ყოველი ვექტორი a ჩაიწერება შემდეგი სახითაც a0 + a1t + a2t2 + . . . + aktk, სადაც a0 = 0a, a1 = 1a, a2 = 2a, . . ., ak = ka ველი V-ს ელემენტებია.
თუ შემოვიფარგლებით მხოლოდ k-ზე ნაკლები ხარისხის მრავალწევრებით, მივიღებთ ქვესივრცეს V[t, k]-ს.
V[t, 1] = V, V[t, 2] = {a1t + a0}, V[t, 3] = {a2t2 + a1t + a0}, . . .
როგორც ხედავთ ამ მაგალითში გადავუხვიეთ არჩეულ გზას და მრავალწევრათ ჩაწერა მიღებული წესით ვაწარმოეთ. ბოლომდე პრინციპული არც მე გახლავართ.

ქვესივრცეთა მესერი

ვთქვათ მოცემულია ველი V-ს მიმართ წრფივი სივრცე E. მის ქვესივრცეთა სიმრავლე ქვესიმრავლეთა სიმრავლის ნაწილია. ჩადგმა ქვესივრცეთა სიმრავლესაც ბუნებრივად ალაგებს. თანაკვეთის ოპერაციის მიმართ ქვესივრცეთა სიმრავლე ჩაკეტილია, ანუ ქვრსივრცეთა ერთობლიობის თანაკვეთა ისევ ქვესივრცეა. რაც შეეხება გაერთიანებისა და დამატების ოპერაციებს ეს უკვე ასე არ არის.

ვთქვათ მოცემულია ქვესივრცეთა ერთობლიობა {Ei | i ∈ I}. განვიხილოთ ახალი ერთობლიობა იმ ქვესივრცეთა, რომელნიც მოიცავენ ყველა Ei-ის. ასეთი ერთი მაინც არსებობს, მაგალითად თვით სივრცე E. ამ ახალ ერთობლიობაში შემავალ ქვესივრცეთა თანაკვეთა, აღვნიშნოთ ∑ Ei-ით და მოვიხსენიოთ როგორც ჯამი, იქნება ყველაზე მცირე ქვესივრცე, რომელიც მოიცავს ყველა Ei-ის.

წრფივი სივრცის ქვესივრცეთა სიმრავლე ამ ოპერაციებით ჰქმნის სტრუქტურას, რომელსაც მესერს უწოდებენ.

ინგლისურად - lattice
ფრანგულად - un treillis
გერმანულად - ein Verband
იტალიურად - un reticolo
ესპანურად - un retículo
რუსულად - решётка

საჭიროების შემთხვევაში ვიხმართ სხვა აღნიშვნებსაც: წრფივი სივრცე E-ს ქვესივრცეთა ერთობლიობის {Ei} თანაკვეთისათვის ∧ Ei, გასაგებია, რომ ∧ Ei = ∩ Ei. ხოლო ∨ Ei-ით აღვნიშნავთ E-ს უმცირესი ქვესივრცე, რომელიც მოიცავს ყველა Ei-ის, ანუ ∨ Ei = ∑ Ei. გვექნება

0 ⊂ ∧ Ei ⊂ Ei ⊂ ∨ Ei ⊂ E
E-ს ქვესივრცე F-ის დამატება იქნება F' თუ F ∧ F' = 0 და F ∨ F' = E. გასაგებია, რომ დამატება ცალსახად არ განიმარტება, ანუ ერთი და იმავე ქვესივრცის ბევრი დამატება არსებობს.

წრფივი ასახვა

წრფივ სივრცეთა კატეგორიაში მორფიზმად აღიარებულია წრფივი ასახვა.

განსზღვრა
წრფივი სივრცე E-დან წრფივ სივრცე F-ში ასახვას f: E → F ეწოდება წრფივი ასახვა თუ შესრულებულია შემდეგი ორი პირობა:
1. ყოველი x და y ვექტორებისათვის E-დან
(x + y)f = xf + yf
2. ყოველი x-სათვის E-დან და v-სათვის V-დან
(xv)f = (xf)v

ინგლისურად - linear map ან linear transformation
ფრანგულად - une application linéaire ან une transformation linéaire
გერმანულად - eine lineare Abbildung
იტალიურად - una mappa lineare ან una applicazione lineare ან una trasformazione lineare
ესპანურად - un mapa lineal ან una aplicación lineal ან una transformación lineal
რუსულად - линейное отображе́ние

მაგალითი
წრფივი სივრცის ვექტორების ველის ფიქსირებულ ელემენტზე გამრავლება ყოველი წრფივი სივრცისათვის თავის თავში წრფივი ასახვაა. ამგვარ ასახვას ჰომოთეტიას უწოდებენ, ფიქსირებულ ელემენტს კი ჰომოთეტიის კოეფიციენტს.

ინგლისურად - homothety
ფრანგულად - une homothétie
გერმანულად - ? Homothetie
იტალიურად - ? omotetia
ესპანურად - una homotecia
რუსულად - гомотетия

ველის როგორც წრფივი სივრცის ყოველი წრფივი ასახვა ჰომოთეტიაა. ჰომოთეტიის კორფიციენტი იქნება 1-იანის ანასახი. მართლაც,
v → vf = v • k ⇒ 1 → 1f = 1 • k = k
აქედან გამომდინარეობს, რომ ერთწარმომქმნელიანი წრფივი სივრცის თავის თავში წრფივი ასახვა მხოლოდ ჰომოტეტიაა და ამ წრფივ ასახვათა სიმრავლეც თვით ველია.

წრფივ ასახვათა კომპოზიცია ისევ წრფივი ასახვა იქნება.

თუ ორი წრფივი ასახვის შეკრება შეიძლება, ჯამი ისევ წრფივი ასახვა იქნება. მართლაც ვთქვათ f და g ორი წრფივი ასახვაა სივრციდან E სივრცეში F. განვმარტოთ
x(f + g) = xf + xg
ასევე განვმარტოთ ველის ელემენტის მოქმედება
x(fv) = (xf)v
ადვილი შესამოწმებელია რომ ეს ოპერაციები აკმაყოფილებს წრფივი სივრცის აქსიომებს. ასე რომ შეიქმნა ახალი წრფივი სივრცე, წრფივ ასახვათა სივრცე. აღვნიშნოთ იგი Lin(E, F)-ით.

შევკრიბოთ შენიშვნები. ყოველ ორ წრფივ სივრცე E-სა და F-ს შეესაბამება წრფივი სივრცე Lin(E, F). ასახვათა კომპოზიცია იძლევა ასახვას Lin(E, F) × Lin(F, G) → Lin(E, G). ასახვათა წყვილი (f, g) გადადის კომპოზიციაში f ∘ g, რაც ნიშნავს x(f ∘ g) = (xf)g.
ასე რომ გვაქვს წრფივ სივრცეთა
კატეგორია L.

განსაკუთრებული მნიშვნელობის ასახვაა იზომორფიზმი. ეს არის ურთიერთ ცალსახა და წრფივი ასახვა. სივრცეებს ეწოდებათ იზომორფული თუ მათ შორის არსებობს იზომორფიზმი.

ერთწარმომქმნელიანი წრფივი სივრცე ველის იზომორფულია. მისი თავის თავში წრფივ ასახვათა ერთობლიობა თვით ველია. ეს ასახვები ნულის გარდა ყველა იზომორფიზმია.

ვთქვათ მოცემულია სიმრავლე X-ის ასახვა წრფივ სივრცე E-ში f: X → E. ავაგოთ წრფივი ასახვა FX-დან E-ში შემდეგნაირად: თუ a არის FX-ის ვექტორი, ანუ ასახვა X-დან ველში V, ამ ელემენტის ანასახი E-ში იყოს ჯამი ∑ xf • xa. ეს ჯამი სასრულია რადგან xa-თა მხოლოდ სასრული რაოდენობა განსხვავდება ნულისაგან. ამ ასახვისათვის შევინარჩუნოთ იგივე აღნიშვნა f. ნათელია, რომ აგებული ასახვა ინახავს ოპერაციებს და მაშასადამე, წრფივია. ადვილი დასამტკიცებელია შემდეგი

თეორემა
ყოველი წრფივი ასახვა სივრციდან FX ნებისმიერ წრფივ სივრცე E-ში განისაზღვრება სიმრავლური ასახვით X-დან E-ში, ანუ
Lin(FX, E) = Map(X, E)

ბირთვი, ანასახი

ყოველი წრფივი ასახვა გამოყოფს ორ ქვესივრცეს. თუ f: E → F წრფივი ასახვაა, ასახვის ბირთვი Ker f არის E-ს იმ ვექტორთა სიმრავლე რომელიც F-ის ნულში გადადის, ანუ ნულის წინასახე, 0f-
x ∈ Ker f ⇔ xf = 0
ეს ქვესიმრავლე ქვესივრცეა რადგან
xf = 0 ⇒ (xv)f = (xf)v = 0v = 0 და
xf = 0, yf = 0 ⇒ (x + y)f = xf + yf = 0 + 0 = 0

F-ს ელემენტები, რომელზეც E-დან რაიმე გადმოდის, ანასახი Im f იქნება ქვესივრცე. მართლაც, xf + yf = (x + y)f და (xv)f = (xf)v

წრფივ ასახვას, რომლის ბირთვიც ნულოვანი სივრცეა, უწოდებენ მონომორფიზმს. ქვესივრცის სივრცეში იგიური ჩადგმა მონომორფიზმია.

თუ f: E → F ისეთი ასახვაა, რომ F-ს ყოველი ვექტორისათვის არსებობს E-ში ვექტორი რომელიც მასზე გადმოდის, მაშინ ამგვარ ასახვას ეპიმორფიზმს უწოდებენ. ეს საკმაოდ სასარგებლო ცნებებია. იზომორფიმი არის ასახვა, რომელიც ერთდროულად მონომორფიზმიცაა და ეპიმორფიზმიც.

ინგლისურად - monomorphism, epimorphism, isomorphism
ფრანგულად - un monomorphisme, un epimorphisme, un isomorphisme
გერმანულად - ein Monomorphismus, ein Epimorphismus, ein Isomorphismus
იტალიურად - un monomorfismo, un epimorfismo, un isomorfismo
ესპანურად - un monomorfismo, un epimorfismo, un homomorfismo
რუსულად - мономорфизм, эпиморфизм, изоморфизм

სასარგებლოა ბირთვისა და ანასახის ორადული ცნებებიც. წრფივი ასახვის f: E → F კობირთვია სივრცე F-ის ფაქტორ სივრცე F / Im f, აღნიშნავენ Coker f-ით. იგივე წრფივი ასახვის კოანასახია E-ს ფაქტორ სივრცე E / Ker f და აღნიშნავენ Coim f-ით. გვექნება, ეგრეთ წოდებული, ზუსტი მიმდევრობები
0 → Ker f → E → Coim f → 0
0 → Im f → F → Coker f → 0
სიზუსტე ნიშნავს, რომ ყოველი ასახვის ანასახი მომდევნო ასახვის ბირთვის ტოლია.

ასევე ნათელია, რომ Coim f და Im f იზომორფული სივრცეებია და ეს იზომორფიზმი კანონიკურია, ანუ ბუნებრივად განისაზღვრება თვით წრფივი ასახვა f-ით. საბოლოოდ გვაქვს f-ის დაშლა ეპიმორფიზმის, იზომორფიზმის და ჩადგმის კომპოზიციად
Ker f ⊂ E → Coim f ↔ Im f ⊂ F → Coker f

ასევე სასარგებლოა ზუსტი მიმდევრობის
0 → Ker f → E → F → Coker f → 0
განხილვაც.