ლოკალური ალგებრა

ლოკალური ალგებრა არის ალგებრა ერთადერთი მაქსიმალური იდეალით. ველი ლოკალური ალგებრაა მასში ერთადერთი მაქსიმალური იდეალია, ნული. მათემატიკურ ლიტერატურაში გავრცელებულია ლოკალური რგოლის ცნება. ვუმატებ წრფივობას და კომუტატურობას.

ინგლისურად - local ring
ფრანგულად - un anneau local
გერმანულად - ein lokaler Ring
იტალიურად - un anello locale
ესპანურად - un anillo local
რუსულად - локальное кольцо

ლოკალური ალგებრა ჩდება როგორც ალგებრის დაშლის ძირითადი ელემენტი. ეს ცნება ძალიან ახლოსაა ველის ცნებასთან.

ალგებრა ლოკალურია თუ მასში მხოლოდ ორი იდემპოტენტია, 0 და 1. ალგებრაში ყოველი მაქსიმალური იდეალი განსაზღვრავს მაქსიმალურ იდემპოტენტს და პირიქით მაქსიმალური იდემპოტენტი განსაზღვრავს მაქსიმალურ იდეალს. რადგან ამ გაგებით მაქსიმალური იდემპოტენტი არ არსებობს ამიტომ ერთადერთი მაქსიმალური იდეალი გვექნება.

რადგან ალგებრა A სასრული განზომილებისაა მასში ყოველი ელემენტი ან შებრუნებადია ან ნულის გამყოფი. ლოკალურ ალგებრაში ყოველი ნულის გამყოფი ნილპოტენტურია. მივიღეთ ზუსტი მიმდევრობა

0 → M → A → W → 0
A ლოკალური ალგებრაა, M მისი მაქსიმალური იდეალი, W კი ფაქტორიზაციით მიღებული ველი. ბირთვი ალგებრაა განსაკუთრებული თვისებით მასში ერთეული არ არის და არც შებრუნებადი ელემენტი არის, ყველა ნულის გამყოფია და ნილპოტენტურიც.