მათემატიკა

ლოკალური რგოლი

განსაზღვრა
თუ რგოლს ერთადერთი მაქსიმალური იდეალი აქვს უწოდებენ ლოკალურ რგოლს

ინგლისურად - local ring
ფრანგულად - un anneau local
გერმანულად - ein lokaler Ring
იტალიურად - un anello locale
ესპანურად - un anillo local
რუსულად - локальное кольцо

ველთან ყველაზე ახლოს ლოკალური რგოლი მგონია, უფრო ზუსტად ლოკალური ალგებრა. ყოველი მთელობის არე (მთელობის არედ ვგულიდხმობ კომუტატურ რგოლს ნულის გამყოფების გარეშე) ჩაიდგმება ველში. ვთქვათ A მთელობის არეა. განვიხილოთ მისი ელემენტების წყვილთა სიმრავლის ნაწილი, რომელიც ხასიათდება ერთადერთი პირობით {[x, y] | y ≠ 0}. შემოვიღოთ ამ სიმრავლეში ექვივალენტობა
[x, y] ~ [u, v] ⇔ x • v = y • u
მიღებული ფაქტორ სიმრავლე მასზე გადატანილი ოპერაციებით
[x, y] + [u, v] = [x • v + y • u, y • v]
[x, y] • [u, v] = [x • u, y • v]
ველი იქნება. მართლაც, დავიწყოთ ველის პირობებით 8 და 9. ერთიანია დიაგონალი {[u, u]}
[x, y] • [u, u] = [x • u, y • u]
[x, y]-სა და [x • u, y • u]-ს ექვივალენტობა ნათელია.
[x, y]-ის შებრუნებული იქნება [y, x]
პირობა 6 და 7, ნულია {[0, v]}
[x, y] + [0, v] = [x • v + y • 0, y • v] = [x • v, y • v]
ექვივალენტობა ნათელია
[x, y]-ის მოპირდაპირე იქნება [-x, y]
[x, y] + [-x, y] = [x • y + y • (-x), y • y] = [0, y • y]
პირობა 1 და 2 ნათელია.
პირობა 3 და 4
([x, y] + [x', y']) + [x'', y''] = [x • y' + y • x', y • y'] + [x'', y''] =
= [x • y' • y'' + y • x' • y'' + y • y' • x'', y • y' • y'']
[x, y] + ([x', y'] + [x'', y'']) = [x, y] + [x' • y'' + y' • x'', y' • y''] =
[x • y' • y'' + y • x' • y'' + y • y' • x'', y • y' • y'']

([x, y] • [x', y']) • [x'', y''] = [x • x', y • y'] • [x'', y''] = [x • x' • x'', y • y' • y'']
[x, y] • ([x', y'] • [x'', y'']) = = [x, y] • [x' • x'', y' • y''] = [x • x' • x'', y • y' • y'']
პირობა 5
([x, y] + [x', y']) • [x'', y''] = [x • y' + y • x', y • y'] • [x'', y''] = [x • y' • x'' + y • x' • x'', y • y' • y'']
[x, y] • [x'', y''] + [x', y'] • [x'', y''] = [x • x'', y • y''] + [x' • x'', y' • y''] =
= [x' • x'' • y' • y'' + y • y'' • x' • x'', y • y'' • y' • y''] = [x • y' • x'' + y • x' • x'', y • y' • y''] • [y'', y'']
ჩადგმა ნათელია, x-ს შეესაბამება [x • x, x]?

თუ ამ კონსტრუქციას გავიმეორებთ არა მთელობის არეზე არამედ ნებისმიერ კომუტატურ რგოლზე, ოღონდ მეორე კოორდინატი ნულის გამყოფი არ უნდა იყოს, ველს ვერ მივიღებთ. მივიღებთ კომუტატურ რგოლს ერთიანით, რომელშიც ყოველი ელემენტი ან შებრუნებადია ან ნულის გამყოფია.

მაგალითი
ნათელია რომ ყოველი Zk რგოლია.

რგოლთა ჰომომორფიზმი

ვთქვათ მოცემულია ორი ველი R და S. განვიხილოთ ასახვა f რომელიც შეთანხმებულია შეკრებასთან, გამრავლებასთან, ნულს ნულში გადაიტანს და ერთიანს ერთიანში, ანუ ინახავს ველის სტრუქტურას

(a + b)f = af + bf
(a • b)f = af • bf
0f = 0 და 1f = 1
ჩვეულებრივ სტრუქტურის შემნახავ ასახვას ჰომომორფიზმს უწოდებენ.

აქედან
(-a)f + af = (-a + a)f = 0f = 0
და მაშასადამე (-a)f = -(af)

ჰომომორფიზმით ნულში გადასულ ელემენტთა სიმრავლეს, ბირთვს განსაკუთრბული თვისება აქვს თუ af = 0, მაშინ ნებისმიერი ელემენტი x-ის ნამრავლიც ax ბირთვშია. მართლაც, (ax)f = (af)x = 0x = 0.
ამ თვისების მატარებელ ქვერგოლს იდეალს უწოდებენ

ინგლისურად - ideal
ფრანგულად - un idéal
გერმანულად - ein Ideal
იტალიურად - un ideale
ესპანურად - un ideal
რუსულად - идеал

არაკომუტატურ შემთხვევაში ანსხვავებენ მარცხენა და მარჯვენა იდეალებს იმისდა მიხედვით თუ რომელი ნამრავლი, მარცხენა თუ მარჯვენა აკმაყოფილებს ნახსენებ თვისებას.