მათემატიკა

მარაო

ინგლისურად - marao English vertion
ფრანგულად - un marao
E გერმანულად - ein Marao
იტალიურად - un marao
ესპანურად - un marao
რუსულად - марао

როგორც მათემატიკური ტერმინი მინდა ყველა ენაზე მარაო, marao დამკვიდრდეს.

მათემატიკის ერთ ერთი ილეთია რთული ობიექტის წარმოდგენა უფრო მარტივ ობიექტთა სიმრავლედ. ეს პროცედურა ფართოდ გამოიყენება სხვადასხვა ტერმინოლოგიით: ექვივალენტობა, ფაქტორიზაცია, ფიბრაცია, ფოლიაცია, . . . ერთ ერთი მათგანია ქვემოდ აღწერილი ცნებაც - მარაო, ანუ ობიექტისწარმოდგენა წრფივი სივრცის ქვესივრცეთა სიმრავლედ.

ცნობილია სფეროთა ფიბრაცია, რომელიც ჰოპფმა შენიშნა და 1931 წელს გამოაქვეყნა. Heinz Hopf (1894.11.19 – 1971.06.03). Hopf, Heinz (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche", Mathematische Annalen, Berlin: Springer. ეს ფაქტი იყო სამგანზომილებიანი სფეროს დაშლა წრეწირებად და წრეწირთა ეს სიმრავლე ორგანზომილებიან სფეროს დიფეომორფულია. ეს ფიბრაცია მარტივად აღიწერება თუ სამგანზომილებიან სფეროს ოთხგანზომილებიანი სივრცის სათავიდან გამომავალ სხივთა ერთობლიობად დავინახავთ, ხოლო წრეწირებს იმავე სივრცის კომპლექსური ქვესისივრცის სხივებად. თვით კომპლექსურ ქვესივრცეთა ერთობლიობა კი ურთიერთ არაგადამკვეთ ორგანზომილებიან ქვესივრცეთა სიმრავლეა. ამგვარ ფენომენს მარაოს სახელით მოვიხსენიებ. აქვე მინდა ყურადღება მიაქციოთ ანალოგიას: წრფივი სივრცის ქვესივრცით ფაქტორიზაცია არის სივრცის დაშლა აფინურ სივრცეთა ერთობლიობად, ხოლო მარაო არის სივრცის დაშლა ქვესივრცეთა ერთობლიობად.

განსაზღვრა
წრფივი სივრცე E-ს ერთი და იმავე ფიქსირებული განზომილების ქვესივრცეთა ერთობლიობას ვუწოდებთ მარაოს თუ
- ერთობლიობის ყოველი ორი ქვესივრცის თანაკვეთა ნულოვანი ქვესივრცეა
- ერთობლიობაში შემავალ ქვესივრცეთა სიმრავლური გაერთიანება მთელი სივრცეა
აღნიშვნა: Mnk არის n-განზომილებიან წრფივ სივრცეში k-განზომილებიან ქვესივრცეთა მარაო.

მაგალითი
ველი V-ს მიმართ წრფივი სივრცე E-ს ერთგანზომილებიან ქვესივრცეთა სიმრავლე P არის პროექციული სივრცე. გვაქვს ასახვა E-ს არანულოვან ვექტორთა სიმრავლიდან პროექციულ სივრცე P-ში, ნულისაგან განსხვავებულ ყოველ ვექტორს შეესაბამება მის ჯერადთა ერთგანზომილებიანი ქვესივრცე, პროექციული სივრცის წერტილი. პროექციული სივრცე არის ველის არანულოვან ელემენტთა მულტიპლიკაციური ჯგუფის წრფივ სივრცეზე მოქმედების ორბიტთა სიმრავლე. ეს სიმრავლე, ანუ პროექციული სივრცე მარაოა.
ყოველი კომპლექსური წრფივი სივრცე არის ნამდვილი ლუწგანზომილებიანი წრფივი სივრცეც. ამიტომ კომპლექსური პროექციული სივრცე არის ამავე დროს ნამდვილ ლუწგანზომილებიან წრფივ სივრცეში ორგანზომილებიან ქვესივრცეთა მარაო.
მარაო სწორედაც ამ მაგალითის განზოგადოებაა, ერთგანზომილებიან ქვესივრცეთა ნაცვლად ვიღებთ ნებისმიერი განზომილების ქვესივრცეებს.

ძირითადი მაგალითი
წინა მაგალითის გავრცობა ნებისმიერ ველზე. ვთქვათ W ⊃ V ველის
სასრული გაფართოებაა.ყოველი W-წრფივი სივრცე V-წრფივი სივრცეცაა. W-წრფივი სივრცის პროექციული სივრცე მარაოა. როგორც V-წრფივი სივრცის ქვესივრცეები ისევ მარაოდ რჩება, ოღონდ უკვე მრავალ განზომილებიან ქვესივრცეთა მარაოდ.
ამ მაგალითიდან ჩანს, რომ მარაო შეგვიძლია წარმოვადგინოთ როგორც ველთა გაფართოების განზოგადოება.

გასაგებია, რომ მარაოში შემავალ სივრცეთა განზომილება ვერ იქნება ძირითადი სივრცის განზომილების ნახევარზე მეტი, რადგან ამგვარი განზომილების ორ ქვესივრცეს ნულოვანი თანაკვეთა ვერ ექნება. ეს შესაძლებელია მხოლოდ თუ მარაოში ერთად ერთი ელემენტია თვით საბაზო სივრცე, ეს იქნება ტრივიალური, ერთ ელემენტიანი მარაო, მარაო რომლის ერთადერთი ელემენტი თვით ეს წრფივი სივრცეა: მარაო M ერთადერთი ქვესივრცით E ∈ M. არატრივიალურ მარაოში შემავალ ქვესივრცეთა განზომილების მაქსიმუმია ძირითადი სივრცის განზომილების ნახევარი. არა ტრივიალურ მაქსიმალური განზომილების (საბაზო სივრცის განზომილების ნახევრის) მარაოს მოვიხსენიებ როგორც შუალედური მარაო.

ვთქვათ გვაქვს მარაო M წრფივ სივრცე E-ში. მის ყოველ არანულოვან ვექტორს შეესაბამება მარაოს ერთადერთი ელემენტი, რომელსაც ეს ვექტორი ეკუთვნის. მივიღეთ ასახვა წრფივი სივრცე E-ს არანულოვან ვქტორთა სიმრავლე E*-დან მარაოზე m: E* → M, x ∈ xm = x. თუ ყოველ ფენას ნულს დავუმატებთ გვექნება წრფივი ფიბრაცია მარაოზე. ეს ასახვა არის გრასმანიანზე სტანდარტული ფიბრაციის ნაწილი. მისი განსაკუთრებულებაა რომ ტოტალური სივრცე არის წრფივი სივრცე მრავალი ნულით. ნულების ეს სიმრავლე შეგვიძლია თვით მარაო M-ად ვიგულისხმოთ. E* → M და E → E/p ურთიერთ ორთოგონალურ ფიბრაციებად წარმოგვიდგება: ერთის ფენა მეორის კვეთააა და პირიქითაც.

ვთქვათ მოცემულია ორი მარაო: E-ში მარაო Mnk, F-ში მარაო Mn'k' და წრფივი ასახვა f: E → F ისეთი რომ Mnk-ს ყოველ წერტილს შეესაბამება ერთადერთი Mn'k'-ს წერტილი რომელიც მის ანასახს მოიცავს. ვიტყვით რომ გვაქვს მორფიზმი მარაო Mnk-დან მარაო Mn'k'-ში. კერძოდ თუ ეს მარაოები ერთი და იმავე წრფივ სივრცეშია, F = E, ხოლო f იგიური ასახვაა გვექნება ქვემარაოს ცნება.

მარაოს სხვადასხვაგვარ წარმოდგენისას საჭირო განსხვავებული სახით აღსაწერად ვიხმართ ერთი და იმავე ასოს ფერის შეცვლით:
ვიგულისმოთ
- მარაოს ელემენტი, როგორც მარაოს წერტილი, შავად
- მარაოს ელემენტი, როგორც ქვესივრცე - მწვანედ
- მარაოს ელემენტი, როგორც ასახვა - ლურჯად

ვთქვათ M მარაოა წრფივ სივრცე E-ში განზომილებით n, ხოლო მარაოს წევრთა, ქვესივრცეთა განზომილებაა k, Mnk. ავირჩიოთ მარაოს წერტილი p, მისი არანულოვანი ვექტორი a და p-ს E-ში დამატება A, n-k განზომილების ქვესივრცე. მარაო M გაიყოფა ორ ქვესიმრავლედ M* და M^, მარაოს წერტილები რომელნიც არ ჰკვეთენ A-ს და მარაოს წერტილები რომელნიც შედიან მთლიანად A-ში. მარაოს წერტილი რომელიც ნაწილობრივ ჰკვეთს A-ს არ არსებობს რადგან თუ მას აქვს ერთი ვექტორი მაინც გარეთ მაშინ ამ ვექტორის ღერძი ჰკვეთს აფინურ ქვესივრცე a+A-ს და მასში ჩდება ვექტორი შემავალი p-შიც, რაც შეუძლებელია. რადგან M*-ში შემავალი წერტილი მთლიანად A-ს გარეთაა M* წარმოგვიდგება როგორც წრფივი ასახვა p-დან A-ში, M* ⊂ Lin(p, A). M^ კი იქნბება მარაო A-ში, Mn-kk, რადგან მასში შემავალ ქვესივრცეთა გაერთიანება არის A, მივიღეთ რომ Mnk = M* ∪ Mn-kk. n-k ≥ 2k, n ≥ 3k.
შუალედური მარაოსათვის n-k = k, მაშასადამე გვაქვს წრფივი სივრცეს დამატებული წერტილი, ანუ სფერო, Mnk = Sk.

გავიხსენოთ ასახვა E*→ M. თუ p ∈ M, მაშინ ასახვა ფაქტორ სივრცე E/p-ს ნულისაგან განსხვავებულ ელემენტ a-ს ჩადგამს მარაო M-ში. ავიღოთ a ∈ E/p და a ≠ p, მაშინ а როგორც E*-ის ქვესიმრავლე აისახება მარაოში. რადგან a-ს განსხვავებული წერტილები ერთი და იმავე ელემენტში ვერ აისახება (მათი სხვაობა p-ს ელემენტია) გვაქვს a-ს ჩადგმა მარაოში, a ⊂ M. აფინურ სივრცე a-ს ვექტორ x-ს შეესაბამება მისი მომცველი მარაოს ელემენტი x ∈ xm = x∈ M,
x = a ∩ m.

მარაოს მხები

გავიხსენოთ ასახვა E* → M. ვექტორი მის მომცველ ქვესივრცეში. განვიხილოთ მისი მხები TpE* → TpM. E* წრფივი სივრცის ნაწილია, გასაგებია TpE* = E, გვაქვს E → TpM. ნათელია ეს წრფივი ასaხვა ეპიმორფიზმია და მუდმივია p-ზე და p არის მისი ბირთვი. მაშასადამე TpM = E/p. აქედან მარაოს განზომილებაც: თუ k არის მარაოს წევრთა განზომილება, მაშინ თვით მარაოს განზომილება იქნება n - k, n = dimE.

მარაო გრასმანიანის ნაწილია ამიტომ E/p = TpM ⊂ Lin(p, E/p). E/p-ს ყოველი ელემენტი შეგვიძლია განვიხილოთ როგორც წრფივი ასახვა p-დან E/p-ში, ასე რომ p მოქმედებს E/p-ზე. a • x ∈ E/p, x ∈ p, a • x =xa ∈ E/p.

თუ a∈E/p შეგვიძლია ის განვიხილოთ როგორც მარაოს მხები ვექტორი წერტილში p, ხოლო თუ x∈ a მასვე შევუსაბამოთ წირი, რომელიც აღიწერება როგორც x + yr წერტილთა (y∈p) მომცველი მარაოს წევრი ქვესივრცეების წირი r → (x + yr)m = x + yr , x+yr ∈ x + yr ∈ M

წრფივი სივრცე E-ს ყოველ ვექტორს u შევუსაბამოთ მარაოს წერტილ p-ში მხები ვექტორი: ეს იყოს u-ს ანასახი E/p-ში, ანუ აფინური სივრცე p-ს მიმართ რომელიც შეიცავს u-ს, u + p.გამოდის რომ ნებისმიერ ვექტორს E-დან შეესაბამაბამება ვექტორული ველი მარაოზე M. თვით ძირთადი სივრცე წარმოგვიდგება როგორც მარაოზე ვექტორულ ველთა სივრცე.

? ? ? მარაოს გეომეტრია

განვიხილოთ ფიბრაცია E → M. ფენა მარაოს წერტილ p-ზე არის თვით p როგორც წრფივი სივრცე. მისი წერტილის მხები ფენის გასწვრივ იქნება p, ხოლო როგორც ფიბრაციის ტოტალური სივრცის მხები მას დაემატება E/p. მაგრამ რადგან ეს ტოტალური სივრცე იგივეა რაც ძირითადი სივრცე E მისი მხებია თვით E, ამაში წინააღმდეგობა არ არის მარაო წარმოადგენს E-ს ნამრავლის სახით E = p × E/p. რადგან E/p-ს ელემენტი არის წრფივი ასახვაც (p → E/p) შეგვიძლია განვმარტოთ განზოგადოებული სიმპლექტური სტრუქტურა: <[x, a], [y, b]> = xb - ya ∈ E/p.

ჰოპფის ფიბრაცია

ვთქვათ მოცემულია წრფივი სივრცე და მასში მარაო Mnk' და ამ მარაოს ყოველ წერტილში, ქვესიცვრცეში მარაოები ქვესივრცეთა განზომილებით k (თუ მოცემულია ზედა მარაოს ერთ ერთ წერტილ p-ში მარაო შესაძლებელია მისი გადატანა მარაოს ყველა წეირტილში რადგან გცაქვს მათი იზომორფიზმები), Mk'k, k < k'. ეს მცირე მარაოთა ქვესივრცეთა სიმრავლე იქნება მარაო Mnk და გვექნება ასახვაც Mnk → Mnk'. ეს ასახვა ფიბრაციაა ტოტალური სივრციდან, მცირე ქვესივრცეთა მარაო Mnk-დან ასახვა მარაო Mnk'-ში. ბაზის ყველა წერტილზე ფენა არის მცირე მარაო Mk'k. ამგვარ ფიბრაციას უპრიანია ვუწოდოთ ჰოპფის ფიბრაცია რადგან ჰოპფის ცნობილი ფიბრაციები სწორედ ამის მაგალითებია.

რადგან პროექციული სივრცე მარაოა გვაქვს n-1 განზომილების პროექციული სივრცე ტოტალურ სივრცედ და ფიბრაციის ბაზად k განზომილების ქვესივრცეთა მარაო n განზომილებიან წრფივ სივრცეში ფიბრაცია Mn1 → Mnk ფენით Mk1.

ვთქვათ M მარაოა წრფივ სივრცე E-ში ხოლო N მარაო წრფივ სივრცე F-ში. განვიხილოთ ნამრავლი M × N, მისი ყოველი ელემენტი p × q იქნება E × F-ის ქვესივრცე ერთი და იმავე განზომილების, ეს ქვესივრცეები ერთმანეთს არ ჰკვეთენ და მთელ E × F-ს მოიცავენ. ესე იგი მათი სიმრავლე M × N cx>C × F-ში.

სფერო დავინახოთ როგორც სხივთა სიმრავლე რომელიც აისახება პროექციულ სივრცეში, ღერძთა სიმრავლეში, რომელიც თავის მხრლვ არის ერთგანზომილებიან ქვესივრცეთა მარაო.
8=ℝ16 → S15 → ℝP15 = M161 → ℂP7 = M162 → M164 → M168 = S8
ფენა: სხივი, ორი ურთიერთ საწინააღმდეგო მიმართულების ანუ სფერო S0M21 ანუ წრეწირი S1, M42 ანუ სფერო S2, M84 ანუ სფერო S4, მეორიდან ბოლომდე ფიბრაციის ფენაა 8-განზომილებიანი წრფივი სივრცის სხივები ანუ სფერო S7.

4=ℝ8 → S7 → ℝP7 = M81 → M82= ℂP3 → M84 = S4
ფენა: სხივი, ორი ურთიერთ საწინააღმდეგო მიმართულების სხივი ანუ სფერო S0, M21 ანუ წრეწირი S1, M42 ანუ სფერო S2, მეორიდან ბოლომდე ფიბრაციის ფენაა 4-განზომილებიანი წრფივი სივრცის სხივები ანუ სფერო S3.

2=ℝ4 → S3 → ℝP3 = M41 → ℂP1 = M42 = S2
ფენა: სხივი, ორი ურთიერთ საწინააღმდეგო მიმართულების სხივი ანუ სფერო S0, M21 ანუ წრეწირი S1, მეორიდან ბოლომდე ფიბრაციის ფენაა 2-განზომილებიანი წრფივი სივრცის სხივები ანუ სფერო S1.

ℂ=ℝ2 → S1 → ℝP1 = M21= S1

ფენა: ღერძი, ორი ურთიერთ საწინააღმდეგო მიმართულების სხივი ანუ ორი წერტილი სფერო S0.