მათემატიკა

მარაო

ინგლისურად - marao English vertion
ფრანგულად - un marao
E გერმანულად - ein Marao
იტალიურად - un marao
ესპანურად - un marao
რუსულად - марао

როგორც მათემატიკური ტერმინი მინდა ყველა ენაზე მარაო, marao დამკვიდრდეს.

მათემატიკის ერთ ერთი ილეთია რთული ობიექტის წარმოდგენა უფრო მარტივ ობიექტთა სიმრავლედ. ეს პროცედურა ფართოდ გამოიყენება სხვადასხვა ტერმინოლოგიით: ექვივალენტობა, ფაქტორიზაცია, ფიბრაცია, ფოლიაცია, . . . ერთ ერთი მათგანია ქვემოდ აღწერილი ცნებაც - მარაო, ანუ ობიექტისწარმოდგენა წრფივი სივრცის ქვესივრცეთა სიმრავლედ.

ცნობილია სფეროთა ფიბრაცია, რომელიც ჰოპფმა შენიშნა და 1931 წელს გამოაქვეყნა. Heinz Hopf (1894.11.19 – 1971.06.03). Hopf, Heinz (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche", Mathematische Annalen, Berlin: Springer. ეს ფაქტი იყო სამგანზომილებიანი სფეროს დაშლა წრეწირებად და წრეწირთა ეს სიმრავლე ორგანზომილებიან სფეროს დიფეომორფულია. ეს ფიბრაცია მარტივად აღიწერება თუ სამგანზომილებიან სფეროს ოთხგანზომილებიანი სივრცის სათავიდან გამომავალ სხივთა ერთობლიობად დავინახავთ, ხოლო წრეწირებს იმავე სივრცის კომპლექსური ქვესისივრცის სხივებად. თვით კომპლექსურ ქვესივრცეთა ერთობლიობა კი ურთიერთ არაგადამკვეთ ორგანზომილებიან ქვესივრცეთა სიმრავლეა. ამგვარ ფენომენს მარაოს სახელით მოვიხსენიებ. აქვე მინდა ყურადღება მიაქციოთ ანალოგიას: წრფივი სივრცის ქვესივრცით ფაქტორიზაცია არის სივრცის დაშლა აფინურ სივრცეთა ერთობლიობად, ხოლო მარაო არის სივრცის დაშლა ქვესივრცეთა ერთობლიობად.

განსაზღვრა
წრფივი სივრცე E-ს ერთი და იმავე ფიქსირებული განზომილების ქვესივრცეთა ერთობლიობას ვუწოდებთ მარაოს თუ
- ერთობლიობის ყოველი ორი ქვესივრცის თანაკვეთა ნულოვანი ქვესივრცეა
- ერთობლიობაში შემავალ ქვესივრცეთა სიმრავლური გაერთიანება მთელი სივრცეა
აღნიშვნა: Mnk არის n-განზომილებიან წრფივ სივრცეში k-განზომილებიან ქვესივრცეთა მარაო.

მაგალითი
ველი V-ს მიმართ წრფივი სივრცე E-ს ერთგანზომილებიან ქვესივრცეთა სიმრავლე P არის პროექციული სივრცე. გვაქვს ასახვა E-ს არანულოვან ვექტორთა სიმრავლიდან პროექციულ სივრცე P-ში, ნულისაგან განსხვავებულ ყოველ ვექტორს შეესაბამება მის ჯერადთა ერთგანზომილებიანი ქვესივრცე, პროექციული სივრცის წერტილი. პროექციული სივრცე არის ველის არანულოვან ელემენტთა მულტიპლიკაციური ჯგუფის წრფივ სივრცეზე მოქმედების ორბიტთა სიმრავლე. ეს სიმრავლე, ანუ პროექციული სივრცე მარაოა.
ყოველი კომპლექსური წრფივი სივრცე არის ნამდვილი ლუწგანზომილებიანი წრფივი სივრცეც. ამიტომ კომპლექსური პროექციული სივრცე არის ამავე დროს ნამდვილ ლუწგანზომილებიან წრფივ სივრცეში ორგანზომილებიან ქვესივრცეთა მარაო.
მარაო სწორედაც ამ მაგალითის განზოგადოებაა, ერთგანზომილებიან ქვესივრცეთა ნაცვლად ვიღებთ ნებისმიერი განზომილების ქვესივრცეებს.

ძირითადი მაგალითი
წინა მაგალითის გავრცობა ნებისმიერ ველზე. ვთქვათ W ⊃ V ველის
სასრული გაფართოებაა. ველი W არის სასრული განზომილების V-წრფივი სივრცე. ყოველი W-წრფივი სივრცე V-წრფივი სივრცეცაა. W-წრფივი სივრცის პროექციული სივრცე მარაოა. როგორც V-წრფივი სივრცის ქვესივრცეები ისევ მარაოდ რჩება, ოღონდ უკვე მრავალ განზომილებიან ქვესივრცეთა მარაოდ.
ამ მაგალითიდან ჩანს, რომ მარაო შეგვიძლია წარმოვადგინოთ როგორც ველთა გაფართოების განზოგადოება.

გასაგებია, რომ მარაოში შემავალ სივრცეთა განზომილება ვერ იქნება ძირითადი სივრცის განზომილების ნახევარზე მეტი, რადგან ამგვარი განზომილების ორ ქვესივრცეს ნულოვანი თანაკვეთა ვერ ექნება. ეს შესაძლებელია მხოლოდ თუ მარაოში ერთად ერთი ელემენტია თვით საბაზო სივრცე, ეს იქნება ტრივიალური, ერთ ელემენტიანი მარაო, მარაო რომლის ერთადერთი ელემენტი თვით ეს წრფივი სივრცეა: მარაო M ერთადერთი ქვესივრცით E ∈ M. არატრივიალურ მარაოში შემავალ ქვესივრცეთა განზომილების მაქსიმუმია ძირითადი სივრცის განზომილების ნახევარი. არა ტრივიალურ მაქსიმალური განზომილების (საბაზო სივრცის განზომილების ნახევრის) მარაოს მოვიხსენიებ როგორც შუალედური მარაო.

ვთქვათ გვაქვს მარაო M წრფივ სივრცე E-ში. მის ყოველ არანულოვან ვექტორს შეესაბამება მარაოს ერთადერთი ელემენტი, რომელსაც ეს ვექტორი ეკუთვნის. მივიღეთ ასახვა წრფივი სივრცე E-ს არანულოვან ვქტორთა სიმრავლე E*-დან მარაოზე m: E* → M, x ∈ xm = x. თუ ყოველ ფენას ნულს დავუმატებთ გვექნება წრფივი ფიბრაცია მარაოზე. ეს ასახვა არის გრასმანიანზე სტანდარტული ფიბრაციის ნაწილი. მისი განსაკუთრებულებაა რომ ტოტალური სივრცე არის წრფივი სივრცე მრავალი ნულით. ნულების ეს სიმრავლე შეგვიძლია თვით მარაო M-ად ვიგულისხმოთ. E* → M და E → E/p ურთიერთ ორთოგონალურ ფიბრაციებად წარმოგვიდგება: ერთის ფენა მეორის კვეთააა და პირიქითაც.

მარაოს სხვადასხვაგვარ წარმოდგენისას საჭირო განსხვავებული სახით აღსაწერად ვიხმართ ერთი და იმავე ასოს ფერის შეცვლით:
ვიგულისმოთ
- მარაოს ელემენტი, როგორც მარაოს წერტილი, შავად
- მარაოს ელემენტი, როგორც ქვესივრცე - მწვანედ
- მარაოს ელემენტი, როგორც ასახვა - ლურჯად

ვთქვათ Mnk მარაოა წრფივ სივრცე E-ში განზომილებით n, ხოლო მარაოს წევრთა, ქვესივრცეთა განზომილებაა k. ავირჩიოთ მარაოს წერტილი p, მისი არანულოვანი ვექტორი a და p-ს E-ში დამატება A, n-k განზომილების ქვესივრცე. მარაო M გაიყოფა ორ ქვესიმრავლედ M* და M^, მარაოს წერტილები რომელნიც არ ჰკვეთენ A-ს და მარაოს წერტილები რომელნიც შედიან მთლიანად A-ში. მარაოს წერტილი რომელიც ნაწილობრივ ჰკვეთს A-ს არ არსებობს რადგან თუ მას აქვს ერთი ვექტორი მაინც გარეთ მაშინ ამ ვექტორის ღერძი ჰკვეთს აფინურ ქვესივრცე a+A-ს და მასში ჩდება ვექტორი შემავალი p-შიც, რაც შეუძლებელია. რადგან M*-ში შემავალი წერტილი მთლიანად A-ს გარეთაა M* წარმოგვიდგება როგორც წრფივი ასახვა p-დან A-ში, M* ⊂ Lin(p, A). M^ კი იქნბება მარაო A-ში, Mn-kk, რადგან მასში შემავალ ქვესივრცეთა გაერთიანება არის A, მივიღეთ რომ Mnk = M* ∪ Mn-kk. n-k ≥ 2k, n ≥ 3k.
შუალედური მარაოსათვის n-k = k, მაშასადამე გვაქვს წრფივი სივრცეს დამატებული წერტილი, ანუ სფერო, Mnk = Sk.
თუ მარაოს წერტილში ვიგულისხმებთ არა ქვესივრცეს არამედ მის სხივთა სიმრავლეს დიდი არაფერი შეიცვლება, შეიცვლება მხოლოდ წერტილთა სტრუქტურა, წერტილი იქნება სფერო, მაგრამ თვით მარაოს როგორც ტოპოლოგიური სივრცე სტრუქურა არ შეიცვლება. ამვარი მარაო აღვნიშნოთ Snk-1-ით. როგორც ვხედავთ ქვესივრცეთა მარაოდან სფეროთა მარაოზე გადასვლა ტრივიალურია. მაგრამ სფეროთა მარაოდან ქვესივრცეთა მარაოზე გადასვლა შესაძლოა ვერ ხერხდებოდეს, რადგან ღერძთა არ დამთხვევა ვერ უზრუნველყოფს ვექტორთა არ დამთხვევას. ასევე ჩდება ფიბრაცია Sn-1 → Snk-1.

მაგალითი
თუ Lin(E, F)-ში შევძლებთ ავირჩიოთ ქვესიმრავლე რომელიც Lin(E, F)-ში განსაზვრული გამრავლებით იქნება ალგებრა, A, პირობით:
- xa = xb ⇒ a = b თუნდაც ერთი ვექტორისათვის E-დან
მაშინ A-s ელემენტთა გრაფიკთა სიმრავლეს დამატებული ქვესივრცე 0 × Ee' ი ქნება მარაო E × F-ში.

გავიხსენოთ ასახვა E*→ M. თუ p ∈ M, მაშინ ასახვა ფაქტორ სივრცე E/p-ს ნულისაგან განსხვავებულ ელემენტ a-ს ჩადგამს მარაო M-ში. მართლაც, ავიღოთ a ∈ E/p და a ≠ p, მაშინ а როგორც E*-ის ქვესიმრავლე აისახება მარაოში. რადგან a-ს განსხვავებული წერტილები ერთი და იმავე ელემენტში ვერ აისახება (მათი სხვაობა p-ს ელემენტია) გვაქვს a-ს ჩადგმა მარაოში, a ⊂ M. აფინურ სივრცე a-ს ვექტორ x-ს შეესაბამება მისი მომცველი მარაოს ელემენტი x ∈ xm = x∈ M,
x = am.

მარაოს მხები

გავიხსენოთ ასახვა E* → M. ვექტორი მის მომცველ ქვესივრცეში. განვიხილოთ მისი მხები TpE* → TpM. E* წრფივი სივრცის ნაწილია, გასაგებია TpE* = E, გვაქვს E → TpM. ნათელია ეს წრფივი ასaხვა ეპიმორფიზმია და მუდმივია p-ზე და p არის მისი ბირთვი. მაშასადამე TpM = E/p. აქედან მარაოს განზომილებაც: თუ k არის მარაოს წევრთა განზომილება, მაშინ თვით მარაოს განზომილება იქნება n - k, n = dimE.

მარაო გრასმანიანის ნაწილია ამიტომ E/p = TpM ⊂ Lin(p, E/p). E/p-ს ყოველი ელემენტი შეგვიძლია განვიხილოთ როგორც წრფივი ასახვა p-დან E/p-ში, ასე რომ p მოქმედებს E/p-ზე. a • x ∈ E/p, x ∈ p, a • x =xa ∈ E/p.

თუ a∈E/p შეგვიძლია ის განვიხილოთ როგორც მარაოს მხები ვექტორი წერტილში p, ხოლო თუ x∈ a მასვე შევუსაბამოთ წირი, რომელიც აღიწერება როგორც x + yr წერტილთა (y∈p) მომცველი მარაოს წევრი ქვესივრცეების წირი r → (x + yr)m = x + yr , x+yr ∈ x + yr ∈ M

წრფივი სივრცე E-ს ყოველ ვექტორს u შევუსაბამოთ მარაოს წერტილ p-ში მხები ვექტორი: ეს იყოს u-ს ანასახი E/p-ში, ანუ აფინური სივრცე p-ს მიმართ რომელიც შეიცავს u-ს, u + p.გამოდის რომ ნებისმიერ ვექტორს E-დან შეესაბამაბამება ვექტორული ველი მარაოზე M. თვით ძირთადი სივრცე წარმოგვიდგება როგორც მარაოზე ვექტორულ ველთა სივრცე.

? ? ? მარაოს გეომეტრია

განვიხილოთ ფიბრაცია E → M. ფენა მარაოს წერტილ p-ზე არის თვით p როგორც წრფივი სივრცე. მისი წერტილის მხები ფენის გასწვრივ იქნება p, ხოლო როგორც ფიბრაციის ტოტალური სივრცის მხები მას დაემატება E/p. მაგრამ რადგან ეს ტოტალური სივრცე იგივეა რაც ძირითადი სივრცე E მისი მხებია თვით E, ამაში წინააღმდეგობა არ არის მარაო წარმოადგენს E-ს ნამრავლის სახით E = p × E/p. რადგან E/p-ს ელემენტი არის წრფივი ასახვაც (p → E/p) შეგვიძლია განვმარტოთ განზოგადოებული სიმპლექტური სტრუქტურა: <[x, a], [y, b]> = xb - ya ∈ E/p.

ჰოპფის ფიბრაცია

ვთქვათ მოცემულია წრფივი სივრცე და მასში მარაო Mnk' და ამ მარაოს ყოველ წერტილში, ქვესიცვრცეში მარაოები ქვესივრცეთა განზომილებით k (თუ მოცემულია ზედა მარაოს ერთ ერთ წერტილ p-ში მარაო შესაძლებელია მისი გადატანა მარაოს ყველა წეირტილში რადგან გცაქვს მათი იზომორფიზმები), Mk'k, k < k'. ეს მცირე მარაოთა ქვესივრცეთა სიმრავლე იქნება მარაო Mnk და გვექნება ასახვაც Mnk → Mnk'. ეს ასახვა ფიბრაციაა ტოტალური სივრციდან, მცირე ქვესივრცეთა მარაო Mnk-დან ასახვა მარაო Mnk'-ში. ბაზის ყველა წერტილზე ფენა არის მცირე მარაო Mk'k. ამგვარ ფიბრაციას უპრიანია ვუწოდოთ ჰოპფის ფიბრაცია რადგან ჰოპფის ცნობილი ფიბრაციები სწორედ ამის მაგალითებია.

რადგან პროექციული სივრცე მარაოა გვაქვს n-1 განზომილების პროექციული სივრცე ტოტალურ სივრცედ და ფიბრაციის ბაზად k განზომილების ქვესივრცეთა მარაო n განზომილებიან წრფივ სივრცეში ფიბრაცია Mn1 → Mnk ფენით Mk1.

ვთქვათ M მარაოა წრფივ სივრცე E-ში ხოლო N მარაო წრფივ სივრცე F-ში. განვიხილოთ ნამრავლი M × N, მისი ყოველი ელემენტი p × q იქნება E × F-ის ქვესივრცე ერთი და იმავე განზომილების, ეს ქვესივრცეები ერთმანეთს არ ჰკვეთენ და მთელ E × F-ს მოიცავენ. ესე იგი მათი სიმრავლე M × N cx>C × F-ში.

სფერო დავინახოთ როგორც სხივთა სიმრავლე რომელიც აისახება პროექციულ სივრცეში, ღერძთა სიმრავლეში, რომელიც თავის მხრლვ არის ერთგანზომილებიან ქვესივრცეთა მარაო.
16 → S15 → M161 → M162 → M164 → M168 = S8
სფეროდან ბოლომდე ჰოპფის ფიბრაციააა, ფენით 8-განზომილებიანი წრფივი სივრცის სხივები ანუ სფერო S7.
ანალოგიურად
8 → S7 → M81 → M82 → M84 = S4

4 → S3 → M41 → M42 = S2

2 → S1 → M21= S1

მარაოთა კატეგორია

ვთქვათ მოცემულია ორი მარაო: E-ში მარაო Mnk, F-ში მარაო Mn'k' და წრფივი ასახვა f: E → F ისეთი რომ Mnk-ს ყოველ წერტილს შეესაბამება ერთადერთი Mn'k'-ს წერტილი რომელიც მის ანასახს მოიცავს. ვიტყვით რომ გვაქვს მორფიზმი მარაო Mnk-დან მარაო Mn'k'-ში.

ვთქვათ Mnk მარაოა E-ში. შეგვიძლია ავაგოთ მარაო ფაქტორ-სივრცეში. თუ F ⊂ EE გვექნება მარაო F-ში {}.

ვთქვათ მოცემულია ალგებრა A და მოდული მის მიმართ B პირობით:
- B მოდულის ყოველი არანულოვანი წყვილი x, y-სათვის არსებობს ერთადერთი ელემენტი a A-დან ისეთი რომ a • x = y
ამ პირობით შეგვიძლია ავაგოთ მარაო წრფივ სივრცე B × B-ში
ყოველ ელემენტ a-ს A-დან შევუსაბამოთ ქვესივრცე {[x, a • x], x ∈ A}. თუ ამ ქვესივრცეთა სიმრავლეს დავუმატებთ ქვესივრცე 0 × B-ს მივიღებთ მარაო M-ს, M ⊃ A.