მათემატიკა

მარაო

Japanischer Faltfächer

Éventail Louis XIV

ინგლისურად - marao english vertion
ფრანგულად - un marao
გერმანულად - ein Marao
იტალიურად - un marao
ესპანურად - un marao
რუსულად - марао

როგორც მათემატიკური ტერმინი მინდა ყველა ენაზე მარაო, marao დამკვიდრდეს.

მათემატიკის ერთ ერთი ილეთია რთული ობიექტის წარმოდგენა უფრო მარტივ ობიექტთა სიმრავლედ. ეს პროცედურა ფართოდ გამოიყენება სხვადასხვა ტერმინოლოგიით: ექვივალენტობა, ფაქტორიზაცია, ფიბრაცია, ფოლიაცია, . . . ერთ ერთი მათგანია ქვემოდ აღწერილი ცნებაც - მარაო, ანუ წრფივი სივრცის წარმოდგენა ქვესივრცეთა სიმრავლედ.

ცნობილია სფეროთა ფიბრაცია, რომელიც ჰოპფმა შენიშნა და 1931 წელს გამოაქვეყნა. Heinz Hopf (1894.11.19 – 1971.06.03). Hopf, Heinz (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche", Mathematische Annalen, Berlin: Springer. ეს ფაქტი იყო სამგანზომილებიანი სფეროს დაშლა წრეწირებად და წრეწირთა ეს სიმრავლე ორგანზომილებიან სფეროს დიფეომორფულია. ეს ფიბრაცია მარტივად აღიწერება თუ სამგანზომილებიან სფეროს ოთხგანზომილებიანი სივრცის სათავიდან გამომავალ სხივთა ერთობლიობად დავინახავთ, ხოლო წრეწირებს იმავე სივრცის კომპლექსური ქვესისივრცის სხივებად. თვით კომპლექსურ ქვესივრცეთა ერთობლიობა კი ურთიერთ არაგადამკვეთ ორგანზომილებიან ქვესივრცეთა სიმრავლეა. ამგვარ ფენომენს მარაოს სახელით მოვიხსენიებ. აქვე მინდა ყურადღება მიაქციოთ ანალოგიას: წრფივი სივრცის ქვესივრცით ფაქტორიზაცია არის სივრცის დაშლა აფინურ სივრცეთა ერთობლიობად, ხოლო მარაო არის სივრცის დაშლა ქვესივრცეთა ერთობლიობად.

განსაზღვრა
წრფივი სივრცე E-ს ერთი და იმავე ფიქსირებული განზომილების ქვესივრცეთა ერთობლიობას ვუწოდებთ მარაოს თუ
- ერთობლიობის ყოველი ორი ქვესივრცის თანაკვეთა ნულოვანი ქვესივრცეა
- ერთობლიობაში შემავალ ქვესივრცეთა სიმრავლური გაერთიანება მთელი სივრცეა

მაგალითი
ველი V-ს მიმართ წრფივი სივრცე E-ს ერთგანზომილებიან ქვესივრცეთა სიმრავლე P არის პროექციული სივრცე. გვაქვს ასახვა E-ს არანულოვან ვექტორთა სიმრავლიდან პროექციულ სივრცე P-ში, ნულისაგან განსხვავებულ ყოველ ვექტორს შეესაბამება მის ჯერადთა ერთგანზომილებიანი ქვესივრცე, პროექციული სივრცის წერტილი. პროექციული სივრცე არის ველის არანულოვან ელემენტთა მულტიპლიკაციური ჯგუფის წრფივ სივრცეზე მოქმედების ორბიტთა სიმრავლე. ეს სიმრავლე, ანუ პროექციული სივრცე მარაოა.
ყოველი კომპლექსური წრფივი სივრცე არის ნამდვილი ლუწგანზომილებიანი წრფივი სივრცეც. ამიტომ კომპლექსური პროექციული სივრცე არის ამავე დროს ნამდვილ ლუწგანზომილებიან წრფივ სივრცეში ორგანზომილებიან ქვესივრცეთა მარაო.

ძირითადი მაგალითი
ვთქვათ W ⊃ V ველის
სასრული გაფართოებაა. ველი W არის სასრული განზომილების V-წრფივი სივრცე. ყოველი W-წრფივი სივრცე V-წრფივი სივრცეცაა. W-წრფივი სივრცის პროექციული სივრცე მარაოა. როგორც V-წრფივი სივრცის ქვესივრცეები ისევ მარაოდ რჩება, ოღონდ უკვე მრავალ განზომილებიან ქვესივრცეთა მარაოდ.
ამ მაგალითიდან ჩანს, რომ მარაო შეგვიძლია წარმოვადგინოთ როგორც ველთა გაფართოების განზოგადოება.

გასაგებია, რომ მარაოში შემავალ სივრცეთა განზომილება ვერ იქნება ძირითადი სივრცის განზომილების ნახევარზე მეტი, რადგან ამგვარი განზომილების ორ ქვესივრცეს ნულოვანი თანაკვეთა ვერ ექნება. ეს შესაძლებელია მხოლოდ თუ მარაოში ერთად ერთი ელემენტია თვით საბაზო სივრცე, ეს იქნება ტრივიალური, ერთ ელემენტიანი მარაო, მარაო რომლის ერთადერთი ელემენტი თვით ეს წრფივი სივრცეა: მარაო M ერთადერთი ქვესივრცით E ∈ M. არატრივიალურ მარაოში შემავალ ქვესივრცეთა განზომილების მაქსიმუმია ძირითადი სივრცის განზომილების ნახევარი. არა ტრივიალურ მაქსიმალური განზომილების (საბაზო სივრცის განზომილების ნახევრის) მარაოს ვუწოდოთ შუალედური მარაო.

ვთქვათ გვაქვს მარაო M წრფივ სივრცე E-ში. მის ყოველ არანულოვან ვექტორს შეესაბამება მარაოს ერთადერთი ელემენტი, რომელსაც ეს ვექტორი ეკუთვნის. გვაქვს ასახვა წრფივი სივრცე E-ს არანულოვან ვქტორთა სიმრავლე E*-დან მარაოზე m: E* → M, x ∈ xm = x. ეს ასახვა არის გრასმანიანზე სტანდარტული ფიბრაციის ნაწილი. მისი განსაკუთრებულებაა რომ ტოტალური სივრცე არის წრფივი სივრცე მრავალი ნულით. ნულების ეს სიმრავლე შეგვიძლია თვით მარაო M-ად ვიგულისხმოთ. E* → M და E → E/p უთიერთ ორთოგონალურ ფიბრაციებად წარმოგვიდგება: ერთის ფენა მეორის კვეთააა და პირიქითაც.

მარაოს სხვადასხვაგვარ წარმოდგენისას საჭირო EEგანსხვავებული სახით აღსაწერად ვიხმართ ერთი და იმავე ასოს ფერის შეცვლით:
ით მარაოდ ვიგულისმოთ - მარაოს წერტილი, როგორც მარაოს ელემენტი - შავი
- მარაოს წერტილი, როგორც ქვესივრცე - მწვანე
- მარაოს წერტილი, როგორც წრფივი ასახვა - ლურჯი

ვთქვათ M მარაოა წრფივ სივრცე E-ში განზომილებით n, ხოლო მარაოს წევრთა, ქვესივრცეთა განზომილებაა k. ავირჩიოთ n-k განზომილების E-ს ქვესივრცე A. მარაო გაიყოფა ორ ქვესიმრავლედ, პირველი რომელთა თანაკვეთა A-სთან ნულია, M* და მეორე, როემლთა თანაკვეთა A-სთან არ არის ნული, M^. ავირჩიოთ M*-ის ელემენტი p. ამ არჩევანით M*-ის ყოველი ელემენტი m ∈ M* იქნება p-დან A-ში წრფივი ასახვის, m ∈ Lin(p,A) = lin (p, E/p), გრაფიკი m = {[x, xm]| x∈p} ⊂ E. რადგან M*-ის ელემენტი p არ გადაიკვეთება A-სთან თვით წარფივი სივრცე E წარმოდგება როგორც ნამრავლი p × A.

თუ p ∈ M, მაშინ აგებული ასახვა ფაქტორ სივრცე E/p-ს ნულისაგან განსხვავებულ ელემენტ a-ს ჩადგამს მარაო M-ში. ავიღოთ a ∈ E/p და a ≠ p, მაშინ а როგორც E*-ის ქვესიმრავლე აისახება მარაოში. რადგან a-ს განსხვავებული წერტილები ერთი და იმავე ელემენტში ვერ აისახება (მათი სხვაობა p-ს ელემენტია) გვაქვს a-ს ჩადგმა მარაოში, a ⊂ M. აფინური სივრცე a-ს ვექტორ x-ს შეესაბამება მისი მომცველი მარაოს ელემენტი x ∈ xm = x∈ M, x = a ∩ m.

ნათელია რომ, x და xv მარაოს ერთი და იმავე ელემენტშია, სადაც v ველის ელემენტია, ანუ გვექნება x = xv.
სივრცე E არის აფინურ სივრცეთა გაერთიანება E = ∪ a, სადაც a∈E/p, ხოლო მარაო M არის იმავე სიმრავლეს დამატებული ერთი წერტილი p, M = p ∪(∪a), a∈E/p.

მაგალითი
წინა მაგალითში მომცველი ველის ნაცვლად განვიხილოთ ველი V-ს მომცველი სასრული განზომილების წრფივი სივრცე A ⊃ V და მისი მოქმედება სასრული განზომილების წრფივ სივრცე E-ზე. მოქმედების რა თვისებებია საჭირო რომ ორბიტთა სიმრავლე იყოს მარაო? ჯერ ერთი ყოველი ორბიტი რომ ქვესივრცე იყოს საჭიროა მოქმედების წრფივობა:
- თუ 0 ≠ a ∈ A ასახვა E → E, x → xa იზომორფიზმია
- თუ 0 ≠ x ∈ E ასახვა A → E, a → xa მონომორფიზმია
ჯგუფის მოქმედების შემთხვევაში ორბიტების არ გადამკვეთელობას ჯგუფში შებრუნებული ელემენტის არსებობა უზრუნველყოფს. ჩვენ შემთხვევაში საჭიროა დამატებითი პირობა
თუ xa = yb, მაშინ არსებობს c∈A ისეთი რომ y = xc ან a= c ∘ b.
ავირჩიოთ e∈p. განვიხილოთ ასახვა A-დან M-ზე, A → M, x → e+x, x∈e+x∈M. ეს ასახვა არის კომპოზიცია A → e + A ⊂ E → M. მივიღეთ მარაოს ნაწილზე (აკლია მხოლოდ p) აფინური სტრუქტურა. გამოდის მარაო სფეროს (განზომილება n - k) ჰომეომორფულია.

მარაოს მხები

ნათელია, მარაო e გრასმანიანის ქვემრავალნაირობაა. მარაოს მხები მის წერტილ p-ში, ბუნებრივია, არის Lin(p, E/p)-ს ქვესიმრავლე. ძირითადი წრფივი სივრცე E-ს ყოველ წერტილზე გადის მარაოს ერთადერთი წევრი. გვაქვს ასახვა E → G. მისი მხები მარაოს წერტილ p-ში იქნება წრფივი ასახვა E → TpG= Lin(p, E/p), რადგან ასახვის E → TpM ბირთვი, ნათელია, არის p მივიღეთ რომ მხები TpM იზომორფულია ფაქტორ სივრცე E/p-სი. აქედან მარაოს განზომილებაც: თუ k არის მარაოს წევრთა განზომილება , მაშინ თვით მარაოს განზომილება იქნება n - k, n = dimE.

თუ a∈E/p შეგვიძლია ის განვიხილოთ როგორც მარაოს მხები ვექტორი წერტილში p, ხოლო თუ x∈ a მასვე შევუსაბამოთ წირი, რომელიც აღიწერება როგორც x + yr წერტილთა (y∈p) მომცველი მარაოს წევრი ქვესივრცეების წირი r → (x + yr)m = x + yr , x+yr ∈ x + yr ∈ M

წრფივი სივრცე E-ს ყოველ ვექტორს u შევუსაბამოთ მარაოს წერტილ p-ში მხები ვექტორი: ეს იყოს u-ს ანასახი E/p-ში, ანუ აფინური სივრცე p-ს მიმართ რომელიც შეიცავს u-ს, u + p.გამოდის რომ ნებისმიერ ვექტორს E-დან შეესაბამაბამება ვექტორული ველი მარაოზე M.

მარაოთა კატეგორია

ვთქვათ მოცემულია ორი მარაო M , N და მათი სიმრავლური ასახვა f:M → N გამოწვეული საბაზო წრფივ სივრცეთა წრფივი ასახვით E → F. ამგვარ ასახვას ვუწოდოთ მარაოთა მორფიზმი. ამგვარად შეიქმნა კატეგორია, რომლის ობიექტია მარაო,ხოლო მორფიზი ახლახან აღწერილი მარაოთა მორფიზმი. ამ კატეგორიაში არსებობს ერთ ელემენტიანი მარაო: წრფივი სივრცე და მარაო რომლის ერთადერთი ელემენტი თვით ეს წრფივი სივრცეა: წრფივი სივრცე E და მარაო M ერთადერთი ქვესივრცით E ∈ M. ყოველ მარაოს აქვს ამგვარ ობიექტში მორფიზმი რომელიც ადვილი შესამჩნევია ეპირმორფიზმი იქნება. ეს ერთადერთ ელემენტიანი მარაო იქნება მარაოთა კატეგორიაში ნულოვანი ობიექტი.

ვთქვათ წრფივ სივრცე E-ში მოცემულია მარაო M და E-ს ქვესივრცე F ⊂ E. განვიხილოთ მარაოს წევრთა თანაკვეთები ქვესივრცე F-თან F ∩ m, m ∈ M. აღვნიშნოთ FM = {F ∩ m ≠ 0, m ∈ M}. ადვილი დასამტკიცებელია

თეორემა
FM მარაოა წრფივ ქვესივრცე F-ში

ასევე შესაძლებელია ავაგოთ მარაო ფაქტორ სივრცეშიც E/F ქვესივრცე E-ს დამატების მიხედვით. სამწუხაროდ ერთადერთობა არ არის უზრუველყფილი რადგან ყოველი დამატება განსხვავებულ მარაოს ჰქმნის. აღნიშვნაც დამატების მიხედვით ვიხმაროთ: თუ G არის F-ის დამატება GM-ით აღვნიშნოთ GM-ის ანასახი.

ვთქვათ M მარაოა წრფივ სივრცე E-ში, p კი მისი ერთ ერთი წერტილი. ფაქტორ სივრცე E/p-დან ავირჩიოთ ელემენტი a, შრე p-ს მიმართ. ზემოთ აგაგეთ ასახვა სიმრავლე a-დან მარაო M-ში. თუ a- განვიხილავთ როგორც სფეროს ნაწილს (აკლია ერთი წერტილი) მისი ანასახი p-ს დამატებით იქნება k განზომილებიანი (k - მარაოში შემავალ ქვესივრცეთა განზომილებაა) სფერო ჩადგმული მარაო M-ში. გამოდის რომ ავსახეთ ფაქტორ სივრცე მარაო M-ში ჩადგმულ სფეროთა სისტემაში. მარაოს ყოველი წერილი ერთ ამგვარ სფეროში მაინც შევა, რადგან ერთ შრესთან მაინც ექნება თანაკვეთა. თუ დავუკვირდებით, მივიღეთ მარაოს ფოლიაცია აფინური სივრცეებით რომელთა ჩაკეტვაც (წერტილი p-თი) სფეროებია.

თეორემა
მარაოა M-ის გადატანა FM მარაოდ მომცველ წრფივ სივრცე F-ში

მარაოს გეომეტრია

მარაოზე როგორც გრასმანიანის ქვემრავალნაირობაზე არსებობს ბევრი ბუნებრივი სტრუქტურა: წრფივი ფიბრაცია, წერტილი p-ს მხები როგორც Lin(p, E/p)-ს ქვესივრცე. ძირითადი წრფივი სივრცე E-ს ყოველ წერტილზე გადის მარაოს ერთადერთი წევრი, ამიტომ გვაქვს ასახვა E → M. მისი მხები მარაოს წერტილ p-ში იქნება წრფივი ასახვა E → TpM ⊂ Lin(p, E/p). ასახვის E → TpM ბირთვი, ნათელია, არის p მივიღეთ რომ მხები TpM იზომორფულია ფაქტორ სივრცე E/p-სი. აქედან მარაოს განზომილებაც: თუ k არის მარაოს წევრთა განზომილება, მაშინ თვით მარაოს განზომილება იქნება n - k, სადაც n არის ძირითადი სივრცე E-ს განზომილება.

წრფივი სივრცე E-ს ყოველ ვექტორს, u-ს შეესაბამება მხები ვექტორი M-ის ნებისმიერ წერტილში თუ დამატებით ავირჩევთ n - k განზომილების ქვესივრცეს, A, სადაც n არის ძირითადი სივრცე E-ს განზომილება. A-სთან არათანამკვეთ M-ის წერტილ, ქვესივრცე p-ში u-ს შესაბამისი მხები ვექტორი შემდეგნაირად აიგება: ავიღოთ აფინური სივრცე u + p და მის წერტილ (u + p) ∩ A + u-ს შემცველი მარაოს წერტილი, ქვესივრცე m ∈ M. განვიხილოთ ეს ქვესივრცე როგორც წრფივი ასახვა m-ის გრაფიკი, ხოლო თვით m როგორც TpM-ის ელემენტი, m ∈ TpM ⊂ Lin(p, A) ⊂ Lin(p, E/p). რადგან საბოლოო შედეგი Lin(p, E/p)-შია, ის A-ს არჩევანისაგან დამოუკიდებელია. თუ A-ს არჩევანს დავაფიქსირებთ მივიღებთ E-ს ასახვას TpM-ზე და მარაო M-ის წერტილთა სიმრავლეზე რომელთა A-სთან თანაკვეთაც ნულოვანი არ არის. მარაოს ეს ნაწილი კი, თუ დავუკვირდებით, ურთიერთ ცალსახა თანადობაშია ნებისმიერი წერტილის მხებ სივრცესთან. აქედან დასკვნა მარაო არის წრფივი სივრცე Tp-ს კომპაქტიფიკაცია. შუალედური მარაოსათვის ეს წერტილოვანი კომპაქტიფიკაციაა, ანუ კიდევ ერთხელ დამტკიცდა რომ ის სფეროა.

თუ a ∈ E/p შეგვიძლია მარაოს ყოველ წერტლში განვიხილოთ a-ს შესაბამისი მხები ვექტორი. მივიღეთ მხებ ვექტორთა ველი, ანუ მხები ფიბრაციის კვეთა. მას შეესაბამება ტრაექტორიათა სიმრავლე M-ზე.

ჰოპფის ფიბრაცია

შემოვიღოთ აღნიშვნა: n-განზომილებიან წრფივ სივრცეში k-განზომილებიან ქვესივრცეთა მარაო აღვნიშნოთ Mnk.

ვთქვათ მოცემულია წრფივი სივრცე და მასში მარაო Mn (ქვესივრცეთა განზომილება n), ასევე მარაო Mk და ყოველ მის ქვესივრცეში Mnk (ქვესივრცეთა განზომილება k) თუ მოცემულია ზედა მარაოს ერთ ერთ წერტილ p-ში მარაო შესაძლებელია მისი გადატანა მარაოს ყველა წეირტილში რადგან გცაქვს მათი იზომორფიზმები. თუ დავუკვირდებით გვაქვს ფიბრაცია ტოტალური სივრციდან (მცირე ქვესივრცეთა მარაო) მარაო Mk-დან ასახვა მარაო Mn-ში. ბაზის ყველა წერტილზე ფენა არის მცირე მარაო Mkn. ამგვარ ფიბრაციას უპრიანია ვუწოდოთ ჰოპფის ფიბრაცია რადგან ჰოპფის ცნობილი ფიბრაციები სწორედ ამის მაგალითებია.

რადგან პროექციული სივრცე მარაოა გვაქვს n-1 განზომილების პროექციული სივრცე ტოტალურ სივრცედ და ფიბრაციის ბაზად k განზომილების ქვესივრცეთა მარაო n განზომილებიან წრფივ სივრცეში ფიბრაცია Mn1 → Mnk ფენით Mk1.

ვთქვათ M მარაოა წრფივ სივრცე E-ში ხოლო N მარაო წრფივ სივრცე F-ში. განვიხილოთ ნამრავლი M × N, მისი ყოველი ელემენტი p × q იქნება E × F-ის ქვესივრცე ერთი და იმავე განზომილების, ეს ქვესივრცეები ერთმანეთს არ ჰკვეთენ და მთელ E × F-ს მოიცავენ. ესე იგი მათი სიმრავლე M × N cx>C × F-ში.

8=ℝ16 → S15 → ℝP15 = M161 → ℂP7 = M162 → M164 → M168 = S8
ფენა: სხივი, ორი ურთიერთ საწინააღმდეგო მიმართულების ანუ სფერო S0M21 ანუ წრეწირი S1, M42 ანუ სფერო S2, M84 ანუ სფერო S4, მეორიდან ბოლომდე ფიბრაციის ფენაა 8-განზომილებიანი წრფივი სივრცის სხივები ანუ სფერო S7.

4=ℝ8 → S7 → ℝP7 = M81 → M82= ℂP3 → M84 = S4
ფენა: სხივი, ორი ურთიერთ საწინააღმდეგო მიმართულების სხივი ანუ სფერო S0, M21 ანუ წრეწირი S1, M42 ანუ სფერო S2, მეორიდან ბოლომდე ფიბრაციის ფენაა 4-განზომილებიანი წრფივი სივრცის სხივები ანუ სფერო S3.

2=ℝ4 → S3 → ℝP3 = M41 → ℂP1 = M42 = S2
ფენა: სხივი, ორი ურთიერთ საწინააღმდეგო მიმართულების სხივი ანუ სფერო S0, M21 ანუ წრეწირი S1, მეორიდან ბოლომდე ფიბრაციის ფენაა 2-განზომილებიანი წრფივი სივრცის სხივები ანუ სფერო S1.

ℂ=ℝ2 → S1 → ℝP1 = M21= S1

ფენა: სხივი, ორი ურთიერთ საწინააღმდეგო მიმართულების სხივი ანუ ორი წერტილი სფერო S0.