მათემატიკა

შუალედური მარაო

წრფივ სივრცეში მარაოთა შორის განსაკუთრებული მნიშვნელობისა მეჩვენება მარაო, რომლის ელემენტთა განზომილება სივრცის განზომილების ნახევარია, შუალედური მარაო. მარაოს ცნების ერთ ერთი სასარგებლო შედეგია ჰოპფის ცნობილი ფიბრაციების აღწერა. მარაოს ცნების მეშვეობით ჰოპფის ფიბრაცია გაცილებით ბუნებრივად აღიწერება. შუალედურ მარაოთა არსებობა ფრობენიუსის (Ferdinand Georg Frobenius, 1849.10.26 – 1917.08.03) ცნობილი თეორემის განზოგადოების ექვივალენტურია.

მაგალითი
კომპლექსურ რიცხვთა ველის ორგანზომილებიან წრფივ სივრცე C2-ში, ანუ ოთხგანზომილებიან ნამდვილ სივრცე R4-ში ერთგანზომილებიან ოღონდ კომპლექსურ ქვესივრცეთა სიმრავლე შუალედური მარაოა ნამდვილ რიცხვთა ველის მიმართ.

გარდა კომპლექსურ წრფივ სივრცეში ერთგანზომილებიან ქვესივრცეთა ერთობლიობის მარაოდ წარმოდგენისა ცნობილი მაგაგალითებია:

ვთქვათ E არის წრფივი სივრცე ველი V-ს მიმართ და M მასში შუალედური მარაო. ავიღოთ ამ მარაოს ორი ნებისმიერი წერტილი p და q. რადგან მათი თანაკვეთა ნულია, ხოლო განზომილებათა ჯამი მთელი სივრცის განზომილების ტოლი, გვექნება p × q = E. გავიხსენოთ გრასმანიანის წერტილის წარმოდგენა როგორც წრფივი ასახვის გრაფიკი. შუალედური მარაოს შემთხვევაში ეს ასახვები დამატებით, ნულის გარდა, ყველა იზომორფიზმია. ორი წერტილი, p და q, განსაკუთრებული წერტილებია. p-ს შესაბამისი ასახვა ნულია, q-ს კი ასახვა არც შეესაბამება. ეს წერტილები, p და q, მოვიხსენიოთ როგორც პოლუსები. მარაოს მათ გარეშე ნაწილი აღვნიშნოთ M* = M \ {p, q}. მაშასადამე გვაქვს ჩადგმა M* ⊂ Iso(p, q) ⊂ Lin(p, q).
შებრუნებით Iso(p, q)-ს რაიმე ქვესიმრავლეს რომ მარაო შევუსაბამოთ საჭიროა პირობა:
- ყოველი არანულოვანი წყვილისათვის x ∈ p, y ∈ q ქვესიმრავლეში უნდა არსებობდეს და მხოლოდ ერთადერთი m ისეთი რომ y = xm
თვით მარაოს ქვესივრცე m წარმოგვიდგება როგორც m-ის გრაფიკი
m = {[x, xm] | | x ∈ p}, m∈ M. და მაშასადამე გვაქვს ურთიერთ ცალსახა ასახვა M*-სა q-ში, m → xm∈ q რაც იმავე q-ში გამრავლების ტოლფასია.

მარაოს სხვადასხვაგვარ წარმოდგენისას საჭირო ობიექტის განსხვავებული სახით აღსაწერად ვიხმარ ერთი და იმავე ასოს ფერის შეცვლით:
- მარაოს წერტილი, როგორც მარაოს ელემენტი - შავი
- ვექტორი ასევე შავი x ∈ E ან m ∈ M
- მარაოს წერტილი, როგორც ქვესივრცე - მწვანე
- მარაოს წერტილი, როგორც წრფივი ასახვა - ლურჯი
ამ აღწერის თანახმად გვექნება x + xmm, x ∈ p, m ∈ M, m ⊂ E
ვექტორი x-ის მომცველი მარაოს ელემენტი x, და მაშასადამე x ∈ x ∈ M

E-ს ყოველ არანულოვან წერტილზე, x გადის მარაოს ერთადერთი წერტილი m, ქვესივრცე m ∋ x, ერთადერთი შრე p-ს მიმართ, p-აფინური სივრცე x + p და ერთადერთი შრე q-ს მიმართ, q-აფინური სივრცე x + q. გვაქვს მიმართება p, q-სა და M-ს შორის
x + y ∈ m, სადაც [x, y, m] ∈ p × q × M
ან რაც ექვივალენტურია
xm = y, სადაც [x, y, m] ∈ p × q × M
ეს ნიშნავს რომ ამ სამეულიდან ნებისმიერი ორი ცალსახად განსაზღვრავს მესამეს.
ასე გვაქვს: თუ x ≠ 0 და xm = xn, მაშინ m = n.

ვთქვათ წრფივ სივრცე E-ში გვაქვს მარაო M. ავიღოთ მისი ორი წერტილი p და q. როგორც უკვე ვიცით გვექნება M* ⊂ Iso(p, q). ავიღოთ ნებისმიერი ავტომორფიზმი a: p → p. ვიმოქმედოთ ამ ავტომორთოზმით M*-ზე, m → a ∘ m. იზომორფიზმთა მიღებული სიმრავლე ჰქმნის მარაოს. ერთადერთი რაც დასამტკიცებელია არის ერთადერთობის პირობა.
ვთქვათ რომელიღაც x ≠ 0 და x(a ∘ m) = x(a ∘ n), ანუ (xa)m = (xa)n. რადგან m და n მარაოს წერტილებია, ამიტომ m = n, ანუ xa ∘ m = xa ∘ m. მიღებული მარაო აღვნიშნოთ aM-ით.
ასევე შეგვიძლია მივიღოთ ახალი მარაო უკვე q-ს გარდაქმნით. აქ წრფივობაც კი საჭირო არ არის. ავიღოთ q-ს ურთიერთ ცალსახა ასახვა b: q → q ერთადერთი შეზღუდვით 0b = 0. ვიმოქმედოთ M*-ზე ასახვით b, mm ∘ b, მივიღეთ Izo(p, q)-ს ქვესიმრავლე bM. ეს ქვესიმრავლე ჰქმნის მარაოს. აქაც დასამტკიცებელია მხოლოდ ერთადერთობის პირობა.
ვთქვათ რომელიღაც x ≠ 0 და x(m ∘ b) = x(n ∘ b), ანუ (xm)b = (xn)b. რადგან b ურთიერთცალსახაა ამიტომ xm = xn, აქედან კი m = n. ეს კი ნიშნავს m ∘ b = n ∘ b.

მარაოს ვუწოდოთ წრფივი თუ მისი ასახვებით წარმოდგენა Lin(p, q)-ში წრფივი ქვესივრცეა. ეს ნიშნავს რომ მარაოს ნაწილი ერთი წერტილის გამოკლებით არის წრფივი სტრუქუტა Lin(p, q)-დან გადმოტანილი, ამიტომ თუ m და n მარაოს წერტილებია, ხოლო v ველის ელემენტი, მაშინ m + n და mv-ც მარაოს წერტილები იქნება.

ვთქვათ M შუალედური მარაოა წრფივ სივრცე E-ში, p კი მისი ერთ ერთი წერტილი. ფაქტორ სივრცე E/p-დან ავირჩიოთ ელემენტი a, შრე p-ს მიმართ. თუ x ვექტორია p-დან შეგვიძლია აგაგოთ ასახვა სიმრავლე a-დან მარაო M-ში, ელემენტ u-ს a-დან შევუსაბამოთ (x+u)-ზე გამავალი მარაოს წერტილი ქვესივრცე x+u.მივიღეთ რომ შუალედური მარაო k განზომილების სფეროა, ხოლო ასახვა E → M კი სფეროზე წრფივი ფიბრაცია.თუ ფენას მისი სხივების სიმრავლედ შევცვლით ფენაში გვექნება k-1 განზომილების სფერო. ესაა სწორედაც ჰოპფის ფიბრაცია.

თუ შუალედურ მარაოში ავირჩევთ ორ წერტილს, p და q შეგვეძლება მარაო M ავსახოთ Lin(p, q)-ში და კომპოზიციით თვით წრფივი სივრცე E-ც, E → M → Lin(p, q). თუ დამატებით ავირჩევთ ვექტორ a-ს q-დან, შევძლებთ ავსახოთ p-ც:
p ∋ x → a + x და შემდეგ აღწერილი ასახვით E-დან Lin(p, q)-ში. მივიღეთ ორად წრფივი ასახვა p-დან q-ში.

-

-

-

- M-იდან p-სა და q-საგან განსხვავებული ელემენტის არჩევით ვაიგივებთ p-სა და q-ს. p-დან ნულისაგან განსხვავებული ელემენტის არჩევით შეგვიძლია ჩავთალოთ q და M-ის p-საგან განსხვავებული ნაწილი ერთი და იგივედ. ასევე, თუ ავირჩევთ არანულოვან ელემენტს q-დან შეგვიძლია წარმოვადგინოთ p როგორც M-ის q-საგან განსხვავებული ნაწილი.
თუ გვაქვს შუალედური მარაოს სამი განსხვავენული წერტილი p, q, m შეგვიძლია ერთ ერთი მათგანი წარმოვიდგინოთ როგორც ორი დანარჩენის იზომორფიზმი m: pq. თუ x ∈ p, y ∈ q და x + y ∈ m, მაშინ y = xm.

თეორემა
შუალედური მარაოს ყოველი ელემენტის თავის თავისადმი კომპოზიცია უდრის მასვე შებრუნებული ნიშნით

მტკიცება
ვთქვათ გვაქვს შუალედური მარაოს ოთხი განსხვავებული ელემენტი a, b, c და m. განვიხილოთ m როგორც ასახვა a-დან b-ში, b-დან c-ში და a-დან c-ში. თეორემა ამბობს რომ mm: abc არის - m. ეს ნიშნავს რომ თუ x ∈ a, y ∈ b და z ∈ c, ხოლო x + y ∈ m, ანუ y = xm და y + z ∈ m, ანუ z = ym, მაშინ x - z = (x + y) - (y + z) ∈ m. ეს კი ნიშნავს რომ - z = xm. ანუ mm = - m.

თუ m მარაოს წერტილია და მაშასადამე E-ს ქვესივრცე, მაშინ - m არის ქვესივრცე მაგრამ არის თუ არა მარაოს ელემენტი?

ავირჩიოთ M-ში ელემენტი e, ანუ ქვესივრცე e. ამ არჩევანით ყველა დანარჩენი ერთმანეთის იზომორფული გავხადეთ, ანუ e-ს გარდა ყოველი ორი გავაიგივეთ. შეგვიძლია ჩავთვალოთ რომ გვაქვს ძირითადი სივრცე E, მასში ქვესივრცე e, წრფივი სივრცე p და მისი მონომორფიზმები E-ში, რომელთა ანასახებიც e-სთან ერთად ჰქმნიან შუალედურ მარაოს. გვაქვს დიაგრამა

N ⊂ Mon(p, E)
↓             ↓      
M     ⊂     G        
Mon(p, E)-ზე მოქმედებს p-ს ავტომორფიზმთა ჯგუფი. G გრასმანიანია და ამ მოქმედების ორბიტთა სიმრავლე.

-

-

-

- ამ ქვესივრცეში ავირჩიოთ არანულოვანი ელემენტი რომელსაც ვუწოდოთ იგივე სახელი e ∈ e ⊂ E. შეგვიძლია ვიგულისხმოთ რომ გვაქვს მოცემული წრფივი სივრცე p, მასში ელემეტი e და ინექცია p → Lin(p, p). თუ p-დან ვექტორ x-ის შესაბამის ავტომორფიზმს აღვნიშნავთ x-ით (გავალურჯებთ) ჩადგმის პირობა იქნება:
- 0 ნულია
- e იგიური
- yx = z ტოლობაში ყოველი ორი არანულოვანი განსაზღვრავს მესამეს
შუალედური მარაო M იქნება p × p-ში p-ს ელემენტთა შესაბამის ასახვათა გრაფიკი და ქვესივრცე {[0, x] | x ∈ p}.

ავიღოთ შუალედური მარაოს იზომორფიზმებით წარმოდგენა, ანუ მარაო p × q-ში. თვით p და q-ც მარაოს წევრებია, p = p × 0, ხოლო q = 0 × q. წრფივი სივრცის ყოველ არანულოვან ვექტორ [x, u]-ს შეესაბამება მარაოს ერთადერთი წევრი რომელსაც ის ეკუთვნის. აღვნიშნოთ ეს წევრი xy-ით. [x, u] ∈ m ჩანაწერთა შორის ჭეშმარიტი იქნება [x, u] ∈ xu. ასევე ჭეშმარიტია ჩანაწერები [x, 0] ∈ p, [0, u] ∈ q და [0, 0] ∈ m, ეს უკანასკნელი ყოველი m-სათვის. ამ ყველაფერში გამოყენებადია ფაქტი რომ მიმართებაში [x, u] ∈ m ყოველი ორი ცალსახად განსაზღვრავს მესამეს, გარდა შემთხვევისა როდესაც ორივე ვექტორი ნულის ტოლია.
თუ [x, u] ∈ m, მაშინ m = xu, u = mx, x = m-u.

მარაოს ნაწილი პოლუსების გამოკლებით აღვნიშნოთ M*-ით. ყოველი წერტილი m ∈ M* განსაზღვრავს იზომორფიზმს m: p → q. ასევე p-ს ყოველი ნულისაგან განსხვავებული ვექტორი x განსაზღვრავს ინექციას სივრცე q-დან M-ში. თუ u ∈ q, მაშინ ux იყოს მარაოს წევრი რომელიც შეიცავს [x, u]. ეს ასახვა არ ფარავს მხოლოდ თვით q-ს. ასევე q-ს ნულისაგან განსხვავებული ვექტორი u განსაზღვრავს ინექციას p-დან M-ში, x-ს შეესაბამება მარაოს წევრი xu ∋ [x, u]. ასახვა u არ ფარავს მხოლოდ თვით p-ს. ყოველი ამ ასახვით შეგვიძლია მარაოში გადავიტანოთ წრფივი სტრუქტურა. ეს სტრუქტურა, ბუნებრივია, დამოკიდებულია განმსაზღვრელი ვექტორის არჩევანზე. შუალედური მარაო წარმოგვიდგა როგორც წრფივი სივრცე დამატებული ერთი წერტილით, პოლუსით q. ნულს შეესაბამება მეორე პოლუსი, p.

შუალედური მარაო ვიგულისხმოთ წარმოდგენილად როგორც წრფივი სივრცე p × p-ს ქვესივრცეთა სიმრავლე. p-ში ავირჩიოთ ნულისაგან განსხვავებული ვექტროი e, რომელიც შემდგომში იქნება ერთეული. M*-ის ყოველი წერტილისათვის m გვაქვს შესაბამისი ავტომორფიზმი m: p → p და შესაბამისი ვექტორი p-ში m, მათ შორის ურთიერთიბა შემდეგია [e, m = em] ∈ m.
ასევე წრფივი სივრცე p-ს ყოველი ნულისაგან განსხვავებული ვექტორი x-სათვის გვაქვს შესაბამისი წერტილი მარაოდან x, ისეთი რომ [e, x] ∈ x და მისი შესაბამისი ავტომორფიზმი x, რომლისათვისაც ex = x, [y, yx] ∈ x.

ეს უკანასკნელი მიმართება [x, xy] ∈ y განსაზღვრავს ოპერაციას p-ში, [x, y] → xy = x • y. ამ ოპერაციას აქვს თვისებები:
- ტოლობაში x • y = z ყოველი ორი არანულოვანი წყვილი ცალსახად განსაზღვრავს მესამეს
- (x + y) • z = x • z + x • z და (xv) • y = (x • y)v, სადაც v ∈ V, რადგან x-ის შესაბამისი ასახვა x ავტომორფიზმია
- e • x = x, მოქმედების განსაზღვრის თანახმად [e, x] და [e, ex] მარაოს ერთი და იმავე ელემენტშია
- x • e = x, რადგან [x, xe] მარაოს იმავე ელემენტშია რაშიც [e, e], იმავე ელემენტშია [x, x]-იც
- დამატებით ვიგულისხმოთ x • 0 = 0, რაც იმავე სქემაში ჩაითრევს მარაოს ელემენტ p × 0-საც

პირიქითაც, თუ წრფივ სივრცე p-ზე მოცემულია ოპერაცია ზემო აბზაცში მოტანილი თვისებებით, ავაგებთ შუალედურ მარაოს სივრცეში p × p. მარაოს შექმნის p-ს არანულოვანი ელემენტების შესაბამისი ქვესივრცეები, x-ს შეესაბამება ქვესივრცე x = {[y, yx] | y ∈ p}.

შუალედური მარაო წრფივ სივრცეში ნამდვილ რიცხვთა ველის მიმართ
წინა პარაგრაფში გაკეთებული
შენიშვნიდან გამომდინარეობს რომ თუ ველი ნამდვილ რიცხვთა ველია შუალედური მარაო სფეროა. ასევე ნათქვამია, რომ თუ გვაქვს დაქვემდებარებული მარაო გვექნება მარაოთა ასახვა, რაც ნამდვილ რიცხვთა ველის შემთხვევაში ფიბრაცია იქნება, ფენა კი ისევ მარაო იქნება. განსაკუთრებულ ინტერესს იწვევს შუალედური მარაოსა და მის მიმართ დაქვემდებარებული პროექციული სივრცის შემთხვევა P → M. ეს არის სწორედაც ჰოპფის ფიბრაცია. აქ ტოტალური სივრცე პროექციული სივრცეა, ბაზური სივრცე მარაო, ხოლო ფენა მარაოს წერტილ m-ზე m-ის პროექციული სივრცე. თუ მარაოს განზომილება არის k, მაშინ ძირითადი სივრცის განზომილება იქნება 2k, ტოტალური სივრცის, ანუ ძირითადი სივრცის პროექციული სივრცის განზომილება იქნება 2k - 1, ხოლო ფენის, როგორც მარაოში შემავალი k განზომილების წრფივი სივრცის პროექციული სივრცე, განზომილება იქნება k - 1. გავითვალისწინოთ ასევე სფეროს პროექციულ სივრცეზე ორმაგი გადაფარვაც. საბოლოოდ მივიღებთ

S2k-1 → Sk ფენა Sk-1
↓             ||            ↓  
P2k-1 → M ფენა Pk-1

ამ დიაგრამის ზედა სტრიქონი ჰოპფის ცნობილი ფიბრაციაა.

შეკითხვა: რომელი k-სათვის არის შესაძლებელი ეს ვითარება?

შუალედური მარაოს გალუას ჯგუფი
ვთქვათ M მარაოა წრფივ სივრცე p × p-ში და p × 0, 0 × p და {[x, x]} მისი წერტილებია. ასევე ვიგულისხმოთ რომ არჩეული გვაქვს ნულისაგან განსხვავებული ვექტორი e ∈ p. განვიხილოთ წრფივი სივრცე p-ს ავტომორფიზმთა ჯგუფი GL(p). ამ ჯგუფის ავტომორფიზმი a გავავრცელოთ p × p-ზე, [x, u]a = [xa, ua]. რა პირობას უნდა აკმაყოფილებდეს ავტომორფიზმი რომ მარაოს არ ცვლიდეს? გავიხსენოთ მარაოს მეშვეობით განსაზღვრული ოპერაცია.

თეორემა
p-ს ავტომორფიზმი გადატანილი p × p-ზე არ ცვლის მარაოს მაშინ და მხოლოდ მაშინ თუ ის ინახავს გამრავლებას

მტკიცება
ვთქვათ a ინახავს გამრავლებას, მაშინ
[x, xu]a = [xa, (xu)a] = [xa, (xa)(ua)]
ეს კი ნიშნავს რომ მარაოდან u-ს შესაბამისი ქვესივრცე გადავიდა ua-ს შესაბამის ქვესივრცეში. ვთქვათ, პირიქით u-ს შესაბამისი ქვესივრცე გადადის ua-ს შესაბამის ქვესივრცეში, ანუ {[x, xu]} → {[y, y(ua)}. ეს ნიშნავს რომ [xa, (xu)a] = [xa, (xa)(ua)]. ეს კი (xu)a = (xa)(ua).

ნათელია, რომ ამგვარ ავტომორფიზმთა კომპოზიცია ისევ ამგვარია და იგიურიც ამგვარია, ანუ ეს სიმრავლე ავტომორფიზმთა ქვეჯგუფია. აღვნიშნოთ ეს ქვეჯგუფი HM-ით.

განსაზღვრება
p-ს ავტომორფიზმებით გამოწვეულ მარაოს ასახვათა ჯგუფს ვუწოდოთ მარაოს გალუას ჯგუფი.

ეს სახელი გამართლებულია ველის გაფართოებით გამოწვეული მარაოს შემთხვევით. ამ შემთხვევაში ეს სიმრავლე სწორედაც კლასიკური გალუას ჯგუფია. მარაოს მხები

გავიხსენოთ იზომორფიზმი p × E/p → E = p × q. რადგან M ⊂ G, ამიტომ TpM ⊂ TpG = Lin(p, E/p) = Lin(p, q). მაგრამ M-იც q-ს გამოკლებით აგრეთვე Lin(p, q)-ს ნაწილია.