მათემატიკა

მოდული

წრფივი ოპერატორით შექმნილი ვითარების განზოგადოება არის რგოლის მოქმედება. ვთქვათ რგოლი A მოქმედებს კომუტატურ ჯგუფზე E-ზე. ამ შემთხვევაში ამბობენ, რომ E არის A-მოდული.

განსაზღვრა
ვთქვათ M არის კომუტატური ჯგუფი, A რგოლი და განსაზღვრულია M-ის ელემენტ x-ზე რგოლი A-ს ელემენტ a-ს მოქმედება, xa, რომელიც აკმაყოფილებს პირობებს:
- x1 = x, x ∈ M, 1 ∈ A
- (x + y)a = (xa) + (ya), x, y ∈ M, a ∈ A
- x(a + b) = (xa) + (xb), x ∈ M, a, b ∈ A
მაშინ M-ს ვუწოდოთ A-მოდული

ინგლისურად - module
ფრანგულად - un module
გერმანულად - ein Modul
იტალიურად - un modulo
ესპანურად - un módulo
რუსულად - модуль

A წარმოგვიდგება როგორც კომუტატურ ჯგუფ M-ის ერთმანეთთან კომუტირებად ავტომორფიზმთა სიმრავლე, რომელშიც გამრავლება კომპოზიციაა.

ძირითადი მაგალითი
წრფივი სივრცის ენდომორფიზმი, წრფივი ასახვა f: E → E, ოპერატორი განსაზღვრავს ჰომომორფიზმს მრავალწევრთა ალგებრიდან E-ს თავის თავში წრფივ ასახვათა არაკომუტატურ ალგებრაში V[t] → Lin(E, E), t → f. ამ ჰომომორფიზმის ანასახი აღვნიშნოთ A(E, f)-ით, ან მარტივად Af თუ გაუგებრობას არ იწვევს. თვით E იქნება Af-მოდული.

ასევე ძირითადი მაგალითია
ნებისმიერი კომუტატური ჯგუფი M მასზე მთელ რიცხვთა რგოლი Z-ის მოქმედებით:
- თუ x ∈ M და a ∈ Z მაშინ ax = x + x + . . . + x ან ax = (-x) + (-x) + . . . + (-x) თუ a უარყოფითია,
შესაკრები კი |a| ცალია

თუ E გვაქვს ორი მოდული M რგოლი A-ს მიმართ და N რგოლი B-ს მიმართ მაშინ მათ შორის მორფიზმად მივიჩნევ ჰომომორფიმთა წყვილს f: M → N და g:A → B პირობით:
- თუ x ∈ M და a ∈ A (xa)f = (xf)(ag)
მივიღეთ მოდულთა კატეგორია.

თუ გვაქვს რგოლი A და სიმრავლე X, მაშინ ყველა ასახვათა სიმრავლე X-დან A-ში Map(X, A) არის მოდული A-ს მიმართ.
ასე რომ რგოლი A ჰქმნის ფუნქტორს სიმრავლეთა კატეგორიიდან მოდულთა კატეგორიაში.

რგოლი A-ს მიმართ მოდული M-ის ქვემოდული იქნება M-ის ქვესიმრავლე ჩაკეტილი A-ს მოქმედების მიმართ.

თვით რგოლი და ყოველი მისი იდეალი მოდულია მისივე მიმართ