მათემატიკა

მრავლად წრფივი ასახვა

სიმრავლე X-სათვის განვიხილოთ კატეგორია X, რომლის ობიექტია წრფივ სივრცეთა სისტემა X-ზე, ხოლო ობიექტ E-დან ობიექტ F-ში მორფიზმი E-დან F-ში ისეთი ასახვაა რომელსაც ელემენტი ფენიდან Ex გადააქვს ფენა Fx-ის ელემენტში და ყოველი x-სათვის ეს ასახვა წრფივი ასახვაა Ex-დან Fx-ში. ნათელია რომ თვით Lin(Ex, Fx)-თა ერთობლიობა სისტემას ჰქმნის. სისტემათა მორფიზმი ამ სისტემის კვეთაა. ყოველი ორი ობიექტისათვის ამგვარი მორფიზმები წრფივ სივრცეს ჰქმნის.
Mor(E, F) ან Lin(E, F) = Π Lin(Ex, Fx), x ∈ X

წრფივ სივრცეთა კატეგორია L-იდან ზემოთ აღწერილ, სისტემათა კატეგორია X-ში ფუნქტორი იქნება თუ ყოველ წრფივ სივრცე S-ს შევუსაბამებთ მის ნამრავლს X-ზე, ანუ გვექნება ტრივიალური სისტემა TS = X × S → X. გვაქვს ორი ფუნქტორი X-დან წრფივ სივრცეთა კატეგორია L-ში: კვეთათა წრფივი სივრცე ΠE = Π Ex და სასრულ კვეთათა წრფივი სივრცე ΣE = Σ Ex.

წრფივ სივრცეთა ნამრავლისა და ჯამის განსაზღვრის თანახმად გვაქვს
Mor(E, TS) = Lin(ΣE, S)
Mor(TS, E) = Lin(S, ΠE)
ადვილად ჩანს რომ ეს გაიგივება შეთანხმებულია მორფიზმებთან. გამოდის რომ Σ არის ჩადგმის ფუნქტორ T-ს
მარცხენა შეუღლებული, ხოლო Π მარჯვენა შეუღლებული ფუნქტორი.

ვთქვათ სიმრავლე X-ზე მოცემულია წრფივ სივრცეთა სისტემა E. ამ სისტემის ყოველი კვეთა s განსაზღვრავს ასახვას ფენიდან კვეთათა სიმრავლეში Ex → S. აღებულ ვექტორ u-ს Ex-დან შევუსაბამოთ კვეთა:

x(su) = u და თუ z ≠ x მაშინ z(su) = zs
კვეთის ერთადერთი მნიშვნელობა იცვლება, xs, მის მაგივრად მნიშვნელობა იქნება u.

ვთქვათ მოცემულია X-ზე წრფივ სივრცეთა სისტემა E-ს კვეთათა სივრცის წრფივი ქვესივრცე S პირობით:
- სისტემის ყოველი ვექტორისათვის თუ s∈S, მაშინ su ∈ S, ანუ Su ⊂ S.
თუ გვაქვს ასახვა E-დან

კატეგორია X-დან ფუნქტორი S, ისეთი რომ Σ ⊂ S ⊂ Π. ყოველ კვეთა s-ს SE-დან და ფენის ელემენტს u ∈ Ex შევუსაბამოთ ახალი კვეთა su, რომლის მნიშვნელობაც ყველგან იგივეა რაც s-ის მნიშვნელობა გარდა x-ზე მნიშვნელობისა, x(su) = u.

თუ s ∈ SE, u ∈ Ex, მაშინ x(su) = u და z(su) = zs, z ≠ x

განსაზღვრა
კვეთათა სივრცე SE-დან წრფივ სივრცე A-ში ასახვას უწოდებენ მრავლად წრფივს თუ მისი კომპოზიცია ყოველი კვეთის შესაბამის ჩადგმასთან Ex-დან აSE-ში

Ex → SE → A

წრფივი ასახვაა

ინგლისურად - multilinear map
ფრანგულად - une application multilinéaire
გერმანულად - die multilineare Abbildung
იტალიურად - una applicazione multilineare
ესპანურად - ?
რუსულად - ?

ნათელია რომ მრავლად წრფივ ასახვათა ჯამი მრავლად წრფივია და მრავლად წრფივის ველის ელემენტზე ნამრავლიც მრავლად წრფივია. გამოდის რომ მრავლად წრფივ ასახვათა სიმრავლე წრფივი სივრცეა. აღვნიშნოთ ეს სივრცე Mul(SE, A)-თი.

თუ X სასრული სიმრავლეა, გასაგებია რომ მხოლოდ ერთი ფუნქტორი გვაქვს, Σ.

მაგალითი
თვით ველი V წრფივი სივრცეა და გამრავლება ორად წრფივი ასახვაა V × V → V.

მაგალითი
ვთქვათ X რაიმე სიმრავლეა და FX წრფივი სივრცე. ასახვა FX → V, რომელიც FX-ის ვექტორ a-ს ასახავს კოფიციენტთა ჯამში Σ xa, წრფივია. ასახვა, რომელიც ვექტორს ასახავს კოეფიციენტთა ნამრავლში Π xa, მრავლად წრფივია, როგორც ასახვა Σ V = FX.