მათემატიკა

მრავლად წრფივი ასახვა

სიმრავლე X-სათვის განვიხილოთ კატეგორია X, რომლის ობიექტია წრფივ სივრცეთა სისტემა X-ზე, ხოლო ობიექტ E-დან ობიექტ F-ში მორფიზმი E-დან F-ში ისეთი ასახვაა რომელსაც ელემენტი ფენიდან Ex გადააქვს ფენა Fx-ის ელემენტში და ყოველი x-სათვის ეს ასახვა წრფივი ასახვაა Ex-დან Fx-ში. ნათელია რომ თვით Lin(Ex, Fx)-თა ერთობლიობა სისტემას ჰქმნის. სისტემათა მორფიზმი ამ სისტემის კვეთაა. ყოველი ორი ობიექტისათვის ამგვარი მორფიზმები წრფივ სივრცეს ჰქმნის.
Mor(E, F) ან Lin(E, F) = Π Lin(Ex, Fx), x ∈ X

წრფივ სივრცეთა კატეგორია L-იდან ზემოთ აღწერილ, სისტემათა კატეგორია X-ში ფუნქტორი იქნება თუ ყოველ წრფივ სივრცე S-ს შევუსაბამებთ მის ნამრავლს X-ზე, ანუ გვექნება ტრივიალური სისტემა TS = X × S → X. გვაქვს ორი ფუნქტორი X-დან წრფივ სივრცეთა კატეგორია L-ში: კვეთათა წრფივი სივრცე ΠE = Π Ex და სასრულ კვეთათა წრფივი სივრცე ΣE = Σ Ex.

წრფივ სივრცეთა ნამრავლისა და ჯამის განსაზღვრის თანახმად გვაქვს
Mor(E, TS) = Lin(ΣE, S)
Mor(TS, E) = Lin(S, ΠE)
ადვილად ჩანს რომ ეს გაიგივება შეთანხმებულია მორფიზმებთან. გამოდის რომ Σ არის ჩადგმის ფუნქტორ T-ს
მარცხენა შეუღლებული, ხოლო Π მარჯვენა შეუღლებული ფუნქტორი.

ვთქვათ სიმრავლე X-ზე მოცემულია წრფივ სივრცეთა სისტემა E. ამ სისტემის ყოველი კვეთა s განსაზღვრავს ასახვას ფენიდან კვეთათა სიმრავლეში Ex → S. აღებულ ვექტორ u-ს Ex-დან შევუსაბამოთ კვეთა:

x(su) = u და თუ z ≠ x მაშინ z(su) = zs
კვეთის ერთადერთი მნიშვნელობა იცვლება, xs, მის მაგივრად მნიშვნელობა იქნება u.

ვთქვათ მოცემულია X-ზე წრფივ სივრცეთა სისტემა E-ს კვეთათა სივრცის წრფივი ქვესივრცე S პირობით:
- სისტემის ყოველი ვექტორისათვის თუ s∈S, მაშინ su ∈ S, ანუ Su ⊂ S.
თუ გვაქვს ასახვა E-დან

კატეგორია X-დან ფუნქტორი S, ისეთი რომ Σ ⊂ S ⊂ Π. ყოველ კვეთა s-ს SE-დან და ფენის ელემენტს u ∈ Ex შევუსაბამოთ ახალი კვეთა su, რომლის მნიშვნელობაც ყველგან იგივეა რაც s-ის მნიშვნელობა გარდა x-ზე მნიშვნელობისა, x(su) = u.

თუ s ∈ SE, u ∈ Ex, მაშინ x(su) = u და z(su) = zs, z ≠ x

განსაზღვრება
კვეთათა სივრცე SE-დან წრფივ სივრცე A-ში ასახვას უწოდებენ მრავლად წრფივს თუ მისი კომპოზიცია ყოველი კვეთის შესაბამის ჩადგმასთან Ex-დან SE-ში

Ex → SE → A

წრფივი ასახვაა

ინგლისურად - multilinear map
ფრანგულად - une application multilinéaire
გერმანულად - die multilineare Abbildung
იტალიურად - una applicazione multilineare
ესპანურად - ?
რუსულად - ?

ნათელია რომ მრავლად წრფივ ასახვათა ჯამი მრავლად წრფივია და მრავლად წრფივის ველის ელემენტზე ნამრავლიც მრავლად წრფივია. გამოდის რომ მრავლად წრფივ ასახვათა სიმრავლე წრფივი სივრცეა. აღვნიშნოთ ეს სივრცე Mul(SE, A)-თი.

თუ X სასრული სიმრავლეა, გასაგებია რომ მხოლოდ ერთი ფუნქტორი გვაქვს, Σ.

მაგალითი
თვით ველი V წრფივი სივრცეა და გამრავლება ორად წრფივი ასახვაა V × V → V.

მაგალითი
ვთქვათ X რაიმე სიმრავლეა და FX წრფივი სივრცე. ასახვა FX → V, რომელიც FX-ის ვექტორ a-ს ასახავს კოფიციენტთა ჯამში Σ xa, წრფივია. ასახვა, რომელიც ვექტორს ასახავს კოეფიციენტთა ნამრავლში Π xa, მრავლად წრფივია, როგორც ასახვა Σ V = FX.

ტენზორული ნამრავლი
ვთქვათ E წრფივ სივრცეთა სისტემაა სიმრავლე X-ზე. ტენზორული ნამრავლი ⊗E იძლევა მრავლად წრფივი ასახვის წრფივი ასახვით ჩანაცვლების საშუალებას. ადრე ნათქვამია და ვიმეორებთ რომ მრავლად წრფივ ასახვათა სიმრავლე წრფივი სივრცეა, Mul(SE, A). იდეა იმაშია რომ ყოველი წრფივი სივრცისათვის გვქონდეს ტოლობა Mul(SE, A) = Lin(⊗E, A).

განსაზღვრება
სიმრავლე X-ზე წრფივ სივრცეთა სისტემა E-ს კვეთათა ფუმქტორ S-ით განსაზღვრული ტენზორული ნამრავლი ვუწოდოთ წრფივ სივრცე ⊗E-ს და მრავლად წრფივ ასახვა t: SE → ⊗E თუ ყოველი მრავლად წრფივი ასახვისათვის f: SE → A არსებობს ერთადერთი წრფივი ასახვა f: E → A ისეთი რომ f = t ∘ f

ვთქვათ ტენზორული ნამრავლი ⊗E არსებობს. განვიხილოთ წრფივი სივრცე F(SE) და მრავლად წრფივი ასახვა t-ს მიერ წარმოქმნილი წრფივი ასახვა F(SE) → ⊗E. გვაქვს ზუსტი მიმდევრობა
0 → D → F(SE) → ⊗E → 0
თუ შევძლებთ აღვწეროთ ბირთვი D ფუნქტორი S-ის მეშვეობით მივიღებთ ტენზონური ნამრავლის აგების საშუალებას. თუ წრფივი ასახვა F(SE) → A გამოწვეულია მრავლად წრფივი ასახვით SE → A, მაშინ ყოველი ვექტორი s(u + v) - su - sv, სადაც s კვეთაა ხოლო u, v ∈ Ex, გადადის ნულში. ასევე ნულში გადადის კომბინაცია s(uα) - (su)α, სადაც α ∈ V. გასაგებია, რომ ამგვარ ვექტორებს ყოველი მრავლად წრფივი ასახვით შექმნილი წრფივი ასახვა ნულში გადაიტანს. ასე რომ ამ ვექტორებით წარმოქმნილი ქვესივრცით შექმნილი F(SE)-ს ფაქტორ სივრცე იქნება ტენზორული ნამრავლი. წრფივი ასახვის არსებობა უკვე F(SE)-ს დონეზეა უზრუნველყოფილი. ფაქტორ სივრციდან თუ არსებობს ორი წრფივი ასახვა მათი ანასახები განსხვავებული იქნება რომელიღაც კვეთის შრეზე, s.

მაგალითი
როგორც უკვე აღვნიშნეთ FX შეგვიძლია დავინახოთ როგორც X-ზე წრფივ სივრცეთა სისტემა, ყოველი წრფივი სივრცე ველი V-ა. რა იქნება ამ სისტემის ტენზორული ნამრავლი?