მათემატიკა

ტოპოლოგიის მეტრიკით განსაზღვრა

ტოპოლოგიური სივრცე რომელშიც წერტილებს შორის მანძილი განისაზღვრება იწოდება მეტრულ სივრცედ. მათ შორის განსაკუთრებულ ინტერესს წარმოადგენს ნორმირებული წრფივი სივრცე. მეტრიკის ცნება პირველად მორის ფრეშეს (Maurice René Fréchet, 1878.09.02 – 1973.05.6) გამოუყენებია თავის ნაშრომში Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22 (1906). ეს ცნობა wikipedia-დან ვისესხე. თუ მასვე დავუჯერებთ კომპაქტურობაც მისივე შემოტანილია.

განსაზღვრა
სიმრავლე X-ზე განსაზღვრულ ასახვას m(x, y) უწოდებენ მანძილს ან მეტრიკას თუ
- m(x, y) = m(y, x)
- m(x, y) = 0 ⇔ x = y
- x ≠ y ⇒ m(x, y) > 0
- m(x, y) + m(y, z) ≥ m(x, z)

მეტრულ სივრცეში ტოპოლოგია მარტივად შემოდის. წერტილი x-ის r-მიდამო, r > 0, იქნება წერტილთა სიმრავლე M(x, r)
z ∈ M(x, r) ⇔ m(x, z) < r

წრფივ სივრცეში მეტრიკა შეთანხმებული წრფივი სივრცის სტრუქტურასთან ნორმად იწოდება. შეთანხმებულობა გულისხმობს შემდეგს
m(x, y) = m(0, x - y)
ეს პირობა ნიშნავს, რომ ვექტორებს შორის მანძილი განისაზღვრება მათი სხვაობის ნულისაგან დაშორებით, რომელსაც ვექტორის ნორმას უწოდებენ, |x| = m(0, x). მეტრიკის თვისებები ნორმით ჩამოყალიბებული ასე გამოიყურება
- |x| ≥ 0
- |x| = 0 ⇔ x = 0
- |xr| = |x||r|
- |x| + |y| ≥ |x + y|
ნათელია, რომ ნორმით განსაზღრულ მეტრიკას, m(x, y) = |x - y|, ყველა საჭირო თვისება ექნება.

თვით ნორმა შეიძლება სკალარული ნამრავლით, ანუ ორადწრფივი სიმეტრიული ფორმით განიმარტოს

თეორემა
მტკიცება