მათემატიკა

მეტრული სივრცე

წრფივ სივრცეში ტოპოლოგიას ჩვეულებრივ მეტრიკით, ანუ ნორმით განსაზღვრავენ. ამით წრფივი სივრცე მეტრულ, ანუ ნორმირებულ სივრცედ წარმოგვიდგება. სასრული განზომილების წრფივ სივრცეს ოპერაციებთან შეთანხმებული ერთადერთი ტოპოლოგია აქვს. ეს გვაფიქრებინებს რომ ტოპოლოგიას სასრული განზომილების წრფივ სივრცეში ნამდვილ რიცხვთა ველის მიმართ ალგებრა განსაზღვრავს.

ინგლისურად - metric space
ფრანგულად - un espace métrique
გერმანულად - eine metrische Raum
იტალიურად - uno spazio metrico
ესპანურად - un espacio métrico
რუსულად - метрическое пространство

განსაზღვრება
სიმრავლე M-ზე განსაზღვრულია მეტრიკა თუ მის ელემნტთა ყოველი წყვილისათვის x და y განსაზღვრულია ნამდვილი რიცხვი m(x, y) ∈ R ისეთი, რომ
1. m(x, y) ≥ 0
2. თუ m(x, y) = 0, მაშინ x = y და პირიქით
3. m(x, y) = m(y, x)
4. ელემენტთა ყოველი სამეულისათვის x, y და z სამართლიანია უტოლობა
m(x, z) ≤ m(x, y) + m(y, z)

მაგალითი
მეტრული სივრცის მაგალითია თვით ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე R, რომელშიც მეტრიკა განისაზღვრება რიცხვთა სხვაობის აბსოლუტური მნიშვნელობით.

მეტრულ სივრცეში წერტილი x-ის r-მიდამო, M(x, r), r ∈ R, ვუწოდოთ x-დან r-ზე ნაკლები მანძილით დაშორებულ წერტილთა სიმრავლეს, ანუ
y ∈ M(x, r) ⇔ m(x, y) < r

თუ r < r', მაშინ M(x, r) ⊂ M(x, r'). წერტილი x-ის ყველა მიდამოში მხოლოდ თვით ეს წერტილია. საქმისათვის საკმარისი იქნება მხოლოდ 1/n-მიდამოთა, აქ n ნატურალური რიცხვია, ერთობლიობის გამოყენება. ამგვარ მიდამოს შემდგომში მცირე მიდამოს ვუწოდებ და აღვნიშვნავ m(x, n) = M(x, 1/n). გვექნება, თუ n < n', მაშინ m(x, n) ⊃ m(x, n').

მეტრულ სივრცეში ქვესიმრავლე U იქნება ღია თუ მის ყოველ წერტილს აქვს მცირე მიდამო, რომელიც მთლიანად შედის U-ში. ტოპოლოგიის აქსიომათა შემოწმება ადვილია და ამგვარად ყოველი მეტრული სივრცე ტოპოლოგიური სივრცეა. ყოველი მოდამო ღია სიმრავლეა. ეს პირდაპირ გამომდინარეობს ზემოთ მოტანილი დებულებიდან

წერტილი x იქნება ქვესიმრავლე X-ის შეხების წერტილი თუ x-ის ყოველი მცირე მიდამო იკვეთება X-თან.

წერტილთა მიმდევრობა xi მიისწრაფის x-კენ თუ x-ის ყოველი მცირე მიდამოსათვის m(x, n), არსებობს ნატურალური რიცხვი k ისეთი, რომ
i > k ⇒ xi ∈ m(x, n)

მეტრული სივრციდან მეტრულ სივრცეში ასახვა იქნება უწყვეტი თუ ყოველი მცირე მიდამოს წინარე სახე ღია იქნება.

ნორმა წრფივ სივრცეში
წრფივ სივრცეში შემოტანილ მეტრიკას მოიხსენიებენ ტერმინით ნორმა თუ მეტრიკა შეთანხმებულია წრფივი სივრცის ოპერაციებთან და ერთგვაროვანია. ამ პირობებში მეტრიკა განსაზღვრავს ნორმას და ნორმა განსაზღვრავს მეტრიკას. თუ ვექტორი x-ის ნორმას აღვნიშნავთ |x|-ით, მაშინ
|x| = m(x, 0)
m(x, y) = |y - x|

იმისათვის, რომ ნორმით განსაზღვრული მეტრიკა თავდაპირველი იყოს, საჭიროა მეტრიკას ჰქონდეს თვისება m(x, y) = m(y - x, 0). ნორმით განსაზღვრული რომ მეტრიკა იყოს საჭიროა თვით ნორმას ჰქონდეს თვისებები:
1. |x| ≥ 0
2. თუ |x| = 0, მაშინ x = 0 და პირიქით
3. |r • x| = |r| • |x|
4. ვექტორთა ყოველი წყვილისათვის |x + y| ≤ |x| + |y|

მეტრიკისა და ნორმის ურთიერთობისათვის თვისება 3 აუცილებელი არ არის. ის მხოლოდ აძლიერებს თვისება 4-ს. თვით ნორმის გამოყენებისათვის ეს თვისება საკმაოდ სასარგებლოა.

მესამე თვისებიდან |- x| = |-1 • x| = |- 1| • |x| = 1 • |x| = |x|

მეოთხედან |x| = |x + y - y| ≤ |x + y| + |- y| = |x + y| + |y| და მაშასადამე

თეორემა

|x| - |y| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|

მაგალითი
ველად ნამდვილ რიცხვთა ველია ნაგულისხმევი. ვექტორის a ∈ FX ნორმა იქნება |a| = ∑ |ax|. აქ ჯამის შესაკრებებად ნამდვილ რიცხვთა აბსოლუტური სიდიდეებია.

მაგალითი
წრფივ სივრცე
FX-ში შემოვიტანოთ სკალარული ნამრავლი შემდეგნაირად ელემენტების a ∈ FX და b ∈ FX სკალარული ნამრავლი <а, b> იყოს
<а, b> = ∑ ax • bx, სადაც x ∈ X
ადვილი შესამოწმებელია, რომ ფესვი სკალარული ნამრავლიდან ნორმა იქნება.

თეორემა
თუ X სასრულია, FX-ზე ნებისმიერი ნორმა ექვივალენტურია ნორმის
|a| = ∑ |ax|

მტკიცება
ვთქვათ გვაქვს ნორმა ]a[. ექვივალენტობის საჩვენებლად საჭიროა ვიპოვოთ რიცხვები r და r' ისეთი რომ ყველა ვექტორისათვის სამართლიანია უტოლობები
]a[ < r • |a|
|a| < r' • ]a[
რიცხვ r-ად საკმარისია ავირჩიოთ ერთზე და ]x[-თა მაქსიმუმზე მეტი რიცხვი. მართლაც
]a[ = ]∑ ax • x[ < ∑ ]ax • x[ < ∑ |ax| • ]x[< r • ∑ |ax| = r • |a|

ზემოთ მოტანილი თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ სიმრავლე X-ის ყოველი ელემენტისათვის გვექნება
|ax| • |x| = |ax • x| < |∑ ax • x| = |a|
n • |x| = n • ∑ |ax| < ∑ |ax| • |x| = ∑ |ax • x| < k • |a|
აქ n არის |x|-თა მინიმუმი, x ∈ X, ხოლო k სიმრავლე X-ში ელემენტთა რაოდენობა.
მიღებული უტოლობანი გვიჩვენებს, რომ ყოველი ნორმა ერთი და იმავე ტოპოლოგიას განსაზღვრავს. წრფივ სივრცეში ნორმა ბევრნაირად შეიძლება შემოვიტანოთ. ჩვენი მიზნებისათვის საჭიროა ნორმით მოცემული სივრცის ტოპოლოგია, ანუ სასრული განზომილების სივრცის შემთხვევაში არა აქვს მნიშვნელობა, თუ რომელ ნორმას გამოვიყენებთ.

წარმოებადი ასახვის ძირითადი ლოკალური თვისების თაობაზე

ჩვენ გვინდა დავამტკიცოთ წარმოებადი ასახვის ძირითადი თვისება, ანუ ვაჩვენოთ, რომ საკმაოდ ფართო შემთხვევაში წარმოებადი ასახვა ჩვეულებრივ წერტილში რეგულარულად იქცევა და თავისი ლოკალური სტრუქტურით გავს წრფივ ასახვას, ერთი განსხვავებით, მისი დონის ზედაწირები მრუდია, თუმცა წრფივის დიფეომორფული. სწორედ ეს თეორემა არის ძირითადი თეორემა და ყველაფერი დანარჩენი, ძალიან მცირე გამონაკლისით, მხოლოდ მის დამტკიცებასა და ახსნას ემსახურება. ეს თეორემა არის დიფერენციალური აღრიცხვის ცენტრალური თეორემა. ანალიზის ტრადიციული სახელმძღვანელოებისაგან განსხვავებით, სადაც ანალიზის სხვადასხვა მნიშვნელოვანი აპარატის შესწავლაა მიზნად დასახული, წინამდებარე წიგნში ამ ცენტრალური ფაქტის ირგვლივ არის ყველაფერი აგებული. წიგნის პირველი ნაწილი ეთმობა წრფივი ალგებრის იმ ფაქტებს, რომელიც საჭიროა ძირითადი მიზნის მისაღწევად და, რასაკვირველია, წრფივი ალგებრის იმ თეორემას, რომლის ანალოგიც არის ზემოდ ნახსენები საბოლოო თეორემა. მკითხველმა ისიც უნდა გაითვალისწინოს, რომ წაიგნის ამ ნაწილს დამხმარე როლი ეკისრება და დებულებათა და განმარტებათა თანმიმდევრობა დაცული არ არის. ითვლება, რომ მკითხველმა ეს ყველაფერი იცის და აქ მხოლოდ გახსენებისა და შეთანხმებისათვის არის მოტანილი. მართალია, აქ მოტანილი მასალა იყენებს მხოლოდ ტოპოლოგიის სულ რამოდენიმე დებულებას და არ იყენებს მათემატიკური ანალიზის ჩვეულებრივი კურსების ცოდნას, მაგრამ იგი მაინც მოითხოვს გარკვეულ მათემატიკურ კულტურას. ეს ძირითადად გამოიხატება იმაში, რომ არ არის გამოყენებული კოორდინატები. მასალა აგებულია ინვარიანტულ წარმოდგენებზე და, ამიტომ, უფრო თვალსააჩინოა. სამწუხაროდ, ინვარიანტობა ბოლომდე დაცული არ არის. ეს ძირითადად ეხება ტოპოლოგიას, მისი აღწერისას გამოყენებულია ნორმა. ნორმის გარეშეც შეიძლება აღწერა, მაგრამ ეს საგრძნობლად ზრდის მოცულობას და, რაც უფრო მნიშვნელოვანია, მოითხოვს გაცილებით უფრო მაღალ მათემატიკურ კულტურას. არენა, რომელზედაც ვითარდება მოქმედება არის აფინური სივრცე. ეს ტერმინი აქ გამოყენებულია ისეთი სივრცის მიმართ, რომელიც სასრულ განზომილებიანი ვექტორული სივრცისაგან განსხვავდება მხოლოდ იმით, რომ მას არა აქვს სათავე ფიქსირებული.