ტოპოლოგიის მეტრიკით განსაზღვრა

ტოპოლოგიური სივრცე რომელშიც წერტილებს შორის მანძილი განისაზღვრება იწოდება მეტრულ სივრცედ. მათ შორის განსაკუთრებულ ინტერესს წარმოადგენს ნორმირებული წრფივი სივრცე. მეტრიკის ცნება პირველად მორის ფრეშეს (Maurice René Fréchet, 1878.09.02 – 1973.05.6) გამოუყენებია თავის ნაშრომში Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22 (1906). ეს ცნობა wikipedia-დან ვისესხე. თუ მასვე დავუჯერებთ კომპაქტურობაც მისივე შემოტანილია.

განსაზღვრა
სიმრავლე X-ზე განსაზღვრულ ასახვას m(x, y) უწოდებენ მანძილს ან მეტრიკას თუ
- m(x, y) = m(y, x)
- m(x, y) = 0 ⇔ x = y
- x ≠ y ⇒ m(x, y) > 0
- m(x, y) + m(y, z) ≥ m(x, z)

მეტრულ სივრცეში ტოპოლოგია მარტივად შემოდის. წერტილი x-ის r-მიდამო, r > 0, იქნება წერტილთა სიმრავლე M(x, r)
z ∈ M(x, r) ⇔ m(x, z) < r

წრფივ სივრცეში მეტრიკა შეთანხმებული წრფივი სივრცის სტრუქტურასთან ნორმად იწოდება. შეთანხმებულობა გულისხმობს შემდეგს
m(x, y) = m(0, x - y)
ეს პირობა ნიშნავს, რომ ვექტორებს შორის მანძილი განისაზღვრება მათი სხვაობის ნულისაგან დაშორებით, რომელსაც ვექტორის ნორმას უწოდებენ, |x| = m(0, x). მეტრიკის თვისებები ნორმით ჩამოყალიბებული ასე გამოიყურება
- |x| ≥ 0
- |x| = 0 ⇔ x = 0
- |xr| = |x||r|
- |x| + |y| ≥ |x + y|
ნათელია, რომ ნორმით განსაზღრულ მეტრიკას, m(x, y) = |x - y|, ყველა საჭირო თვისება ექნება.

თვით ნორმა შეიძლება სკალარული ნამრავლით, ანუ ორადწრფივი სიმეტრიული ფორმით განიმარტოს

თეორემა
მტკიცება