მათემატიკა

რიცხვი

რიცხვი რაოდენობის დასახასიათებლად წარმოიშვა და მისი ამ თვალსაზრისით გააზრება და განზოგადება კარდინალურ რიცხვთა თეორიით მოხდა კანტორის (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 1845.02.19 - 1918.01.06) მიერ. აქ რიცხვებზე ოპერაციების თვალსაზრისით განზოგადოებას მინდა უფრო ყურადღება მივაპყრო. დავიწყოთ ნატურალური, ბუნებრივი რიცხვებიდან, N და მასში, ასევე ბუნებრივი ორი ოპერაციით შეკრება + და გამრავლება •. ეს ორივე ოპერაცია კომუტატური და ასოციურია, ურთიერთ მიმართებაში კი დისტრიბუციულიც. ამ ნაწერში რიცვად მოვიხსენიებთ ყველაფერს რისი შეკრება და გამრავლება შეიძლება და ამ ოპერაციებს აქვთ ზემოთ ხსენებული თვისებები.

=

მაგრამ არც ერთი მათგანის მიმართ ყველა ელემენტს არა აქვს შებრუნებული. დავიწყოთ შეკრების მიმართ შებრუნებულების დამატებით. სიმრავლე N-ს ვუმატებთ 0-ს და ყოველი რიცხვისათვის მის შებრუნებულს, n-ის გამრავლების მიმართ შებრუნებულს ჩვეუებრივ მოპირდაპირეს უწოდებენ და აღნიშნავენ -n, -n + n = 0. თუ m > n, მაშინ არსებობს k ისეთი რომ n + k = m. აქედან -n + m = k, ხოლო -m + n = -k. ადვილი შესამოწმებელია რომ ყველა საჭირო თვისება ამ ახალ სიმრავლეს და მასზე ოპერაციებს აქვს. ამ სიმრავლეს მთელ რიცხვთა სიმრავლეს უწოდებენ და აღნიშნავენ Z-ით.

ამ სიმრავლეზე შეიძლება ავსახოთ ნამრავლი N × N, შემდეგნაირად:
- თუ m = n, მაშინ [m, n] = [m, m] → 0
- თუ m > n, მაშინ [m, n] → m - n
- თუ m < n, მაშინ [m, n] → -(n - m)
ასე რომ სიმრავლე შეიძლება შემდეგნაირად აღვწეროთ: [m, n] და [m', n'] გადადის ერთი და იმავე ელემენტში თუ m + n' = m' + n. ეს იქნება ექვივალენტობა ნამრავლზე N × N. თუ გავითვალისზინებთ ოპერაციებს ანასახში, ნამრავლზე ოპერაციები შემდეგნაირად განიმარტება
[m, n] + [m', n'] = [m + m', n + n']
[m, n] • [m', n'] = [(m • m') + (n • n'), (m • n') + (m' • n)]

აგებულ სიმრავლე Z-ში ყოველ ელემენტს აქვს მოპირდაპირე. ანუ Z შეკრების მიმართ ჯგუფია. გამრავლების მიმართ, სამწუხაროდ, ეს უკვე ასე არ არის. შევეცადოთ იგივე მეთოდით ავაგოთ მომცველი სიმრავლე რომელშიც უკვე გამრავლების მიმართაც იქნება ჯგუფი.

ნამრავლ Z × Z-ში უკვე ექვივალენტობა გამრავლების მიხედვით უნდა განვმარტოთ:
[m, n] ∼ [m', n'] თუ m • n' = m' • n
ნამრავლიდან უნდა გამოვრიცხოთ წყვილი რომლის მეორე კოორდინატი ნულია. ოპერაციები შემდეგნაირად განიმარტება
[m, n] + [m', n'] = [(m • n') + (n • m'), n • n']
[m, n] • [m', n'] = [m • m', n • n']

მიღებული სიმრავლე იქნება რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლე Q და ის უკვე გამრავლების მიმართაც ჯგუფია, ოღონდ ნულის გარეშე, ანუ Q უკვე ველია. ეს არის უმცირესი ველი რომელიც მოიცავს ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეს, NQ. ამ ველის ყოველი ელემენტი შეიძლება სამი ნიშნით წარმოვადგინოთ: პირველია + ან -, მეორე 0 ან N-ის ელემენტი, მესამე N-ის ელემენტი. ექვივალენტობა:

[+, m, n] ∼ [+, m', n'] ⇔ m • n' = n • m'
[-, m, n] ∼ [-, m', n'] ⇔ m • n' = n • m'
ოპერაციები
[+, m, n] + [+, m', n'] = [+, (m • n') + (n • m'), n • n']
[+, m, n] + [-, m', n'] = [+, (m • n') - (n • m'), n • თუ (m • n') > (n • m')
[+, m, n] + [-, m', n'] = [-, (n • m') - (m • n'), n • თუ (m • n') < (n • m')
[-, m, n] + [-, m', n'] = [-, (m • n') + (n • m'), n • n']
[+, m, n] • [+, m', n'] = [+, m • m', n • n']
[+, m, n] • [-, m', n'] = [-, m • m', n • n']
[-, m, n] • [-, m', n'] = [+, m • m', n • n']