წრფივი ოპერატორით შექმნილი ალგებრა

ამ ნაწილის თემაა წრფივი სივრცის თავის თავში წრფივი ოპერატორის წარმოდგენის შესახებ ჟორდანის თეორემა. უფრო ზუსტად მისი განზოგადოება ფრობენიუსის მიერ დამტკიცებული კელი- ჰამილტონის თეორემისა ოღონდ კომუტატური ვარიანტისა. Arthur Cayley (1821.08.16 - 1895.01.26), Sir William Rowan Hamilton (1805.08.04 - 1865.09.02), Marie Ennemond Jordan( 1838.01.05 -1922.01.22), Ferdinand Georg Frobenius(1849.10.26 - 1917.08.03). წრფივი სივრცე E-ს ოპერატორთა შეკრება და ველის ელემენტზე გამრავლება შეიძლება, ანუ ოპერატორების ეს ოპერაცია ასოციური ოპერაციაა და დისტრიბუციულია შეკრების მიმართ. მათში არსებობს ერთეულიც, იგიური ასახვა. გამოდის რომ წრფივ ოპერატორთა სიმრავლე არაკომუტატური ალგებრაა. ჰომოთეტია, ანუ ველის ელემენტზე გამრავლება ერთ ერთი ოპერატორია. ამგვარად თვით ველი ჩადგმულია არაკომუტატურ ალგებრა Lin(E, E)-ში.

ინგლისურად - linear operator
ფრანგულად - un opérateur linéaire
გერმანულად - ein linearer Operator
იტალიურად - un operatore lineare
ესპანურად - en operador lineal
რუსულად - лине́йный опера́тор

სიტყვას ოპერატორი მომავალში ვიხმართ სასრული განზომილების წრფივი სივრცის თავის თავში წრფივი ასახვისათვის. ვთქვათ f: E → E ასეთი ოპერატორია. ეს ოპერატორი გააჩენს Lin(E, E)-ს კომუტატურ ქვეალგებრას. აღვნიშნოთ იგი Af-ით. ამ ალგებრის ელემენტია f-ის გამეორებების და ჰომოთეტიების წრფივი კომბინაცია, Af = F{f,f ², f ³, . . .}
ყოველი მათგანი
a₀ + a₁f + a₂f² + . . . +a_nfⁿ
წრფივი ასახვაა, წრფივი ოპერატორია. თვით ფორმა მრავალწევრს მოგვაგონებს და მართლაც შესაძლებელია განვმარტოთ ბუნებრივი ასახვა მრავალწევრთა ალგებრა V[t]-დან ამ ალგებრაში. შევცვალოთ მრავალწევრ a-ში t ოპერატორ f-ით, მივიღებთ ოპერატორს.

მაგალითი
დაბალ ხარისხიან მრავალწევრთა წრფივ სივრცეში (არა უმეტეს რაიმე ფიქსირებულ n ხარისხზე მეტზე) ოპერატორის მაგალითია t-ზე გამრავლება პირობით: თუ ნამრავლის ხარისხმა გადააჭარბა n-ს მაშინ მას ვაკლებთ n ხარისხის ფიქსირებული მრავალწევრის (რომელიც ფაქტიურად განსაზღვრავს ოპერაციას) ჯერადს რათა დავიყვანოთ დაბალ ხარისხიანამდე, . მაგლითად ავიღოთ მრავალწევრად t²+1. მივიღებთ
(3t + 2) ∗ (2t - 4) = 6t² - 8t - 8 - 6 ∗ (t²+1) = - 8t - 14
თუ დავუკვირდებით მივიღეთ კომპლექსურ რიცხვთა ალგებრის იზომორფული ალგებრა

მრავალწევრთა სივრცის ანასახი იქნება Lin(E, E)-ის ქვესივრცე, f-ით წარმოქმნილი ქვესივრცე, A(f, E). შემოკლებით Af, როდესაც ეს გაურკვევლობას არ გამოიწვევს. ეს ასახვა შეთანხმებულია გამრავლებასთან, მრავალწევრ a და b-ს ნამრავლი გადადის მათი ანასახების კომპოზიციაში. ალგებრა Af გასაგებია კომუტატურია, ანუ მისი ყველა ოპერატორი ერთმანეთთან გადაადგილებადია. ეპიმორფიზმის V[t] → Af ბირთვი იქნება იდეალი მრავალწევრთა სივრცეში, M(f, S) ⊂ V[x], აქაც შემოკლებით Mf.

თუ დავუკვირდებით, წრფივი სივრცე E ამ ოპერატორმა Af-მოდულად აქცია. ასე რომ წრფივი ოპერატორის ვითარების ბუნებრივი განზოგადოებაა კომუტატური ალგებრის მიმართ მოდული. ალგებრის დაშლა ლოკალურ ალგებრებად არის კელი-ჰამილტონის თეორემის კომუტატური ვარიანტი. ანუ ჟორდანის თეორემა დაშლის ფაქტის პირდაპირი შედეგია.

მაგალითი
ვთქვათ A ალგებრაა. ავიღოთ მისი ნებისმიერი ელემენტი a და განვიხილოთ მასზე გამრავლებით გამოწვეული ასახვა. ეს იქნება წრფივი ოპერატორი A-დან A-ში.

მახასიათებელი მრავალწევრი

ვთქვათ მოცემულია V-წრფივ სივრცე E-ზე ოპერატორი f: E → E. გვაქვს ზუსტი მიმდევრობა
0 → M(f, E) → V[t] → A(f, E) → 0

განსაზღვრა
ასახვის V[t] → A(f, E) ბირთვის, იდეალ M(f, E)-ის წარმომქმნელ მრავალწევრს, რომლის უმაღლესი კოეფიციენტი უდრის 1-ს ვუწოდოთ ოპერატორ f-ის მახასიათებელი მრავალწევრი.

ოპერატორ f-ის მახასიათებელი მრავალწევრი აღვნიშნოთ m(f, E)-ით, შემოკლებით mf.

ინგლისურად - characteristic polynomial
ფრანგულად - le polynôme caractéristique
გერმანულად - das charakteristische Polynom
იტალიურად - il polinomio caratteristico
ესპანურად - la polinomio característico
რუსულად - характеристический многочлен

მათემატიკურ ლიტერატურაში mf-ს მინიმალურ მრავალწევრს უწოდებენ. ხოლო ტერმინს მახასიათებელი მრავალწევრი ხმარობენ მისი ჯერადისათვის, რომელსაც ასახვის მატრიცის მეშვეობით განმარტავენ.

თუ k არის mf-ის ხარისხი, მაშინ გვექნება იზომორფიზმი მრავალწევრთა ალგებრა V[t, k]-სა და ქვეალგებრა Af-ს შორის. V[t, k]-ში გამრავლებას ვგულისხმობთ როგორც მრავალწევრთა ნამრავლის მახასიათებელ მრავალწევრ mf-ზე გაყოფის ნაშთს. V[t, k]-სა და Af-ს შორის იზომორფიზმს განსაზღვრავს მათი წარმომქმნელების შესაბამისობა t → f. წრფივ სივრცე V[t, k]-ში გამრავლების განმსაზღვრელი მრავალწევრი, f-ის მახასიათებელი მრავალწევრი V[t, k]-ში არ შედის, მას ნული შეესაბამება. აქედან გამომდინარეობს, რომ ყოველი მრავალწევრი, რომლის უფროსი კოეფიციენტი ველის ერთეულია, არის რომელიმე ოპერატორის მახასიათებელი მრავალწევრი. მის მიერ განსაზღვრული გამრავლება V[t, k]-ს გადააქცევს ალგებრად და t-ზე გამრავლების, როგორც წრფივი ოპერატორის მახასიათებელი იქნება თვით აღებული მრავალწევრი, ხოლო V[t, k] ამ ოპერატორის სტანდარტული, ეტალონი სივრცე.

ინვარიანტული ქვესივრცე

ვთქვათ წრფივ სვრცე E-ზე მოცემულია წრფივი ოპერატორი f: E → E.

განსაზღვრა
წრფივი სივრცე E-ს ქვესივრცეს უწოდებენ ინვარიანტულ ქვესივრცეს წრფივ ოპერატორ f-ის მიმართ, თუ მისი ყოველი ელემენტის ანასახი ოპერატორ f-ით ისევ მასშია

ინგლისურად - invariant subspace
ფრანგულად - un sous-espace stable
გერმანულად - ?
იტალიურად - un sottospazio invariante
ესპანურად - un subespacio invariante
რუსულად - инвариантное подпространство

ინვარიანტულ ქვესივრცეთა თანაკვეთა ისევ ინვარიანტული ქვესივრცეა და ინვარიანტულ ქვესივრცეთა ჯამიც ინვარიანტული ქვესივრცეა.

თეორემა
ოპერატორი f-ის მიმართ ინვარიანტული ქვესივრცე ინვარიანტულია Af-ის ყველა ოპერატორის მიმართაც

მტკიცება
ნათელია, რადგან Af-ის ყველა ოპერატორი ჰომოთეტიისა და f-ის ჯერადების კომბინაციაა.

გავიხსენოთ, რომ E არის ალგებრა Af-ის მოდული. თეორემა ამბობს რომ ამ ვითარებაში ქვემოდული და ინვარიანტული ქვესივრცე ტოლფასი, ექვივალენტური ცნებებია.

თუ X ინვარიანტული ქვესივრცეა, ანუ Af-ქვემოდული, ბუნებრივია f შეგვიძლია განვიხილოთ როგორც მისი ოპერატორი. მეტიც f შეგვიძლია გადავიტანოთ ფაქტორ სივრცე E/X-ზეც. მართლაც, თუ a და b ერთი და იმავე შრეშია, ანუ a - b ∈ X, მაშინ (a - b)f ∈ X. ეს ნიშნავს რომ af და bf ერთი და იმავე შრეშია, რადგან af - bf = (a - b)f ∈ X.

ბუნებრივია ფაქტორ სივრცზე გადატანილ ოპერატორსაც აქვს მახასიათებელი მრავალწევრი, აღვნიშნოთ ეს მრავალწევრი n(f, X)-ით. თუ დავუკვირდებით ადგილი აქვს ტოლობას m(f, E/X) ∗ m(f, X) = m(f, E)

ალგებრის ქვესიმრავლეთა მოდულის ქვესიმრავლეებთან კავშირი ამ სპეციფიურ ვითარებაში (ერთწარმომქმნელიანი ალგებრა) მრავალწევრის გამყოფებით განისაზღვრება. თუ f: E → E ოპერატორია და X ინვარიანტურლი ქვესივრცე, მაშინ m(f, E) ∈ M(f, X). ეს ნიშნავს რომ m(f, E) არის m(f, X)-ის ჯერადი, ანუ m(f, X) არის m(f, E)-ის გამყოფი. მეტიც, გადმოვიტანოთ ალგებრის იდეალებსა და ქვემოდულებს შორის დამყარებული კავშირი ოპერატორის შემთხვევაზე და გავავრცელოთ ის მრავალწევრთა ალგებრის იდეალებზეც. რადგან საქმე მრავალწევრთა ალგებრასთან გვაქვს წრფივი სივრცე E, მასში წრფივი ოპერატორი f: E → E იძლევა ზუსტ მიმდევრობას
0 → M(f, E) → V[t] → A(f, E) → 0
ყოველი ინვარიანტული ქვესივრცე, ანუ A(f, E)-ქვემოდული X-სათვის ანალოგიური იდეალისათვის M(f, X) გვაქვს M(f, E) ⊂ M(f, X) ⊂ V[t] და მისი ანასახი NX ⊂ A(f, E) იძლევა ზუსტ მიმდევრობას
0 → M(f, X) → V[t] → mX → 0

განვიხილოთ წრფივი f:E → E და მისი მახასიათებელი მრავალწევრი m-ის დაშლა m=ab. ეს დაშლა იწვევს ჩართვას Ima(f) ⊂ Kerb(f). თუ, x ∈ Ima(f), ანუ არსებობს y, ya(f) = x. მაშინ რადგან m(f) ყოველი ვექტორი ნულში გადააქვს მივიღებთ ტოლობას xb(f) = ya(f)b(f) = ym(f) = 0, ანუ x ∈ Kerb(f). თუ k = dim E, l არის მრავალწევრი a-ს ხარისხი, მაშინ l = Ker a(f) და k - l = dim Ima(f), n მრავალწევრი b-ს ხარისხი, მაშინ n = dim Ker b(f). აქედან k - l + n = k = dim E, ანუ l = n, ეს კი ნიშნავს ტოლობას Ima(f) = Kerb(f). თუ Ker a(f) ∩ Ker b(f) ≠ 0, მაშინ მრავალწევრებს a და b ექნებაT საერთო გამყოფი. მივიღეთ

თეორემა
ვთქვათ წრფივი ოპერატორის f: E → E მახასიათებელი მრავალწევრი არის ნამრავლი ab, რომელთა თანამამრავლებსაც საერთო გამყოფი არა აქვთ, მაშინ წრფივი სივრცე E იქნება პირდაპირი ჯამი Ker a(f) + Ker b(f) = E.

ინვარიანტულ ქვესივრცეთა მესერი

ინვარიანტულ ქვღსივრცეთა სიმრავლე მესერს ჰქმნის. მასში არის მაქსიმალური და მინიმალური (ბუნებრივია იგულისხმება ტრივიალურებისაგან განსხვავებული) ინვარიანტული ქვესივრცეები. ყოველი ინვარიანტული ქვესივრცე ან არ გადაიკვეთება მინიმალურთან ან მთლიანად მოიცავს მას. ნათელია რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში თანაკვეთა იქნება მინიმალურში შემავალი მისგან განსხვავებული ინვარიანტული ქვესივრცე. აქედან დასკვნა

თეორემა
ინვარიანტულ ქვესივრცეთა მესერი მინიმალურ ინვარიანტულ ქვესივრცეთა სიმრავლის ქვესიმრავლეთა ბულის ალგებრის ქვემესერია.

მტკიცება
აღვნიშნოთ M-ით მინიმალურ ინვარიანტულ ქვესივრცეთა სიმრავლე. ამ სიმრავლის ყოველი ქვესიმრავლე განსაზღვრავს ინვარიანტულ ქვესივრცეს, მასში შემავალ ელემენტთა, მინიმალურ ქვესივრცეთა ჯამს. ზედა აბზაცის მიხედვით ყოველი ინვარიანტული ქვეესივრცე განსაზღვრავს მასში შემავალ მინიმალურ ინვარიანტულ ქვესივრცეთა სიმრავლეს.