ამ ნაწილის თემაა წრფივი სივრცის თავის თავში წრფივი ოპერატორის წარმოდგენის შესახებ ჟორდანის თეორემა. უფრო ზუსტად მისი განზოგადოება ფრობენიუსის მიერ დამტკიცებული კელი- ჰამილტონის თეორემისა ოღონდ კომუტატური ვარიანტისა.
Arthur Cayley (1821.08.16 - 1895.01.26),
Sir William Rowan Hamilton (1805.08.04 - 1865.09.02),
Marie Ennemond Jordan( 1838.01.05 -1922.01.22),
Ferdinand Georg Frobenius(1849.10.26 - 1917.08.03).
წრფივი სივრცე E-ს ოპერატორთა შეკრება და ველის ელემენტზე გამრავლება შეიძლება, ანუ ოპერატორების ეს ოპერაცია ასოციური ოპერაციაა და დისტრიბუციულია შეკრების მიმართ. მათში არსებობს ერთეულიც, იგიური ასახვა. გამოდის რომ წრფივ ოპერატორთა სიმრავლე არაკომუტატური ალგებრაა. ჰომოთეტია, ანუ ველის ელემენტზე გამრავლება ერთ ერთი ოპერატორია. ამგვარად თვით ველი ჩადგმულია არაკომუტატურ ალგებრა Lin(E, E)-ში.
სიტყვას ოპერატორი მომავალში ვიხმართ სასრული განზომილების წრფივი სივრცის თავის თავში წრფივი ასახვისათვის. ვთქვათ f: E → E ასეთი ოპერატორია. ეს ოპერატორი გააჩენს Lin(E, E)-ს კომუტატურ
ქვეალგებრას. აღვნიშნოთ იგი
მრავალწევრთა სივრცის ანასახი იქნება Lin(E, E)-ის ქვესივრცე, f-ით წარმოქმნილი ქვესივრცე,
თუ დავუკვირდებით, წრფივი სივრცე E ამ ოპერატორმა
ვთქვათ მოცემულია V-წრფივ სივრცე E-ზე ოპერატორი f: E → E. გვაქვს ზუსტი მიმდევრობა
ოპერატორ f-ის მახასიათებელი მრავალწევრი აღვნიშნოთ
მათემატიკურ ლიტერატურაში
თუ k არის
ვთქვათ წრფივ სვრცე E-ზე მოცემულია წრფივი ოპერატორი f: E → E.
ინვარიანტულ ქვესივრცეთა თანაკვეთა ისევ ინვარიანტული ქვესივრცეა და ინვარიანტულ ქვესივრცეთა ჯამიც ინვარიანტული ქვესივრცეა.
გავიხსენოთ, რომ E არის ალგებრა
თუ X ინვარიანტული ქვესივრცეა, ანუ
ბუნებრივია ფაქტორ სივრცზე გადატანილ ოპერატორსაც აქვს მახასიათებელი მრავალწევრი, აღვნიშნოთ ეს მრავალწევრი
ალგებრის ქვესიმრავლეთა მოდულის ქვესიმრავლეებთან კავშირი ამ სპეციფიურ ვითარებაში (ერთწარმომქმნელიანი ალგებრა) მრავალწევრის გამყოფებით განისაზღვრება. თუ f: E → E ოპერატორია და X ინვარიანტურლი ქვესივრცე, მაშინ
განვიხილოთ წრფივი f:E → E და მისი მახასიათებელი მრავალწევრი m-ის დაშლა m=ab. ეს დაშლა იწვევს ჩართვას Ima(f) ⊂ Kerb(f). თუ, x ∈ Ima(f), ანუ არსებობს y, ya(f) = x. მაშინ რადგან m(f) ყოველი ვექტორი ნულში გადააქვს მივიღებთ ტოლობას xb(f) = ya(f)b(f) = ym(f) = 0, ანუ x ∈ Kerb(f). თუ k = dim E, l არის მრავალწევრი a-ს ხარისხი, მაშინ l = Ker a(f) და k - l = dim Ima(f), n მრავალწევრი b-ს ხარისხი, მაშინ n = dim Ker b(f). აქედან k - l + n = k = dim E, ანუ l = n, ეს კი ნიშნავს ტოლობას Ima(f) = Kerb(f). თუ Ker a(f) ∩ Ker b(f) ≠ 0, მაშინ მრავალწევრებს a და b ექნებაT საერთო გამყოფი. მივიღეთ
ინვარიანტულ ქვესივრცეთა მესერი
ინვარიანტულ ქვღსივრცეთა სიმრავლე მესერს ჰქმნის. მასში არის მაქსიმალური და მინიმალური (ბუნებრივია იგულისხმება ტრივიალურებისაგან განსხვავებული) ინვარიანტული ქვესივრცეები. ყოველი ინვარიანტული ქვესივრცე ან არ გადაიკვეთება მინიმალურთან ან მთლიანად მოიცავს მას. ნათელია რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში თანაკვეთა იქნება მინიმალურში შემავალი მისგან განსხვავებული ინვარიანტული ქვესივრცე. აქედან დასკვნა
ფრანგულად - un opérateur linéaire
გერმანულად - ein linearer Operator
იტალიურად - un operatore lineare
ესპანურად - en operador lineal
რუსულად - лине́йный опера́тор
ყოველი მათგანი
a0 + a1f + a2f2 + . . . +anfn
წრფივი ასახვაა, წრფივი ოპერატორია. თვით ფორმა მრავალწევრს მოგვაგონებს და მართლაც შესაძლებელია განვმარტოთ ბუნებრივი ასახვა
მრავალწევრთა ალგებრა V[t]-დან ამ ალგებრაში. შევცვალოთ მრავალწევრ a-ში t ოპერატორ f-ით, მივიღებთ ოპერატორს.
დაბალ ხარისხიან მრავალწევრთა წრფივ სივრცეში (არა უმეტეს რაიმე ფიქსირებულ n ხარისხზე მეტზე) ოპერატორის მაგალითია t-ზე გამრავლება პირობით: თუ ნამრავლის ხარისხმა გადააჭარბა n-ს მაშინ მას ვაკლებთ n ხარისხის ფიქსირებული მრავალწევრის (რომელიც ფაქტიურად განსაზღვრავს ოპერაციას) ჯერადს რათა დავიყვანოთ დაბალ ხარისხიანამდე, . მაგლითად ავიღოთ მრავალწევრად t2+1. მივიღებთ
(3t + 2) ∗ (2t - 4) = 6t2 - 8t - 8 - 6 ∗ (t2+1) = - 8t - 14
თუ დავუკვირდებით მივიღეთ კომპლექსურ რიცხვთა ალგებრის იზომორფული ალგებრა
ვთქვათ A
ალგებრაა. ავიღოთ მისი ნებისმიერი ელემენტი a და განვიხილოთ მასზე გამრავლებით გამოწვეული ასახვა. ეს იქნება წრფივი ოპერატორი A-დან A-ში.
0 →
ასახვის V[t] →
ფრანგულად - le polynôme caractéristique
გერმანულად - das charakteristische Polynom
იტალიურად - il polinomio caratteristico
ესპანურად - la polinomio característico
რუსულად - характеристический многочлен
წრფივი სივრცე E-ს ქვესივრცეს უწოდებენ ინვარიანტულ ქვესივრცეს წრფივ ოპერატორ f-ის მიმართ, თუ მისი ყოველი ელემენტის ანასახი ოპერატორ f-ით ისევ მასშია
ფრანგულად - un sous-espace stable
გერმანულად - ?
იტალიურად - un sottospazio invariante
ესპანურად - un subespacio invariante
რუსულად - инвариантное подпространство
ოპერატორი f-ის მიმართ ინვარიანტული ქვესივრცე ინვარიანტულია
ნათელია, რადგან Af-ის ყველა ოპერატორი ჰომოთეტიისა და f-ის ჯერადების კომბინაციაა.
0 →
ყოველი ინვარიანტული ქვესივრცე, ანუ
0 →
ვთქვათ წრფივი ოპერატორის f: E → E მახასიათებელი მრავალწევრი არის ნამრავლი ab, რომელთა თანამამრავლებსაც საერთო გამყოფი არა აქვთ, მაშინ წრფივი სივრცე E იქნება პირდაპირი ჯამი Ker a(f) + Ker b(f) = E.
ინვარიანტულ ქვესივრცეთა მესერი მინიმალურ ინვარიანტულ ქვესივრცეთა სიმრავლის ქვესიმრავლეთა ბულის ალგებრის ქვემესერია.
აღვნიშნოთ M-ით მინიმალურ ინვარიანტულ ქვესივრცეთა სიმრავლე. ამ სიმრავლის ყოველი ქვესიმრავლე განსაზღვრავს ინვარიანტულ ქვესივრცეს, მასში შემავალ ელემენტთა, მინიმალურ ქვესივრცეთა ჯამს. ზედა აბზაცის მიხედვით ყოველი ინვარიანტული ქვეესივრცე განსაზღვრავს მასში შემავალ მინიმალურ ინვარიანტულ ქვესივრცეთა სიმრავლეს.