მათემატიკა

მრავალწევრთა ალგებრა

სპეციფიურ ასახვებს რომლის საფუძველიც მხოლოდ შეკრება და გამრავლებაა მრავალწევრს უწოდებენ.

განსაზღვრა
ველი V-ს მიმართ სიმრავლე X-ით განსაზღვრულ მრავალწევრთა ალგებრას ვუწოდებთ
ალგებრას წარმოქმნილს
მონოიდი MX-ით.

სიმრავლე X-ის ბაზაზე შექმნილ მრავალწევრთა ალგებრას აღვნიშნავთ P(X, V)-თი, ან უბრალოდ PX-ით თუ გაურკვევლობას არ იწვევს.

ინგლისურად - polynomial
ფრანგულად - un polynôme
გერმანულად - ein Polynom
იტალიურად - un polinomio
ესპანურად - un polinomio
რუსულად - многочле́н ან полино́м

მრავალწევრი გამოიყენება როგორც წრფივი სივრცის სპეციფიური ასახვა, პოლინომიარული ასახვა. თუ m
მონოიდი MX-ის ელემენტია, ხოლო v წრფივი სივრცე F(X, V)-ს ვექტორი, ანუ m: X → 0 ∪ N და ვექტორი v: X → V, მაშინ m-ის როგორც ასახვის შედეგი v-ზე, vm განვსაზღვროთ როგორც ∏xvxm, სადაც x გაირბენს მთელ X. რადგან ორივე ელემენტის საყრდენი სასრულია ამ გამოსახულებას აზრი აქვს. ჩვეულებრივ საქმე უფრო მარტივადაცაა რადგან X უმეტეს შემთხვევაში სასრულია.
ვექტორ v-ზე მრავალწევრი а ∈ P(X, V) მოქმედებს თავისი კომპონენტების მოქმედებების ჯამად, ანუ va = ∑vm • ma, სადაც უკვე m გაირბენს მთელ მონოიდ MX-ს. აქაც ჯამის აზრიანობა საყრდენთა სასრულობის შედეგია. P(X, V)-ს ყოველი ელემენტი წარმოგვიდგება როგორც წრფივი სივრცე F(X, V)-ს ასახვა ველში V. მივიღეთ ასახვა F(X, V) × P(X, V) → V.
ამ პროცედურას ჩვეულებრივ ვექტორის მრავალწევრში ჩასმას უწოდებენ.
ასე რომ P(X, V) ⊂ Map(FX, V). თუ X-ზე რაიმე სტრუქტურაა სჭიროა შემოწმდეს ინახავს თუ არა მას. მრავალწევრი უწყვეტი ასახვაა.

ყველაზე გავრცელებული და ალბათ ყველაზე მნიშვნელოვანია ჩვეულებრივ, ერთ არგუმენტიან მრავალწევრში, ანუ V[t]-ში ჩასმა. მაგრამ ჩასასმელ ელემენტებზე უნდა გვქონდეს ოპერაციები. ჩვეულებრივ ეს შეკრება და გამრავლებაა. ანუ თუ გვაქვს ალგებრა A ველი V-ს მიმართ შეგვეძლება ჩავსვათ მისი ელემენტი მრავლაწევრში V[t]-დან, ანუ გვაქვს ასახვა A × V[t] → A. ალგებრა A-ს ელემენტ a-ს უწოდებენ მრავალწევრ m-ის ფესვს თუ a-ს m-ში ჩასმის შედეგად ვიღებთ ნულს.

თუ გვაქვს ალგებრა A შეგვიძლია განვიხილოთ A-ს კოეფიციენტებიანი მრავალწევრიც, ანუ შევქმნათ ალგებრა P(X, A), კერძოდ A[t]. ეს იქნება სასრულ საყრდენიანი ასახვების სიმრავლე მონოიდი MX-დან ალგებრა A-ში. ამგვარ მრავალწევრშიც შესაძლებელია ალგებრა A-ს ელემენტის ჩასმა.

მრავალწევრის ფესვი

ვთქვათ მოცემულია ველი V, ალგებრა A და სიმრავლე X (სასრული?). ველის შემთხვევის ზემოთ აღწერილის ანალოგიით ვაგებთ A-მოდულ F(X, A)-ს და მრავალწევრთა ალგებრა P(X, A)-ს. განვსაზღვრავთ ასახვას F(X, A) × P(X, A) → A. განისაზღვრება მიმართებაც ვექტორი u ∈ F(X, A) და მრავალწევრი a ∈ P(X, A) მიმართებაშია, წერტილი u მრავალწევრ a-ს ფესვია, ua = 0. ეს მიმართება განსაზღვრავს გალუას თანადობაF(X, A)-ს ქვემოდულებსა და P(X, A)-ს იდეალებს შორის და ამით გამოიყოფა განსაკუთრებული ქვემოდულები და განსაკუთრებული იდეალები. მრავალწევრის ფესვთა სიმრავლეს მათემატიკურ ტექსტებში, ჩვეულებრივ, ალგებრულ მრავალნაირობად მოიხსენიებენ.

მრავალწევრს უწოდებენ დაუყვანადს თუ ის ვერ წარმოიდგინება სხვა მრავაიწევრთა ნამრავლის სახით. თუ მრავალწევრი დაუყვანადი არ არის მაშინ ის არის მის ხარისხზე ნაკლებ ხარისხიან მრავალწევრთა ნამრავლი აქედან დასკვნა: ყოველი მრავალწევრი არის დაუყვანად მრავალწევრთა ნამრავლი. შესაძლოა მრავალწევრს ბევრი დაუყვანადი გამყოფი ჰქონდეს.

თუ a არის მრავალწევრი m-ის ფესვი, მაშინ მრავალწევრი m გაიყოფა (t - a)-ზე. ეს ფაქტი მე ვიეტას თეორემის სახელით ვიცი, თუმცა მათემატიკოსი ვიეტას (François Viètte, ლათინურად Franciscus Vieta, 1540.?.? - 1603.02.23) ბიოგრაფიაში ამის დადასტურება ვერ ვიპოვე.
თუ m = mktk + . . . + m1t + m0, მაშინ mkak + . . . + m1a + m0 = 0. განვსაზღვროთ k - 1 ხარისხის მრავალწევრი n-ის კოეფიციენტები ტოლობიდან m = (t - a) • n.
nk-1 = mk
nk-2 = mk-1 + a • mk, რადგან mk-1 = nk-2 - a • nk-1
nk-3 = mk-2 + a • mk-1 + a2 • mk, რადგან mk-2 = nk-3 - a • nk-2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n1 = m2 + a • m3 + . . . + ak-2 • mk, რადგან m2 = n1 - a • n2
n0 = m1 + a • m2 + a2 • m3 + . . . + ak-1 • mk, რადგან m1 = n0 - a • n1
- a • n0 = a • m1 + a2 • m2 + . . . + ak • mk უნდა უდრიდეს -m0-ს. ეს მართლაც ასეა რადგან a მრავალწევრი m-ის ფესვია.
თუ მრავალწევრი m-ის კოეფიციენტები და ფესვი a ველის ელემენტებია მაშინ, გასაგებია, n-იც V[t]-ს მრავალწევრი იქნება. თუ ფესვი ველის გარეთაა, მაშინ თვით მრავალწევრი რომ შედიოდეს V[t]-ში მრავალწევრი n მაინც V[t]-ს გარეთ დარჩება.

სიმეტრიული მრავალწევრი

ვთქვათ მოცემულია ველი V, მის მიმართ სასრული განზომილების ალგებრა A და სასრული სიმრავლე X. მათი მეშვეობით გვაქვს X-ის გადანაცვლებათა ჯგუფი S, მრავალწევრთა ალგებრა P(X, V) და წრფივი სივრცე A × . . . × A როგორც X-ის A-ში ყველა ასახვათა სიმრავლე P(X, A). რადგან S მოქმედებს X-ზე მისი მოქმედება გავრცელდება P(X, V)-ზეც და P(X, A)-ზეც. თუ s ∈ S, a ∈ M(X, V), ხოლო b ∈ M(X, A), მაშინ მოქმედება განისაზღვრება როგორც კომპოზიცია s ∘ a და s ∘ b.

განსაზღვრა
M(X, V)-ის მრავალწევრ m-ს ვუწოდოთ სიმეტრიული თუ სიმრავლე {m} მოქმედების ორბიტია, ანუ ყოველი s-ისათვის S-დან s ∘ m = m

ნaთელია, რომ სიმეტრიულ მრავალწევრთა სიმრავლე წრფივი სივრცეა. მეტიც, რადგან s ∘ (m • n) = (s ∘ m) • (s ∘ n) სიმეტრიულ მრავალწევრთა სიმრავლე კომუტატური ალგებრაა.

ველის ელემენტი ყველა სიმეტრიულია. ეს იქნება ნულოვანი ხარისხის სიმეტრიული მრავალწევრი. პირველი ხარისხის სიმეტრიული მრავალწევრი იქნება X-ის ასახვა ველის ერთი და იმავე ელემენტში, მაგალითად v-ში. ეს მრავალწევრი არის v(t1 + . . . + tk). ასევე სიმეტრიული მრავალწევრი იქნება ყველა განსხვავებულ წყვილთა ნამრავლების ჯამი ველის ნებისმიერ ელემენტზე გამრავლებული v(t1t2 + . . . + tk-1tk). შემდეგ ყველა განსხვავებულ სამეულთა ნამრავლის ჯამი და ასე შემდეგ. ბოლოს vt1 . . . tk. ეს ჯამები კოეფიციეტის გარეშე მოიხსენიება როგორც ძირითადი, ელემენტარული სიმეტრიული მრავალწევრები. შემოვიღოთ მათი აღნიშვნებიც, n არგუმენტთა ნამრავლების ჯამი აღვნიშნოთ sn-ით.

ვთქვათ A კომუტატური ალგებრაა. sn გამოვიყენოთ როგორც ასახვა რომელიც წრფივი სივრცე A × . . . × A-ს ელემენტ
[x1, . . ., xk]-ს გადაიტანს (x1, . . ., xk) sn-ში. ალგებრა A-ს ეს ელემენტები
an = (-1)k-n(x1, . . ., xk)sn
გამოვიყენოთ მრავალწევრის კოეფიციენტებად. გვექნება
m = tk + ak-1tk-1 + . . . + a1t + a0
თუ შევასრულებთ გამრავლებას ∏(t - xn) მივიღებთ იმავე მრავალწევრს.

ვთქვათ A კომუტატური ალგებრაა. ავიღოთ მისი ნამრავლის ელემენტი [x1, . . ., xk] ∈ A × . . . × A. განვიხილოთ V[t]-ს ყველა ის მრავალწევრი რომელსაც აღებული ვექტორის კოორდინატები x1, . . ., xk ფესვებად აქვს, ჯერადობის გათვალისწინებით. ბუნებრივია, ეს სიმრავლე იდეალია, I(x1, . . ., xk). უმეტეს შემთხვევაში ეს იდეალი ნულოვანია, რადგან მრავალწევრის კოეფიციენტებად ვგულისხმობთ ველი V-ს ელემენტს. ნათელია, რომ ამ იდეალის წარმომქმნელია წინა აბზაცში აგებული მრავალწევრი. დამტკიცდა

თეორემა
იდეალ I(x1, . . ., xk)-ს წარმომქმნის მრავალწევრი, რომლის კოეფიციენტებია ელემენტარული სიმეტრიული მრავალწევრების მნიშვნელობები ვექტორ [x1, . . ., xk]-ზე

ეს თეორემაც ვიეტას (François Viète, 1540.? - 1603.02.23) თეორემის სახელითაა ცნობილი.

მრავალწევრის დაშლა, დაუყვანადი მრავალწევრი

მრავალწევრი შესაძლოა იყოს ორი სხვა მრავალწევრის ნამრავლი. თავის მხრივ ყოველი თანამამრავლიც შესაძლოა წარმოდგეს როგორც ნამრავლი. ეს პროცესი უსასრულოდ ვერ გაგრძელდება რადგან თანამამრავლთა ხარისხი იკლებს. ასე რომ მივიღებთ მრავალწევრის დაშლას დაუშლელ თანამამრავლებად. მრავალწევრს რომელიც ნამრვლად ვერ წსრმოოიდგინება ჩვეულებრივ დაუყვანად მრავალწევრად მოიხსენიებენ