კითხვა, რომელზეც პასუხი არ მაქვს

თუ n წრფივი სივრცის განზომილებაა, ხოლო მასში მარაოში შემავალ ქვესივრცეთა განზომილება k, რა თანაფარდობაა მათ შორის შესაძლებელი გარდა ტრივიალურისა, k < n.
ჰიპოტეზა: n იყოფა k-ზე. ჰომოლოგიური ალგებრის ძირითადი ობიექტია ჯაჭვური კომპლექსი
X: . . . → Xn-1 → Xn → Xn+1 → . . .
ანუ კომუტატური ჯგუფები და მათი ჰომომორფიზმები პირობით: ყოველი ჰომომრფიზმის ანასახი შედის მომდევნოს ბირთვში.
ჯაჭვში მონაწილე ჰომომორფიზმებს დიფერენციალებს უწოდებენ და ასო d-თი აღნიშნავენ dn: Xn → Xn+1. პირობა ნიშნავს dn ∘ dn+1 = 0.

ინგლისურად - chain complex
ფრანგულად - un complexe différentiel
გერმანულად - ein Kettenkomplex
იტალიურად - un complesso di catene
ესპანურად - un complejo de cadenas
რუსულად - цепной комплекс

Xn-ის ელემენტებს ჯაჭვს უწოდებენ. შემდგომისათვის დაგვჭირდება აღნიშვნა CnX = Xn.

ინგლისურად - chain
ფრანგულად - une chaîne
გერმანულად - eine Kette
იტალიურად - un catene
ესპანურად - una cadena
რუსულად - цепь

Ker dn-ის ელემენტებს ციკლს უწოდებენ და ZnX-ით აღვნიშნავ.

ინგლისურად - cycle
ფრანგულად - un cycle
გერმანულად - ein Zyklus
იტალიურად - un ciclo
ესპანურად - un ciclo
რუსულად - цикл

Im dn-ის ელემენტებს შემომსაზღვრელ ციკლს ან საზღვარს უწოდებენ და BnX-ით აღვნიშნავ.

ფაქტორ ჯგუფებს HnX = ZnX / BnX ჯაჭვური კომპლექსი X-ის ჰომოლოგიის ჯგუფებს უწოდებენ.

ჯაჭვური კომპლექსის ჰომოლოგიის ჯგუფები მაჩვენებელია თუ მიმდევრობა რაოდენ გადახრილია სიზუსტიდან. თუ ჰომოლოგიის ჯგუფები ნულს უდრის, მიმდევრობა ზუსტია.

ბუნებრივად განიმარტება ჯაჭვურ კომპლექსთა მორფიზმი. თუ X და Y ჯაჭვური კომპლექსებია, ანუ გვაქვს ჰომომორფიზმთა ორი მიმდევრობა, რომელთა წევრთა კომპოზიცია ნულია
X: . . . → Cn-1X → CnX → Cn+1X → . . .
Y: . . . → Cn-1Y → CnY → Cn+1Y → . . .
ეს იქნება ჰომომორფიზმთა სიმრავლე, რომელნიც ჰქმნის კომუტატურ დიაგრამას
X: . . . → Cn-1X → CnX → Cn+1X → . . .
↓f             ↓fn-1         ↓fn        ↓fn+1
Y: . . . → Cn-1Y → CnY → Cn+1Y → . . .
გასაგებია რომ კომუტატურობის გამო ციკლი გადავა ციკლში და საზღვრელი მსაზღვრელში. მივიღებთ ფაქტორ ჯგუფების ჰომომორფიზმებს, ანუ fn: HnX → HnY.

თეორემა
თუ ჯაჭვურ კომპლექსთა მიმდევრობა 0 → X → Y → Z → 0 ზუსტია, მაშინ მიმდევრობა HnX → HnY → HnZ ზუსტია

მტკიცება
ჯაჭვურ კომპლექსთა სიზუსტეში გვესმის ყოველი ინდექსისათვის ჯაჭვთა ჯგუფების მიმდევრობათა სიზუსტე. ვთქვათ y ∈ ZnY და მისი შრე y + BnY ჰომოლოგიის ჯგუფი HnY-ის ისეთი ელემენტია რომელიც გადადის HnZ-ის ნულში. ეს ნიშნავს რომ ციკლი y-ის ანასახი შედის BnZ-ში. მაშასადამე არსებობს z ∈ Cn-1Z ისეთი რომ yg = zd. ჯაჭვთა ჯგუფების სიზუსტის გამო არსებობს a ∈ Cn-1Y ისეთი რომ ag = z. აქედან (y - ad)g = yg - adg = zd - zd = 0. იმავე სიზუსტის გამო არსებობს x ∈ CnX ისეთი რომ xf = y - ad. აქედან კი xdf = xfd = (y - ad)d = 0. რადგან CnX → CnY მონომორფიზმია xd = 0. და რადგან y - ad + BnY = y + BnY, ვიპოვეთ მისი წინასახე x + BnX.

ჩვეულებრივ განხილვაშია მიმდევრობის ნახევარი. თუ ინდექსთა დადებითი მხარე ნულოვანია, ჩვეულებრივ ინდექსთა უარყოფით მნიშვნელობებს დადებითით ცვლიან და გვექნება
C: . . . → Cn+1 → Cn → Cn-1 → . . . → C1 → C0 → 0
სწორედ ამ შემთხვევას უწოდებენ სათანადოდ, ჯაჭვთა, ციკლთა და ჰომოლოგიის ჯგუფს. თუ უარყოფითი მხარეა ნულოვანი, მაშინ ხმარობენ ტერმინებს კოჯაჭვი, კოციკლი და კოჰომოლოგია. ხოლო ინდექსებს ზემოთ აწევენ
C: 0 → C0 → C1 → . . . → Cn-1 → Cn → Cn+1 → . . .
სათანადოდ Bn, Zn და Hn

ხუთის ლემა

ჰომოლოგიურ ალგებრაში არის რამდენიმე ძალიან სასარგებლო ტექნიკური ხასიათის თეორემა, რომელიც ხშირად გამოიყენება. მათ განსაკუთრებული სახელით მოიხსენიებენ.

თეორემა
თუ კომუტატურ დიაგრამაში
A  →  B  →  C  →  D  →  E
↓a       ↓b       ↓c       ↓d       ↓e
A'  → B'  → C'  → D'  → E'
ჰორიზონტალური მიმდევრობები ზუსტია, ასახვები b და d იზომორფიზმები, a ეპიმორფიზმი, e მონომორფიზმი, მაშინ c იზომორფიზმია

ამ თეორემის მტკიცება გამომდინარეობს ორი ერთმანეთთან ორადული ლემიდან რომელთაც უკვე ოთხის ლემას უწოდებენ

თეორემა
თუ კომუტატურ დიაგრამაში
A  →  B  →  C  →  D
↓a       ↓b       ↓c       ↓d
A'  → B'  → C'  → D'
ჰორიზონტალური მიმდევრობები ზუსტია, ასახვა a ეპიმორფიზმი, b და d მონომორფიზმი, მაშინ c მონომორფიზმია

და მისი ორადული

თეორემა
თუ კომუტატურ დიაგრამაში
B  →  C  →  D  →  E
↓b       ↓c       ↓d       ↓e
B'  → C'  → D'  → E'
ჰორიზონტალური მიმდევრობები ზუსტია, ასახვა e მონომორფიზმი, b და d ეპიმორფიზმი, მაშინ c ეპიმორფიზმია

დავამტკიცოთ ეს უკანასკნელი თეორემა

მტკიცება
ავიღოთ C'-ის ელემენტი x. საძიებელია მისი წინასახე ასახვა c-თი. მისი ჰორიზონტალური ანასახი D'-ში იქნება y, ხოლო მისი ანასახი E'-ში სიზუსტის გამო არის 0. d-ს ეპიიმორფულობის გამო არსებობს D-ში y-ის წინასახე z, რომლის ჰორიზონტალური ანასახი ნულია, რადგან e მონომორფიზმია და კომუტატირობის გამო z-ის ანსახი E'-ში y-ის ანასახს უდრის. ზედა ჰორიზონტალური მიმდევრობის სიზუსტის გამო არსებობს C-ში u, რომლის ჰორიზონტალური ანასახი არის z. შევადაროთ uc და x. ორივე ამ ელემენტის ანასახი y-ია, მაშასადამე სხვაობა (x - uc)-ს ანასახი არის ნული. ქვედა ჰორიზონტალური მიმდევრობის სიზუსტის გამო არსებობს B'-ში ელემენტი რომელიც სხვაობაზე აისახება, b-ს ეპირმორფულობის გამო არსებობს მისი წინასახეც. ამ უკანაკნელის ანასახი C-ში აღვნიშნოთ v-თი. დიაგრამის კომუტატურობის გამო vc = x - uc. აქედან (u + v)c = x. ვიპოვეთ წინასახე. c ეპიმორფიზმია.

მტკიცების სიგრძის მიუხედავად მტკიცება საკმაოდ ელემენტარულია. ანალოგიურად მტკიცდება ორადული თეორემაც. ძირითადი თეორემის მტკიცება ნათელია, c ეპიმორფიზმიცაა და მონომორფიზმიც, ანუ იზომორფიზმი. ეს მტკიცება სამართლიანია აბელის ჯგუფთა კატეგორიაში, ასევე წრფივ სივრცეთა კატეგორიაში და საერთოდ აბელის კატეგორიაში.

გადაბმის მორფიზმი და სათანადო სიზუსტე

კიდევ ერთი უკვე სპეციფიურად ჰომოლოგიური ალგებრის ფაქტი. კომუტატური დიაგრამისათვის
         A  →  B  →  C  →  0
         ↓a       ↓b       ↓c
0  → A'  → B'  → C'
თუ ჰორიზონტალური მიმდევრობები ზუსტია არსებობს ბუნებრივი მორფიზმი Ker c-დან Coker a-ში, რომლის სახელად გადაბმის მორფიზმი ვიხმაროთ და δ-თი აღვნიშნოთ, δ: Ker c → Coker a. ეს მორფიზმი შემდეგნაირად აიგება:
ავიღოთ Ker c-დან ელემენტი z. ის არის C-ს ელემენტი და ჰორიზონტალური მიმდევრობის სიზუსტის გამო მას აქვს წინასახე y. ამ ელემენტის, yb-ს ანასახი C'-ში ნულია, რადგან ის არის Ker c-ს ელემენტ z-ის ანასახი, zc = 0. ეს ნიშნავს რომ yb-ს აქვს წინასახე x. ამ ელემენტის შრე Coker a-ში იყოს x-ის ანასახი გადაბმის მორფიზმით, zδ = x + Im a.

თეორემა
თუ კომუტატური დიაგრამის
         A  →  B  →  C  →  0
         ↓a       ↓b       ↓c
0  → A'  → B'  → C'
ჰორიზონტალური მიმდევრობები ზუსტია, მაშინ ზუსტია მიმდევრობაც
Ker b → Ker c → Coker a → Coker b
სადაც მორფიზმი Ker c → Coker a გადაბმის მორფიზმია

მტკიცება
ვთქვათ z ∈ Ker c და zδ = 0, რაც ნიშნავს რომ zδ = Im a. ეს კი ნიშნავს რომ არსებობს y ∈ B და x ∈ Im a ისეთი რომ yb არის x-ის ანასახი. რადგან x ∈ Im a არსებობს u ∈ A ისეთი რომ ua = x. სიზუსტის გამო u-ს ჰორიზონტალურ ანასახის ანასახი ნულია, ამიტომ y-სა და u-ს ჰორიზონტალურ ანასახს შორის სხვაობა გადადის z-ში. ამ სხვაობის ორივე კომპონენტის ანასახი b-თი ტოლია, ანუ სხვაობა ეკუთვნის Ker b-ს. მოიძებნა z-ის წინასახე Ker b-ში.
თუ x + Im a ∈ Coker a გადადის ნულში, ანუ x-ის ანასახი ეკუთვნის Im b-ს, მაშინ არსებულა ელემენტი B-დან რომელიც გადადის c-ს ბირთვში. მოიძებნა (x + Im a)-ს წინასახე δ-თი.

ეს თეორემა ინგლისურ ენოვან ლიტერატურაში snake lemma-ს სახელითაა მოხსენიებული.

ფუნქტორის სიზუსტე

კომუტატურ ჯგუფთა კატეგორია აღვნიშნოთ A-თი. ამ კატეგორიის ყოველ ობიექტს, A-ს შეესაბამება ორი ფუნქტორი
- ობიექტ X-ს შევუსაბამოთ XA = Mor(A, X), კოვარიანტული ფუნქტორი
- ობიექტ X-ს შევუსაბამოთ XA = Mor(X, A), კონტრავარიანტული ფუნქტორი
ფუნქტორის მორფიზმზე მნიშვნელობა კომპოზიციით:
- თუ f: X → Y და u ∈ XA = Mor(A, X), მაშინ u(fA) = u ∘ f ∈ Mor(A, Y) = YA
- თუ f: X → Y და u ∈ YA = Mor(Y, A), მაშინ u(fA) = f ∘ u ∈ Mor(X, A) = XA

ორივე ეს ფუნქტორი ზუსტ მიმდევრობას ზუსტში ყოველთვის არ გადაიტანს მაგრამ სიზუსტის ნაწილს მაინც ინარჩუნებს, ამიტომ მათ უწოდებენ ნახევრად ზუსტ ფუნქტორს. ვთქვათ 0 → X → Y → Z → 0 ზუსტი მიმდევრობაა, f: X → Y და g: Y → Z. განვიხილოთ დიაგრამა
         A  =  A =  A
         ↓u     ↓v     ↓w
0 → X → Y → Z → 0
რადგან f მონომორფიზმია u ∘ f-ის ნულობა იწვევს u-ს ნულობას, მაშასადამე fA: XA → YA მონომორფიზმია. თუ v(gA) = 0, ანუ v ∘ g = 0, მაშინ Im v ⊂ Ker g = Im f = A (სიზუსტის გამო). რაც ნიშნავს რომ v არის ასახვა X-ში. საბოლოოდ მივიღეთ, რომ მიმდევრობა
0 → XA → YA → ZA
ზუსტია. w-ს წინარესახე აღდგენადია, მაგრამ მიღებული ასახვა შესაძლოა არ იყოს ჰომომორფიზმი. ჰომომორფიზმით აღდგენის შესაძლებლობა დამოკიდებულია დამატებით თვისებებზე.
განვიხილოთ ორადული შემთხვევა
0 → X → Y → Z → 0
         ↓u     ↓v     ↓w
         A  =  A =  A
w(gA)-ს, ანუ კომპოზიციის g ∘ w ნულობა შესაძლებელია მხოლოდ თვით w-ს ნულობით რადგან g ეპიმორფიზმია, ამიტომ gA: ZA → YA მონომორფიზმია. დავუშვათ v(fA) = 0, ანუ f ∘ v = 0, მაშინ (Im f)v = 0. ეს კი ნიშნავს რომ გვაქვს ასახვა Z-დან A-ში. ჰომომორფიზმობა ნათელია. მივიღეთ რომ მიმდევრობა
0 → ZA → YA → XA
ზუსტია.

რომელი ობიეტისათვის არის A ან A ზუსტი? ობიექტი A-ს რა თვისება უზრუნველყოფს ამ ფუნქტორთა სიზუსტეს? მგონი ნათელია რომ მთელ რიცხვთა ჯგუფისათვის Z ზუსტია (თუნდაც იმიტომ რომ ეს ფუნქტორი იგიურია). ამას უზრუნველყოფს Z-ის თავისუფლება, ანუ ნებისმიერი ჯგუფის ნებისმიერ ელემენტზე ერთიანის ასახვა გრძელდება მთელ რიცხვებზე. ამ თვისების მატარებელია ნებისმიერი სიმრავლე S-ით შექმნილი თავისუფალი ჯგუფი F(S, Z), სასრულ საყრდენიანი ასახვები X-დან Z-ში. მივიღეთ F(S, Z) ზუსტი ფუნქტორია. რადგან Mor(F(S, Z) , X) = F(S, X), ეს ფუნქტორი ასეც შეიძლება ჩაიწეროს ჯგუფი X გადააქვს F(S, X) = XF(S, Z), ან უბრალოდ S. იგივე დასკვნა შეიძლება გამოვიტანოთ 'ჯგუფთა მორფიზმში" დამტკიცებული თეორემიდან.

იმისათვის რომ ჯგუფი A-საგან მიღებული ფუნქტორი A იყოს ზუსტი საჭიროა ნებისმიერი მონომორფიზმი ეპიმორფიზმში გადაიტანოს. თუ f: X → Y მონომორფიზმია X შეგვიძლია Y-ის ქვეჯგუფად ვიგულისხმოთ. ეს კი ნიშნავს რომ X-დან A-ში ნებისმიერი ჰომომორფიზმის გაფართოება უნდა შეგვეძლოს Y-დან A-ში. გამოდის რომ ზუსტი ფუნქტორის შემქმნელი ჯგუფის ყოველი ელემენტი ნებისმიერ მთელ რიცხვზე უნდა იყოფოდეს. ჯგუფი Q / Z ამ თვისების მატარებელია. Q / Z ზუსტი ფუნქტორია. ეს მისი თვისება 'ჯგუფთა მორფიზმში" დამტკიცებული თეორემის პირდაპირი შედეგია.
თუ ავიღებთ ნებისმიერ სიმრავლე S-ს, ავაგებთ ჯგუფს M(S, Q/Z), ყველა ასახვათა სიმრავლე S-დან Q / Z-ში. ასახვათა ჯამი განისაზღვრება მნიშვნელობათა ჯამით. სიმრავლე S-ის ყოველი ელემენტისათვის არსებობს პროექცია M(S, Q/Z)-დან Q / Z-ში, რომლებთანაც კომპოზიციები ცალსახად განსაზღვრავს ასახვას ნებისმიერი ჯგუფიდან M(S, Q/Z)-ში. რადგან Q / Z-ს აქვს გაგრძელებადობის თვისება შეგვიძლია დავასკვნათ რომ M(S, Q/Z)-საც ექნება იგივე თვისება. ყოველივე თქმულიდან ვასკვნით რომ ფუნქტორი M(S, Q/Z), უბრალოდ S ზუსტია.

ობიექტის რეზოლვენტი

ყოველი კომუტატური ჯგუფი არის პროექციულის ფაქტორ ჯგუფი. მართლაც, თუ X კომუტატური ჯგუფია, ავიღოთ ასახვა F(X, Z) → X გამოწვეული X-ის იგიური ასახვით. თუ S არის ჯგუფი X-ის წარმომქმნელთა ქვესიმრავლე მაშინ F(S, Z) → X ასახვა ეპიმორფიზმია, ხოლო F(S, Z) პროექციული. თუ ამ ეპიმორფიზმის ბირთვისათვისაც ავაგებთ სათანადო ეპიმორფიზმს მივიღებთ ზუსტ მიმდევრობას
F(S1, Z) → F(S, Z) → X → 0
თუ ამ პროცესს გავაგრძელებთ მივიღებთ ზუსტ მიმდევრობას
. . . → F(S1, Z) → F(S0, Z) → X → 0
ამგვარ ზუსტ მიმდევრობას, რომელშიც თვით X-ის გარდა ყველა მონაწილე ობიექტი პროექციულია, X-ის პროექციულ რეზოლვენტს უწოდებენ.

ანალოგიურად იქმნება ინექციული რეზოლვენტი
0 → X → M(S0, Q/Z) → M(S1, Q/Z) → . . .
S0-ად შეგვიძლია თუნდაც თვით X ავიღოთ და ყოველი ელემენტისათვის რაიმე ჰომომორფიზმი Q/Z-ში, რომელიც ამ ელემენტს ნულში არ ასახავს. მივიღებთ საჭირო მონომორფიზმს.

ვთქვათ f არის კომუტატური ჯგუფი X-ის მონომორფიმი ინექციულ ჯგუფ A-ში, ხოლო g იმავე ჯგუფი X-ის მონომორფიზმი სხვა ინექციულ ჯგუფ B-ში. რადგან A ინექციულია არსებობს ჰომომორფიზმი u: B → A მონომორფიზმ G-ის გავრცობა B-ზე, g ∘ u = f. ასევე B-ს ინექციულობის გამო არსებობს v: A → B ისეთი რომ f ∘ v = g. აქედან g ∘ u ∘ v = g და f ∘ v ∘ u = f.