მათემატიკა

პროექციული სივრცე

პროექციული გეომეტრიის ობიექტია პროექციული სივრცე. ნამდვილ რიცხვთა ველის შემთხვევაში წრფივ სივრცესთან შედარებით მისი უპირატესობა კომპაქტურობაშია. შემდგომის საფუძველია ველი V და სასრული განზომილების წრფივი სივრცე E.

განსაზღვრა
პროექციული სივრცე ეწოდება ველი V-ს მიმართ სასრული განზომილების წრფივი სივრცე E-ს ერთგანზომილებიან ქვესივრცეთა სიმრავლეს, ერთგანზომილებიან ქვესივრცეთა მარაოს

ინგლისურად - projective space
ფრანგულად - un espace projectif
გერმანულად - der projektive Raum
იტალიურად - uno spazio proiettivo
ესპანურად - un espacio proyectivo
რუსულად - проективное пространство

პროექციულ სივრცის ქვესივრცედ მივიჩნევთ სივრცის წერტილთა ქვესიმრავლეს, რომელიც შესდგება ძირითადი წრფივი სივრცის რომელიმე წრფივ ქვესივრცეში შემავალი ერთგანზომილები ქვესივრცეებისაგან, წერტილებისაგან. ეს ქვესიმრავლე, გასაგებია, თვითონ არის პროექციული სივრცე, ანუ წრფივ ქვეესივრცეში შემავალ ერთგანზომილებიან ქვესივრცეთა სიმრავლე. ნათელია, ამგვარ ობიეტთა, პროექციულ ქვესივრცეთა თანაკვეთა ისევ პროექციული ქვესივრცე იქნება. შეგვიძლია ვილაპარაკოთ პროექციულ წრფეზე ან პროექციულ სიბრტყეზე. პროექციულ წრფეთა თანაკვეთა ან ცარიელია ან წერტილი. პროექციულ სიბრტყეთა თანაკვეთა ან პროექციული წრფეა, ან წერტილია (ამისათვის მომცველი პროექციული სივრცის განზომილება ოთხზე ნაკლები არ უნდა იყოს), ან ცარიელია. სამგანზომილებიან პროექციულ სივრცეში ყოველი ორი სიბრტყე თანაიკვეთება და თანაკვეთა წრფეა. ეს გამომდინარეობს იქიდან რომ სამგანზომილებიანი პროექციული სივრცის მომცველი წრფივი სივრცე ოთხგანზომილებიანია და მასში ორი სამგანზომილებიანი სივრცის თანაკვეთა ორგანზომილებიანი წრფივი სივრცეა.

შევეცადოთ ჩამოვაყალიბოთ პროექციული სივრცის ის ძირითადი თცისებები, რომლიც შემდგომში გამოგვადგება პროექციული სივრცის განმარტებისათვის წრფივი სივრცის ცნების გარეშე. ერთ ერთი უმარტივესი თვისებაა, რომ ყოველ ორ განსხვავებულ წერტილზე გადის ერთადერთი წრფე. ორი განსხვავებული წერტილი პროექციულ სივრცეში ნიშნავს ძირითად წრფივ სივრცეში ორ განსვავებულ ერთგანზომილებიან ქვესივრცეს. გასაგებია, რომ ეს ორი ქვესივრცე განსაზღვრავს ერთადერთ ორგანზომილებიან ქვესივრცეს, რომელშიც შემავალ ერთგანზომილებიან ქვესივრცეთა (ანუ პროექციული სივრცის წერტილთა) სიმრავლე იქნება ის ერთადერთი წრფე. ანუ ერთ ერთი ძირითადი თვისება იქნება:
- ყოველ ორ განსხვავებულ წერტილზე გაივლის ერთადერთი წრფე

ორი ორგანზომილებიანი წრფივი ქვესივრცე ან იკვეთება და აქვთ ერთგანზომილებიანი საერთო წრფივი ქვესივრცე, ან მათი თანაკვეთა ნულია. პროექციული სივრცისათვის ეს ნიშნავს:
- ორი წრფე ან აცდენილია (საერთო წერტილი არა აქვთ), ან აქვთ ერთი საერთო წერტილი

თუ ძირითადი წრფივი სივრცე სამგანზომილებიანია, მაშინ მხოლოდ მეორე ვითარება გვაქვს:
- პროექციულ სიბრტყეზე ყოველ ორ განსხვავებულ წრფეს ერთი საერთო წერტილი აქვს

ყოველი სამი წერტილი ან ერთ წრფეზეა, ან განსაზღვრავს ერთადერთ პროექციულ სიბრტყეს (რადგან განსაზღვრავს ერთადერთ სამგანზომილებიან ქვესივრცეს). აქედან
- საერთო წერტილის მქონე ორი წრფე განსაზღვრავს ერთადერთ პროექციულ სიბრტყეს

ზოგადი ვითარებაა: ვთქვათ k განზომილების პროექციული სივრცეში, ანუ k + 1 განზომილების წრფივი სივრცის ერთგანზომილებიან ქვეესივრცეთა სიმრავლეში მოცემულია m და n გამზომილების პროექციული ქვესივრცეები, ანუ m + 1 და n + 1 განზომილების წრფივ ქვესივრცეთა წყვილი. თუ m + n < k, მაშინ მათი თანაკვეთა შეიძლება იყოს ცარიელი ან m-სა და n-ს შორის უმცირესზე არა უმეტესი განზომილების ქვესივრცე. თუ m + n ≥ k, მაშინ მათი თანაკვეთა ცარიელი ვერ იქნება და თანაკვეთის განზომილება ≥ m + n - k. ეს ნათელია სათანადო წრფივი ქვესივრცეების განზომილებათა განხილვიდან.

რაც შეეხება ორი პროექციული ქვესივრცისათვის მათი მომცველი უმცირესი ქვესივრცის განსაზღვრას ესეც შესაბამის წრფივ ქვესივრცეთა ჯამის შესაბამისი პროექციული ქვესივრცე იქნება. მასაც ვუწოდოთ ქვესივრცეთა ჯამი. თუ პროექციულ ქვესივრცეთა განზომილებებია m და n, მაშინ ჯამის განზომილების დიაპაზონი იქნება უდიდესიდან (m + n + 1)-მდე. ესეც სათანადო წრფივ ქვესივრცეთა ჯამის განხილვის შედეგია.

რა სტრუქტურა შეიძლება მოვიაზროთ პროექციულ სივრცეში, გარდა პროექციული ქვესივრცისა? დავიწყოთ წრფით, ანუ ორგანზომილებიანი წრფივი სივრცის ერთგანზომილებიან ქვესივრცეთა ერთობლიობით.

პროექციული მორფიზმი
ვთქვათ მოცემულია ორი პროექციული სივრცე P და Q. პირველი წრფივი სივრცე E-ს ერთგანზომილებიან ქვესივრცეთა სიმრავლეა, ხოლო მეორე წრფივი სივრცე F-ის ერთგანზომილებიან ქვესივრცეთა სიმრავლე. თუ ეს ორივე სივრცე წრფივია ერთი და იმავე ველის მიმართ და გვაქვს წრფივი ასახვა f: E → F, შეგვიძლია ვეცადოთ განვმარტოთ ასახვა P-დან Q-ში, რადგან ერთგანზომილებიანი წრფივი ქვესივრცის წრფივი ასახვით ანასახი ან ერთგანზომილებიანია ან ნულია. ანუ ასახვა განიმარტა მხოლოდ ბირთვის შესაბამისი პროექციული ქვესივრცის დამატებაზე. აგებული ასახვისათვის შევინარჩუნოთ ასახვის აღნიშვნაც f: P → Q. თუ წერტილი p არ ეკუთვნის ასახვა f-ის ბირთვს გვექნება fp = {fx | x ∈ p ⊂ E, p ∈ P}.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. ვთქვათ მოცემულია სამი წრფე a, b და c რომელთაც ერთი საერთო წერტილი A აქვთ. ეს ნიშნავს, რომ ყოველი ორი წრფე ერთ სიბრტყეს განსაზღვრავს, b და c სიბრტყე bc-ს, a და c სიბრტყე ac-ს, a და b სიბრტყე ab-ს. შესაძლოა ეს სიბრტყეები ყველა ერთი და იგივე სიბრტყე აღმოჩდეს, ანუ ყველაფერი ერთ სიბრტყეზეა. თავდაპირველად, ანუ პირველადი განხილვისათვის ჩავთვალოთ რომ ეს ასე არ არის. ანუ ყველაფერი სამგანზომილებიან პროექციულ სივრცეში ხდება, ესე იგი ოთხგანზომილებიან წრფივ სივრცეში.
ყოველ წრფეზე ავიღოთ A-საგან განსხვავებული ორ-ორი წერტილი Xa, Ya ∈ a, Xb, Yb ∈ b და Xc, Yc ∈ c.
წერტილები Xb და Xc განსაზღვრავენ წრფე XbXc-ს
წერტილები Xa და Xc განსაზღვრავენ წრფე XaXc-ს
წერტილები Xa და Xb განსაზღვრავენ წრფე XaXb-ს
ასევე წერტილები Yb და Yc განსაზღვრავენ წრფე YbYc-ს
წერტილები YXa და Yc განსაზღვრავენ წრფე YaYc-ს
წერტილები Ya და Yb განსაზღვრავენ წრფე YaYb-ს
წერტილები A, Xb, Yb, Xc, Yc და მათზე გამავალი წრფეები b, c, XbXc, YbYc ყველა ერთ პროექციულ სიბრტყეზეა, ამიტომ წრფეებს XbXc და YbYc ექნებათ საერთო წერტილი u
ასევე წერტილები A, Xa, Ya, Xc, Yc და მათზე გამავალი წრფეები a, c, XaXc, YaYc ყველა ერთ წინასგან განსხვავებულ პროექციულ სიბრტყეზეა, ამიტომ წრფეებს XaXc და YaYc ექნებათ საერთო წერტილი v
და წერტილები A, Xa, Ya, Xb, Yb და მათზე გამავალი წრფეები a, c, XaXb, YaYb ყველა ერთ წინა ორისაგან განსხვავებულ პროექციულ სიბრტყეზეა, ამიტომ წრფეებს XaXb და YaYb ექნებათ საერთო წერტილი w
განვიხილოთ ორი ახალი სიბრტყე. ერთს წარმოქმნის წერტილები Xa, Xb და Xc. მეორეს წერტილები Ya, Yb და Yc. ამ ორივე სიბრტყეს აქვს საერთო წერტილები, პირველშია წრფე XbXc, ხოლო მეორეში კი წრფე YbYc. ამწრფეთა საერთო წერტილი კი არის u. ასევე ამ სიბრტყეთა საერთო წერტილებია v და w. ამ სიბრტყეთა გადაკვეთის წერტილეის სიმრავლე კი წრფეა. ასე რომ წერტილები u, v და w ერთ წრფეზე განლაგდებიან.