მათემატიკა

ჰილბერტის Nullstellensatz

David Hilbert (1862.01.23 – 1943.02.14)

თუ I არის მრავალწევრათა ალგებრის იდეალი NI იყოს მისი ნულების სიმრავლე, ანუ
a ∈ NI ⇔ ap = 0 ყოველი p-სათვის I-დან.
შებრუნებითაც ყოველი ქვესიმრავლე N-სათვის FX-დან IN იქნება იდეალი მრავალწევრთა ალგებრაში,
p ∈ IN ⇔ ap = 0 ყოველი a-სათვის N-დან.
ჰილბერტის თეორემის შინაარსი: თუ მრავალწევრი f ნულის ტოლია NI-ს ყოველ წერტილზე მაშინ f-ის რომელიღაც ხარისხი შევა იდელ I-ში. განიხილება აგრეთვე ეგრეთ წოდებული სუსტი Nullstellensatz: თუ იდეალი I არ შეიცავს 1-ს მაშინ მას ერთი ნული მაინც აქვს, ანუ IN ცარიელი არ არის. სხვაგვარი ფოემულირებაა:
IN = ∅ ⇒ 1 ∈ I.

ჰილბერტის Nullstellensatz და სუსტი Nullstellensatz ექვივალენტურია. მტკიცდება ეგრეთ წოდებული რაბინოვიჩის ილეთით შემდეგნაირად. დავუშვათ, მრავალწევრი f ∈ K [1, ... xn] ნულდება ყველა მრავალწევრის p1, ....,xn საერთო ნულზე, მრავალწევრებს p1, ...., pm და 1 - y•f-ს არ აქვს საერთო ნული (სადაც y არის ახალი X-ის დამატებითი ელემენტი), ასე რომ სუსტი Nullstellensatz-ის თანახმად მათ მიერ წარმოქმნილი იდეალი შეიცავს ერთეულს 1. ეს ნიშნავს რომ არსებობს მრავალწევრები g0, g1, . . . , gn ისეთი რომ
1 = g0 • (1 - y∗f) + g1 • p1 + . . . + gn • pn
თუ ამ ტოლობაში ჩავსვამთ y = 1/f გვექნება
1 = g1 • p1 + . . . + gn • pn
გავამრავლოთ fn-ზე, სადაც n მნიშვნელში მყოფი ხარისხების მაქსიმუმია
მივიღეთ სასურველი ტოლობა.