შეკრება და გამრავლება რიცხვთა სიმრავლის ცნობილი ოპერაციებია. მათი ძირითადი თვისებებია ასოციურობა და დისტრიბუციულობა. რა გამომდინარეობს ამ თვისებებიდან? ეს არის რგოლთა თეორიის ძირითადი მიზანი. ამ ოპერაციების ძირითად თვისებებს აქსიომებად მივიღებთ.
განსაზღვრა
ინგლისურად - ring
მთელ რიცხვთა სიმრავლე და რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლე ჩვეულებრივი ოპერაციებით არის რგოლის მაგალითები.
თეორემა
მტკიცება
რგოლში შესაძლებელია იყოს ნულის გამყოფები.
ველში ჩადგმულ რგოლს დამატებითი თვისება აქვს. მასში ნულის გამყოფი მხოლოდ ნულია. ამ თვისების მატარებელ რგოლს მთელობის არეს უწოდებენ.
ყოველი მთელობის არე (მთელობის არედ ვგულიდხმობ კომუტატურ რგოლს ნულის გამყოფების გარეშე) ჩაიდგმება ველში. ვთქვათ A მთელობის არეა. განვიხილოთ მისი ელემენტების წყვილთა სიმრავლის ნაწილი, რომელიც ხასიათდება ერთადერთი პირობით {[x, y] | y ≠ 0}. შემოვიღოთ ამ სიმრავლეში ექვივალენტობა
თუ ამ კონსტრუქციას გავიმეორებთ არა მთელობის არეზე არამედ ნებისმიერ კომუტატურ რგოლზე, ოღონდ მეორე კოორდინატი ნულის გამყოფი არ უნდა იყოს, ველს ვერ მივიღებთ. მივიღებთ კომუტატურ რგოლს ერთიანით, რომელშიც ყოველი ელემენტი ან შებრუნებადია ან ნულის გამყოფია.
ინგლისურად - ideal
არაკომუტატურ შემთხვევაში ანსხვავებენ მარცხენა და მარჯვენა იდეალებს იმისდა მიხედვით თუ რომელი ნამრავლი, მარცხენა თუ მარჯვენა აკმაყოფილებს ნახსენებ თვისებას.
რგოლთა რამდენიმე სხვადასხვა სასასრგებლო ტიპი არსებობს. თუ ყოველი იდეალი ერთი ელემენტით წარმოქმნადია რგოლს მთავარ იდელთა რგოლად მოიხსენიებენ. თუ ყოველ იდეალს სასრული რაოდენობა წამოქმნის მაშინ რგოლს ნოეთერის რგოლს უწოდებენ ემი ნოეთერის საპატივსაცემოდ რომელმაც პირველმა მიქცია ყურადღება ამგვარ რგოლებს. Amalie Emmy Noether (1882.03.23 – 1935.04.14).
სიმრავლე R-ს და მასში განსაზღვრულ ორ ოპერაციას (შეკრება + და გამრავლება •) ეწოდება რგოლი თუ სრულდება პირობა:
1. თუ a, b და c რგოლი R-ის ელემენტებია, (a + b) • c = (a • c) + (b • c)
2. სიმრავლე R და შეკრება (+) კომუტატური
ჯგუფია.
3. სიმრავლე R ნულის გარდა და გამრავლება (•) მონოიდია
ფრანგულად - un anneau
გერმანულად - ein Ring
იტალიურად - un anello
ესპანურად - un anillo
რუსულად - Кольцо
რგოლის ყოველი ელემენტისათვის a გვაქვს ტოლობა a • 0 = 0
a = a • 1 = a • (1 + 0) = a • 1 + a • 0 = a + a • 0. დავუმატოთ ორივე მხარეს -a. მივიღებთ 0 = a • 0.
[x, y] ~ [u, v] ⇔ x • v = y • u
მიღებული ფაქტორ სიმრავლე მასზე გადატანილი ოპერაციებით
[x, y] + [u, v] = [x • v + y • u, y • v]
[x, y] • [u, v] = [x • u, y • v]
ველი იქნება. მართლაც, დავიწყოთ ველის პირობებით 8 და 9. ერთიანია დიაგონალი {[u, u]}
[x, y] • [u, u] = [x • u, y • u]
[x, y]-სა და [x • u, y • u]-ს ექვივალენტობა ნათელია.
[x, y]-ის შებრუნებული იქნება [y, x]
პირობა 6 და 7, ნულია {[0, v]}
[x, y] + [0, v] = [x • v + y • 0, y • v] = [x • v, y • v]
ექვივალენტობა ნათელია
[x, y]-ის მოპირდაპირე იქნება [-x, y]
[x, y] + [-x, y] = [x • y + y • (-x), y • y] = [0, y • y]
პირობა 1 და 2 ნათელია.
პირობა 3 და 4
([x, y] + [x', y']) + [x'', y''] = [x • y' + y • x', y • y'] + [x'', y''] =
= [x • y' • y'' + y • x' • y'' + y • y' • x'', y • y' • y'']
[x, y] + ([x', y'] + [x'', y'']) = [x, y] + [x' • y'' + y' • x'', y' • y''] =
[x • y' • y'' + y • x' • y'' + y • y' • x'', y • y' • y'']
([x, y] • [x', y']) • [x'', y''] = [x • x', y • y'] • [x'', y''] = [x • x' • x'', y • y' • y'']
[x, y] • ([x', y'] • [x'', y'']) = = [x, y] • [x' • x'', y' • y''] = [x • x' • x'', y • y' • y'']
პირობა 5
([x, y] + [x', y']) • [x'', y''] = [x • y' + y • x', y • y'] • [x'', y''] = [x • y' • x'' + y • x' • x'', y • y' • y'']
[x, y] • [x'', y''] + [x', y'] • [x'', y''] = [x • x'', y • y''] + [x' • x'', y' • y''] =
= [x' • x'' • y' • y'' + y • y'' • x' • x'', y • y'' • y' • y''] = [x • y' • x'' + y • x' • x'', y • y' • y''] • [y'', y'']
ჩადგმა ნათელია, x-ს შეესაბამება [x • x, x]?
ჰომომორფიზმით ნულში გადასულ ელემენტთა სიმრავლეს, ბირთვს განსაკუთრბული თვისება აქვს
თუ af = 0, მაშინ ნებისმიერი ელემენტი x-ის ნამრავლიც a • x ბირთვშია. მართლაც, (a • x)f = (af) • (xf) = 0 • (xf) = 0.
ამ თვისების მატარებელ ქვერგოლს იდეალს უწოდებენ
ფრანგულად - un idéal
გერმანულად - ein Ideal
იტალიურად - un ideale
ესპანურად - un ideal
რუსულად - идеал
იდეალ I-ს პირობით:
- თუ x • y ∈ I მაშინ ან x ∈ I ან y ∈ I
მარტივ იდეალს უწოდებენ. როგორც ამბობენ მათემატიკოსი რომელმაც პირველმა მიაქცია ყურადღება ამ პირობას ვოლფგანგ კრული იყო. Wolfgang Krull (1899.08.26 – 1971.04.12).