მათემატიკა

რგოლი

შეკრება და გამრავლება რიცხვთა სიმრავლის ცნობილი ოპერაციებია. მათი ძირითადი თვისებებია ასოციურობა და დისტრიბუციულობა. რა გამომდინარეობს ამ თვისებებიდან? ეს არის რგოლთა თეორიის ძირითადი მიზანი. ამ ოპერაციების ძირითად თვისებებს აქსიომებად მივიღებთ.

განსაზღვრა
სიმრავლე R-ს და მასში განსაზღვრულ ორ ოპერაციას (შეკრება + და გამრავლება •) ეწოდება რგოლი თუ სრულდება პირობა:
1. თუ a, b და c რგოლი R-ის ელემენტებია, (a + b) • c = (a • c) + (b • c)
2. სიმრავლე R და შეკრება (+) კომუტატური
ჯგუფია.
3. სიმრავლე R ნულის გარდა და გამრავლება (•) მონოიდია

ინგლისურად - ring
ფრანგულად - un anneau
გერმანულად - ein Ring
იტალიურად - un anello
ესპანურად - un anillo
რუსულად - Кольцо

მთელ რიცხვთა სიმრავლე და რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლე ჩვეულებრივი ოპერაციებით არის რგოლის მაგალითები.

თეორემა
რგოლის ყოველი ელემენტისათვის a გვაქვს ტოლობა a • 0 = 0

მტკიცება
a = a • 1 = a • (1 + 0) = a • 1 + a • 0 = a + a • 0. დავუმატოთ ორივე მხარეს -a. მივიღებთ 0 = a • 0.

რგოლში შესაძლებელია იყოს ნულის გამყოფები.

ველში ჩადგმულ რგოლს დამატებითი თვისება აქვს. მასში ნულის გამყოფი მხოლოდ ნულია. ამ თვისების მატარებელ რგოლს მთელობის არეს უწოდებენ.

ყოველი მთელობის არე (მთელობის არედ ვგულიდხმობ კომუტატურ რგოლს ნულის გამყოფების გარეშე) ჩაიდგმება ველში. ვთქვათ A მთელობის არეა. განვიხილოთ მისი ელემენტების წყვილთა სიმრავლის ნაწილი, რომელიც ხასიათდება ერთადერთი პირობით {[x, y] | y ≠ 0}. შემოვიღოთ ამ სიმრავლეში ექვივალენტობა
[x, y] ~ [u, v] ⇔ x • v = y • u
მიღებული ფაქტორ სიმრავლე მასზე გადატანილი ოპერაციებით
[x, y] + [u, v] = [x • v + y • u, y • v]
[x, y] • [u, v] = [x • u, y • v]
ველი იქნება. მართლაც, დავიწყოთ ველის პირობებით 8 და 9. ერთიანია დიაგონალი {[u, u]}
[x, y] • [u, u] = [x • u, y • u]
[x, y]-სა და [x • u, y • u]-ს ექვივალენტობა ნათელია.
[x, y]-ის შებრუნებული იქნება [y, x]
პირობა 6 და 7, ნულია {[0, v]}
[x, y] + [0, v] = [x • v + y • 0, y • v] = [x • v, y • v]
ექვივალენტობა ნათელია
[x, y]-ის მოპირდაპირე იქნება [-x, y]
[x, y] + [-x, y] = [x • y + y • (-x), y • y] = [0, y • y]
პირობა 1 და 2 ნათელია.
პირობა 3 და 4
([x, y] + [x', y']) + [x'', y''] = [x • y' + y • x', y • y'] + [x'', y''] =
= [x • y' • y'' + y • x' • y'' + y • y' • x'', y • y' • y'']
[x, y] + ([x', y'] + [x'', y'']) = [x, y] + [x' • y'' + y' • x'', y' • y''] =
[x • y' • y'' + y • x' • y'' + y • y' • x'', y • y' • y'']

([x, y] • [x', y']) • [x'', y''] = [x • x', y • y'] • [x'', y''] = [x • x' • x'', y • y' • y'']
[x, y] • ([x', y'] • [x'', y'']) = = [x, y] • [x' • x'', y' • y''] = [x • x' • x'', y • y' • y'']
პირობა 5
([x, y] + [x', y']) • [x'', y''] = [x • y' + y • x', y • y'] • [x'', y''] = [x • y' • x'' + y • x' • x'', y • y' • y'']
[x, y] • [x'', y''] + [x', y'] • [x'', y''] = [x • x'', y • y''] + [x' • x'', y' • y''] =
= [x' • x'' • y' • y'' + y • y'' • x' • x'', y • y'' • y' • y''] = [x • y' • x'' + y • x' • x'', y • y' • y''] • [y'', y'']
ჩადგმა ნათელია, x-ს შეესაბამება [x • x, x]?

თუ ამ კონსტრუქციას გავიმეორებთ არა მთელობის არეზე არამედ ნებისმიერ კომუტატურ რგოლზე, ოღონდ მეორე კოორდინატი ნულის გამყოფი არ უნდა იყოს, ველს ვერ მივიღებთ. მივიღებთ კომუტატურ რგოლს ერთიანით, რომელშიც ყოველი ელემენტი ან შებრუნებადია ან ნულის გამყოფია.

მაგალითი
ნათელია რომ ყოველი Zk რგოლია.

რგოლთა ჰომომორფიზმი

ვთქვათ მოცემულია ორი რგოლი R და S. განვიხილოთ ასახვა f:R → S რომელიც შეთანხმებულია შეკრებასთან, გამრავლებასთან, ნულს ნულში გადაიტანს და ერთიანს ერთიანში, ანუ ინახავს რგოლის სტრუქტურას

(a + b)f = af + bf
(a • b)f = af • bf
0f = 0 და 1f = 1
ჩვეულებრივ სტრუქტურის შემნახავ ასახვას ჰომომორფიზმს უწოდებენ.

აქედან
(-a)f + af = (-a + a)f = 0f = 0
და მაშასადამე (-a)f = -(af)

ჰომომორფიზმით ნულში გადასულ ელემენტთა სიმრავლეს, ბირთვს განსაკუთრბული თვისება აქვს თუ af = 0, მაშინ ნებისმიერი ელემენტი x-ის ნამრავლიც a • x ბირთვშია. მართლაც, (a • x)f = (af) • (xf) = 0 • (xf) = 0.
ამ თვისების მატარებელ ქვერგოლს იდეალს უწოდებენ

ინგლისურად - ideal
ფრანგულად - un idééal
გერმანულად - ein idéal
იტალიურად - un ideale
ესპანურად - un ideal
რუსულად - идеал

არაკომუტატურ შემთხვევაში ანსხვავებენ მარცხენა და მარჯვენა იდეალებს იმისდა მიხედვით თუ რომელი ნამრავლი, მარცხენა თუ მარჯვენა აკმაყოფილებს ნახსენებ თვისებას.

რგოლთა რამდენიმე სხვადასხვა სასასრგებლო ტიპი არსებობს. თუ ყოველი იდეალი ერთი ელემენტით წარმოქმნადია რგოლს მთავარ იდელთა რგოლად მოიხსენიებენ. თუ ყოველ იდეალს სასრული რაოდენობა წამოქმნის მაშინ რგოლს ნოეთერის რგოლს უწოდებენ ემი ნოეთერის საპატივსაცემოდ რომელმაც პირველმა მიქცია ყურადღება ამგვარ რგოლებს. Amalie Emmy Noether (1882.03.23 – 1935.04.14).
იდეალ I-ს პირობით:
- თუ x • y ∈ I მაშინ ან x ∈ I ან y ∈ I
მარტივ იდეალს უწოდებენ. როგორც ამბობენ მათემატიკოსი რომელმაც პირველმა მიაქცია ყურადღება ამ პირობას ვოლფგანგ კრული იყო. Wolfgang Krull (1899.08.26 – 1971.04.12).