მათემატიკა

სქემა

ალგებრული გეომეტრიის საწყისია წრფივ სივრცეში მრავალწევრის ფესვების, ნულების სიმრავლე, ალგებრული მრავალნაირობა. სქემა ამ ცნების განზოგადოებაა, რომლის აქსიომატიკაც გროთენდიკმა დააზუსტაა Alexandre Grothendieck (1928.03.28 - 2014.11.13)

ბერნულად სიტყვა σχῆμα - სქემა ნიშნავს არსებობის ფორმას, გარეგნობას, მსგავსებას. როგორც მათემატიკური ტერმინი გროთენდიკის თაოსნობით იხმარება ალგებრული გეომეტრიის ობიექტის სახელად.

ინგლისურად - schéme
ფრანგულად - un schéma
გერმანულად - ein Schema
იტალიურად - uno schema
ესპანურად - un esquema
რუსულად - схема

ვთქვათ X სასრული სიმრავლეა. მისი ველში V ასახვათა სიმრავლე წრფივი სივრცე იქნება, აღვნიშნოთ ის VX-ით და მისი ელემენტისათვის ვიხმაროთ ტერმინი ვექტორი. იგივე სიმრავლე X-დან განვიხილოთ მისი ქვესიმრავლიდან ასახვა ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეში N და ამ ასახვას ვუწოდოთ მონომი, ამგვარ ასახვათა სიმრავლე აღვნიშნოთ NX-ით. ქვესიმრავლეს რომელზეც განსაზღვრულია მონომი m ვუწოდოთ მატარებელი და აღვნიშნოთ sup m-ით. ცარიელი სიმრავლის ასახვა ერთეული იქნება და 1-ით აღვნიშნოთ, sup 1 = ∅. ვექტორული სივრცე FNX იქნება მრავალწევრთა სივრცე და შემოკლებით აღვნიშნოთ MX-ით.

აგებულ სიმრავლეებში განისაზღვრება ოპერაციები. NX-ში გამრავლების ოპერაციას განსაზღვრავს ნატურალურ რიცხვთა შეკრება: თუ u და v ასახვებია X-დან N-ში, მაშინ x(u • v) = xu + xv. წრფივ სივრცე MX-ში გამრავლება გავრცელდება დისტრიბუციის კანონის თანახმად: თუ p და q მრავალწევრებია MX-დან, მაშინ ნამრავლის მოქმედება u-ზე NX-დან განისაზღვრება ტოლობით u(p • q) = ∑ vp • wq, სადაც v და w გაირბენს ყველა იმ მნიშვნელობას რომელთათვისაც v • w = u. ეს გამრავლება გადააქცევს MX-ს კომუტატურ ალგებრად.

განვმარტოთ ასევე VX-სა და MX-ის ურთიერთ მოქმედება. ვთქვათ a ვექტორია VX-დან. ხოლო p მრავალწევრი MX-დან, მაშინ ap = ∑ (up • ∏ xaxu), სადაც u ∈ NX, x ∈ X. ამ მოქმედებით მრავალწევრთა სიმრავლე MX გახდება VX-ზე ფუნქციათა სიმრავლის ნაწილი.

თეორემა
MX-ში განსაზღვრული ოპერაციები ემთხვევა ფუნქციების ჩვეულებრივ ოპერაციებს, ანუ ჩადგამა ჰომომორფიზმია

მტკიცება

a(p + q) = ∑ (u(p + q) • ∏ xaxu) = ∑ ((up + uq) • ∏ xaxu) = ∑ (up • ∏ xaxu) + ∑ (uq • ∏ xaxu) = ap + aq
a(p • q) = ∑ (u(p • q) • ∏ xaxu) = ∑ ((∑ vp • wq) • ∏ (xaxv • xaxw)) = ∑ (vp • wq • ∏ (xaxv • xaxw)) =
= ∑ (vp • ∏ xaxv • wq • ∏ xaxw) = ∑ (vp • ∏ xaxv) • ∑ (wq • ∏ xaxw) = ap • aq

თუ მიმართებად ავიღებთ ამ მნიშვნელობის ნულთან ტოლობას მივიღებთ VX-ისა და MX-ის ქვესიმრავლეებს შორის გალუას თანადობას. ამ თანადობის შესაბამისი ასახვა VX-ის ქვესიმრავლეებიდან MX-ის ქვესიმრავლეებში აღვნიშნოთ N-ით, ხოლო ასახვა MX-ის ქვესიმრავლეებიდან VX-ის ქვესიმრავლეებში M-ით. ნათელია რომ ნებისმიერი სიმრავლის ანასახი MX-ის იდეალი იქნება, ხოლო N-ით ნებისმიერ ანასახს ვუწოდოთ ალგებრული სიმრავლე.
VX-ის ქვესიმრავლე Y-ით წარმოშობილი ალგებრული სიმრავლე იქნება YMN. მისი შესაბამისი იდეალი კი YM, ამ იდეალით ალგებრა MX-ის ფაქტორ ალგებრა კი პოლინომიარულ ფუნქციათა ალგებრა MX / YM ალგებრულ სიმრავლე YNM-ზე.
რაც შეეხება MX-ის ქვესიმრავლე Z-ით გალუას თანადობის შეაბამისად წარმოშობილი იდეალი ZNM, შესაძლოა, არ იყოს ალგებრა MX-ში Z-ით შექმნილი იდეალი. თუმცა იქნება მისი მომცველი იდეალი, რადგან Z ⊂ ZNM ამ თანადობის მიხედვით შექმნილ იდეალებს დროებით გალუას იდეალი ვუწოდოთ. თუ Z თვითონ იდეალია, მაშინ მისი რადიკალიც შევა Z-ის მიერ წარმოქნილ გალუას იდეალში, Z ⊂ ZR ⊂ ZNM. ეს მართლაც ასეა, თუ a • pk = 0 მაშინ a • p = 0. რადგან a(pk) = ap • . . . • ap და ველში ნულის გამყოფი არ არის. თუ Z თვითონ არის გალუას იდეალი, მაშინ მისი რადიკალი მასვე უდრის. ჰილბერტის (David Hilbert, 1862.01.23 – 1943.02.14) ცნობილი თეორემა Nullstellensatz-ის თანახმად ნებისმიერი იდეალისათვის ZNM = ZM, თუ ველი ალგებრულად ჩაკეტილია.

რადგან Y ⊂ Z ⇒ YM ⊃ ZM ამიტომ (Y ∩ Z)M ⊃ YM + ZM და (Y ∪ Z)M ⊂ YM ∩ ZM. ასევე (I ∩ J)N ⊃ IN ∪ JN და (I + J)N ⊂ IN ∩ JN. განვიხილოთ ბოლო ჩართვა. თუ ვექტორი a ეკუთვნის IN-საც და JN-საც, ანუ I-სა და J-ს ყოველ ელემენტს ნულში გადააქვს, ხოლო (I + J)-ში მხოლოდ მათი ჯამებია, ვასკვნით რომ a ∈ (I + J)N, ანუ მივიღეთ (I + J)N = IN ∩ JN. კიდევ უფრი მარტივად (Y ∪ Z)M = YM ∩ ZM.

შევეცადოთ ყოველი ზემოთ აღწერილი კონსტრუქცია გადავიტანოთ კომუტატური ალგებრის შემთხვევაზე. ანუ ველის მაგივრად ვიღებთ კომუტატურ ალგებრა A-ს. შემდგომისათვის თუ დაგვჭირდა ვიგულისხმოთ რომ ეს ალგებრა სასრულ წარმომქმნელიანია. სასრული სიმრავლე X-დან ასახვათა სიმრავლე ალგებრა A-ში აღვნიშნოთ FX. ეს სიმრავლე იქნება მოდული ალგებრა A-ს მიმართ. ისევე როგორც ზემოთ NX იყოს X-ის ქვესიმრავლეთა ასახვები ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლე N-ში, მონომთა სიმრავლე. მრავალწევრთა ალგებრად დაგვჭირდება ორი ალგებრის გამოყენება ერთი ის რაც ზემოთ იყო აგებული MX, სასრულ მატარებლიანი ასახვები ველში V. მეორე, რომლისათვისაც გამოვიყენებ აღნიშვნას AX, სასრულ მატარებლიანი ასახვები ისევ NX-დან ალგებრა A-ში. გავიხსენოთ რომ ორივე სიმრავლეშია 1, როგორც ცარიელი სიმრავლის ასახვა N-ში. ამჯერად გვაქვს მრავალწევრთა ორი სიმრავლე. ერთის კოეფიციენტები ველიდანაა, მეორის კი ალგებრიდან. პირველი მეორის ქვეალგებრაა.

ოპერაციაები
x(m • n) = xm + xn, x ∈ X, m ∈ NX, n ∈ NX
x(s + t) = xs + xt, x ∈ X, s ∈ FX, t ∈ FX
x(s • a) = xs • a, x ∈ X, s ∈ FX, a ∈ A
m(p + q) = ma + mb, m ∈ NX, p ∈ AX, q ∈ AX
k(p • q) = ∑ mp • nq, ყველა შესაძლო ვარიანტი m • n = k, k, m, n ∈ NX, p ∈ AX, q ∈ AX
sm = ∏ xsxm, ყველა x ∈ X, s ∈ FX, m ∈ NX
sp = ∑ sm • mp, ყველა m ∈ NX, s ∈ FX, p ∈ AX