მათემატიკა

სიმრავლე და ზოგიერთი კონსტრუქცია

დღეისათვის მათემატიკაში სიმრავლე და ასახვა რჩება ძირითად ცნებებად. მძლავრად შემოვიდა კატეგორის და მასთან დაკავშირებული ცნებათა სისტემაც.
ჯერ კიდევ ბერძენი ფილოსოფოსი ზენონი (Ζήνων ὁ Ἐλεάτης, 490 – 430 BC) ცდილობდა გარკვეულიყო უსასრულობის ბუნებაში. გალილეი (Galileo Galilei, 15 февраля 1564.02.15 - 1642.01.08) ამბობს რომ ნატურალური რიცხვი იმდენივეა რამდენიც მისი კვადრატი. ანუ უსასრულო სიმრავლე მისივე ნაწილის რაოდენობრივად ტოლია. ეს უსასრულო სიმრავალის ძირითად მახასიათებლად მიმაჩნია. მაგრამ მგონი პირველი, რომელმაც გამოიყენა უსასრულო სიმრავლე, მოექცა მას როგორც მათემატიკურ ობიექტს იყო გაუსი (Johann Carl Friedrich Gauß, 30 апреля 1777.04.30 - 1855.02.23) არითმეტიკის თაობაზე თავის ნაშრომში Disquititiones arithmeticae. Lipsiae, 1801. ამ მიდგომის გამგრძელებელია დირიხლე (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805.02.13 - 1859.05.05). მაგრამ მგონი პირველი მაინც იყო დედეკინდი (Julius Wilhelm Richard Dedekind, 6 октября 1831.10.06 - 1916.02.12), რომელიც პირდაპირ ასახელებს და მიიჩნევს მათემატიკურ ობიექტად რიცხვებს რომელთა სხვაობაც ფიქსირებული რიცხვის ჯერადია, ანუ რაიმე თვისების მატარებელ რიცხვთა სიმრავლე ობიექტია. სწორედ დედეკინდთან კონსულტაციების შედეგად გამოაქვეყნა კანტორმა (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 1845.03.03 - 1918.01.06) შრომა Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, J. Reine Angew. Math., 1874 რომელიც ითვლება სიმრავლეთა თეორიის საწყისად.

შევეცდები აღვწერო ეგრეთწოდებული Naive set theory და ამავე დროს ზუსტი მსჯელობის მოყვარულთათვის ფორმალური განსაზღვრანიც. ეს ტერმინი პოპულარული გახადა ჰალმოშის (Paul Richard Halmos, 1916.03.03 - 2006.10.02) წიგნმა რომელშიც მან აღწერა სიმრავლეთა თეორია და ოპერაციები სიმრავლეებზე.

ფორმალურად ყველაფერი შეგვიძლია ვიგულისხმოდ სიმრავლედ. ამ სიმრავლეთა შორის არსებობს მიმარათება, მიკუთვნება ან კუთვნილება, a ∈ b, a არის b-ს ელემენტი. იგულისხმება რომ a და b ერთი და იგივეა, ტოლია თუ მათ ერთი და იგივე ელემენტები აქვთ. ეს არის ცერმელო-ფრენკელის (Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo, 1871.06.27 - 1953.05.21; Abraham Halevi (Adolf) Fraenkel, 1991.02.17 - 1965.10.15) სისტემის პირველი აქსიომაც
∀x ∀y (∀z (z∈x ⇔ z∈y) ⇒ ∀u (x∈u ⇔ y∈u))

თუ გვაქს რაღაც, x მაშინ არსებობს სიმრავლე რომლის ელემენტიც მხოლოდ x-ია. ამ სიმრავლეს ხშირად {x}-ით აღნიშნავენ.
∀x ∃a (z∈a ⇔ z=x)

თუ გვაქვს სიმრავლე a. ვგულისმობ რომ მისი ელემენტები სიმრავლეებია, მაშინ გვაქვს მათი გაერთიანებაც, ანუ სიმრავლე რომლის ელემენტებია აღებულთა ელემენტები და მხოლოდ ეს ელემენტები. მათი გაერთიანება c = ∪ b, b∈a.
∀a ∃c ∀x (x∈c ⇔ a (x∈b ⋀ b∈a))

შემდგომი აქსიომის ჩამოსაყალიბებლად საჭიროა ქვესიმრავლის ცნების ფორმალური დეფინიცია
a⊂b ნიშნავს ∀x (x∈a ⇒ x∈b)
სიმრავლის ყველა ქვესიმრავლეთა სიმრავლის შექმნის ოპერაცია სასარგებლო და საჭირო პროცედურაა. ეს პროცედურა შემდეგი აქსიომის შინაარსიც არის.
∀a ∃p ∀b (x∈b ⇒ b⊂a)

უსასრულო სიმრავლის არსებობა ერთ ერთი საკამათო საკითხია. წარსულის ყველაზე ცნობილი მათემატიკოსი კრონეკერი (Leopold Kronecker, - 1891.12.29) ამბობს რომ არსებობს კონსტრუქციული უსასრულობა, ანუ შესაძლებელია სულ ახალი და ახალი ელემენტების შექმნა და ეს პროცესი იყოს დაუსრულებელი, ის არ უნდა ვიგულისხმოდ დასრულებულად. ეს მოსაზრებაა კონსტრუქციული მათემატიკის საფუძველი. შემდეგი აქსიომა სწორედ ამის საწინააქმდეგო მოსაზრებას, ანუ გულისხმობს უსასრულო სიმრავლის არსებობას
∃a (x∈a ⇒ (x∪{x})∈a)

რაიმე x-ს აქვს თვისება P აღვინშნოთ P(x)-ით.
a-ს ქვესმრავლე b, რომელიც გამოიყოფა თვისება P-თი აღვნიშნოთ b = {x∈a | P(x)}-ით. მისი არსებობაა შემდეგი აქსიომის შინაარსი.
∀a ∃b (x∈b ⇔ (x∈a ⋀ P(x)))

სიმრავლეთა თეორიაში ასევე საბაზოა ასახვის ცნება. თუ მოცემულია ორი სიმრავლე X და Y, ასახვა X-დან Y-ში ეწოდება X-სა და Y-ის ელემენტთა წყვილების ქვესიმრავლე F-ს თუ სრულდება პირობა: სიმრავლე X-ის ყოველი ელემენტი x-ისათვის არსებობს და მხოლოდ ერთი წყვილი [x, y] რომელიც ეკუთვნის F-ს. თუ ასო f-ს გამოვიყენებთ ასახვის აღსანიშნად, მაშინ ამას ასე ჩავწერთ f: X → Y. თუ [x, y] ∈ F-ს, მაშინ xf = y, ელემენტი y არის x-ის ანასახი. f: X → Y ნიშნავს ∀x ∃F (x∈X ∃y∈Y ⋀ ()

ძირითადი ოპერაციები

ვთქვათ მოცემულია სიმრავლეთა სიმრავლე X = {a}. ამ სიმრავლეთა გაერთიანება ∪ a იქნება სიმრავლე რომლის ელემენტია მხოლოდ რომელიმე მათგანის ელემენტი და ყველა ამგვარი
x ∈ ∪ a ⇔ ∃a (a ∈ X ⋀ x ∈ a)
ამ სიმრავლეთა თანაკვეთა, ∩ a არის სიმრავლე რომლის ელემენტია ყველა აღებულ სიმრავლეში შემავალი, ანუ მხოლოდ საერთო ელემენტი და ყველა საერთო ელემენტი
x ∈ ∩ a ⇔ ∀a (a ∈ X ⋀ x ∈ a)

თუ ასახვა f: X → Y ისეთია რომ ყოველი ელემენტი y-სათვის Y-დან არსებობს ასახვაში წყვილი [x, y] ∈ F, ანუ xf = y, მაშინ ასახვას ვუწოდებთ სურექციას.
თუ ყოველი ელემენტი y-სათვის Y-დან არსებობს არა უმეტეს ერთი წყვილისა [x, y] ∈ F, ანუ ან არსებობს x ისეთი რომ xf = y და მხოლოდ ერთი, ან არც არსებობს არც ერთი, მაშინ ასახვას ვუწოდებთ ინექციას.

ინგლისურად - map, injection, surjection
ფრანგულად - une application, une injection, une surjection
გერმანულად - eine Abbildung, injectiv, surjektiv
იტალიურად -
ესპანურად -
რუსულად - отображе́ние, инъекция, сюръекция

სიმრავლე X-დან სიმრავლე Y-ში ასახვათა ერთობლიობა სიმრავლეა და მას აღვნიშნავთ Map(X, Y)-ით. ასე რომ გვაქვს კატეგორია, სიმრავლეთა კატეგორია რომლის ობიექტი სიმრავლეა, ხოლო მორფიზმი სიმრავლიდან სიმრავლეში ასახვა.

სიმრავლეთა სისტემა

ვთქვთ მოცემულია სიმრავლე X და მისი ყოველი ელემენტისათვის, x არაცარიელი სიმრავლე Ux. ვგულისხმობ რომ თუ x ≠ y მაშინ Ux ∩ Uy = ∅. ამგვარ მოცემულობას ვუწოდოთ სიმრავლეთა სისტემა U ბაზით X.
თუ გვაქვს სურექცია f: Y → X, გვქონია სისტემაც, X-ის ელემენტ x-ს შევუსაბამებთ x-ის წინასახეს xf- = {y | y ∈ Y, yf = x}. თუ გვაქვს სისტემა U, განვიხილოთ სიმრავლური გაერთიანება TU = ∪ Ux, მას ჩვეულებრივ ტოტალურ სივრცედ მოიხსენიებენ. გასაგებია ჩადგმებიც Ux → TU. რადგან ამ ჩადგმების ანასახები არ თანაიკვეთება გვექნება ტოტალური სივრცის თვისება:
- ყოველი ასახვა TU-დან ნებისმიერ სიმრავლე Y-ში განისაზღვრება ჩადგმებისა და ამ ასახვის კომპოზიციებით.

განვიხილოთ ასახვა TU → X, ასახვა ფენა Ux-ის ელემენტებს x-ში გადაიტანს. ამ ასახვის შებრუნებულ ასახვა s-ს კვეთას უწოდებენ, xs ∈ Ux.

ინგლისურად - section
ფრანგულად - une section
გერმანულად - ein Schnitt
იტალიურად - ?
ესპანურად - una sección
რუსულად - сечение

სიმრავლეთა სისტემის კვეთათა სიმრავლე აღვნიშნოთ SU-თი, ტრადიციული აღნიშვნაა ∏ Ux და ჩვეულებრივ მას ფენათა, Ux-თა ნამრავლს უწოდებენ. სისტემის ბაზის ყოველი ელემენტისათვის, x გვაქვს პროექცია x: SU → Ux, სადაც SU ∋ s → sx = xs ∈ Ux. ნებისმიერი სიმრავლე Y-დან SU-ში ასახვა განისაზღვრება მისი ამ პროექციებთან კომპოზიციათა ერთობით. მართლაც თუ გვაქვს f: Y → SU, გვაქვს პროექციებთან მისი კომპოზიციებიც f ∘ x, რაც კვეთა yf-ის მნიშვნელობათა სრული სისტემაა.
x(yf) = (yf)x = y(f ∘ x) ∈ Ux
ასახვათა სიმრავლეების ერთობლიობა სისტემაა იმავე ბაზით X. სიმრავლე X-ის ყოველ ელემენტს, x-ს შეესაბამება სიმრავლე Map(Y, Ux). რადგან ეს სისტემა შექმნილია Y-დან ასახვებით აღვნიშნოთ ის YU-თი, (YU)x = Map(Y, Ux). ასე რომ Map(Y, SU) = S(YU).

ნებისმიერი სიმრავლე Y-სათვის ანალოგიურად სიმრავლეთა ერთობლიობა {Map(Ux, Y)} ბაზით X იქნება სიმრავლეთა სისტემა, UY, (UY)x = Map(Ux, Y). აქაც გვაქვს ტოლობა S(UY) = Map(TU, Y), ანუ TU-დან Y-ში ასახვა განისაზღვრება ასახვათა ერთობლიობით, კვეთით {(UY)x → Y}. ამ თვისების გამო კატეგორიათა თეორიის თანახმად TU-ს ჩვეულებრივ ∑ Ux-ით აღნიშნავენ და Ux-თა ჯამს უწოდებენ.

თუ მოცემულია სისტემა U ბაზით X შეგვიძლია განვსაზღვროთ ნაწილობრივ კვეთათა სიმრავლეც. X-ის ქვესიმრავლე Y-ს შევუსაბამოთ მხოლოდ მასზე განსაზღვრული კვეთა S(Y, U) ∋ s: Y → ∪ Ua, ys ∈ Sy. თვით ქვესიმრავლე Y-ს ვუწოდოთ კვეთა s-ის საყრდენი და აღვნიშნოთ Sup s-ით, Sup s = Y. გასაგებია პროექციებიც, თუ Z ⊂ Y, მაშინ გვექნება S(Y, U) → S(Z, U). კერძოდ SU = S(X, U) → S(Y, U).